2016年江西省鹰潭市余江县中考数学一模试卷
一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）
1．﹣的绝对值是（ ）
A．﹣3 B． C．﹣ D．3
2．2016元旦小长假三天，江西共计接待省内外游客约1040万人，其中1040万用科学记数法可表示为（ ）
A．0.104×108 B．1.04×107 C．10.4×106 D．104×105
3．如图是一个正方体被截去一个直三棱柱得到的几何体，则该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3=a5 B．（a+2b）2=a2+2ab+b2
C．a6÷a3=a2 D．（﹣2a3）2=4a6
5．如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（2，0），点A在第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△
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O′A′B′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为（ ）
A．（4，2） B．（3，3） C．（4，3） D．（3，2）
二、填空题
7．一个角的度数为35°，则它的补角度数为 ．
8．如图，AB∥CD，∠A=58°，∠C=20°，则∠E的度数为 度．
9．某市为提倡节约用水，采取分段收费．若每户每月用水不超过20m3，每立方米收费2元；若用水超过20m3，超过部分每立方米加收1元．小明家5月份交水费64元，则他家该月用水 m3．
10．已知a2+3ab+b2=0（a≠0，b≠0），则代数式+的值等于 ．
11．如图，已知点P是半径为1的⊙A上一点，延长AP到C，使PC=AP，以AC为对角线作▱ABCD．若AB=，则▱ABCD面积的最大值为 ．
12．如图，矩形ABCD的顶点AB在x轴上，点D的坐标为（3，4），点E在边BC上，△CDE沿DE翻折后点C恰好落在x轴上点F处，若△
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ODF为等腰三角形，点C的坐标为 ．
三、解答题
13．（1）计算：﹣（）﹣1﹣4；
（2）解分式方程：﹣1=．
14．如图，将线段AB放在边长为1的小正方形网格中，点A、B均落在格点上，请用无刻度直尺按条件分别在图1、图2中的线段AB上画出点P，保留连线痕迹．要求：
（1）使AP=AB；
（2）使AP=AB．
15．已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+=0有两个相等的实数根，求k的值，并求此时该方程的根．
16．在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F．求证：EF=EC．
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17．小明有不同的钥匙四把和两把不同的锁，其中有两把钥匙可以打开对应的这两把锁，另两钥匙是不能打开此两把锁的，现随意取出一把钥匙去开其中一把锁．
（1）请用画树状图的方法表示所有可能结果；
（2）求小明一次打开锁的概率．
四、解答题
18．小武新家装修，在装修客厅时，购进彩色地砖和单色地砖共80块，共花费3600元．已知彩色地砖的单价是60元/块，单色地砖的单价是30元/块．
（1）两种型号的地砖各采购了多少块？
（2）如果厨房也要铺设这两种型号的地砖共30块，且采购地砖的费用不超过1500元，那么彩色地砖最多能采购多少块？
19．如图，直线y=x与反比例函数的图象交于点A（3，a），第一象限内的点B在这个反比例函数图象上，OB与x轴正半轴的夹角为α，且tanα=．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）求S△OAB．
20．某班同学响应“阳光体育运动”号召，利用课外活动积极参加体育锻炼，每位同学从长跑、铅球、立定跳远、篮球定时定点投篮中任选一项进行了训练，训练前后都进行了测试，现将项目选择情况及训练后篮球定时定点投篮进球数（每人投10次）进行整理，作出如下统计图表．
进球数（个）
8
7
6
5
4
3
人数
2
1
4
7
8
2
请你根据图表中的信息回答下列问题：
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（1）训练后篮球定时定点投篮人均进球数为 个；进球数的中位数为 个，众数为 个；
（2）该班共有多少学生；
（3）根据测试资料，参加篮球定时定点投篮的学生训练后比训练前的人均进球增加了20%，求参加训练之前的人均进球数（保留一位小数）．
21．如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于E、F两点，连结DE，已知∠B=30°，⊙O的半径为12，弧DE的长度为4π．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若AF=CE，求线段BC的长度．
五、解答题（共1小题，满分10分）
22．已知，如图，将抛物线y1=﹣（x﹣1）2+1，y2=﹣（x﹣2）2+2，y3=﹣（x﹣3）2+3，…，yn=﹣（x﹣n）2+n（n为正整数）称为“系列抛物线”，其分别与x轴交于点O，A，B，C，E，F，…．
（1）①抛物线y1的顶点坐标为 ；
②该“系列抛物线”的顶点在 上；
③yn=﹣（x﹣n）2+n与x轴的两交点之间的距离是 ．
（2）是否存在整数n，使以yn=﹣（x﹣n）2+n的顶点及该抛物线与x轴两交点为顶点的三角形是等边三角形？
（3）以yn=﹣（x﹣n）2+n的顶点P为一个顶点作该二次函数图象的内接等边△
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PMN（M，N两点在该二次函数的图象上），请问：△PMN的面积是否会随着n的变化而变化？若不会，请求出这个等边三角形的面积；若会，请说明理由．
六、解答题（共1小题，满分12分）
23．如图（1），在△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=4cm．动点P在线段AC上以5cm/s的速度从点A运动到点C．过点P作PD⊥AB于点D，将△APD绕PD的中点旋转180°得到△A′DP．设点P的运动时间为x（s）．
（1）当点A′落在边BC上时，
①四边形AD A′P的形状为 ；
②求出此时x的值；
（2）设△A′DP的三边在△ABC内的总长为y（cm），求y与x之间的函数关系式；
（3）如图（2），另有一动点Q与点P同时出发，在线段BC上以5cm/s的速度从点B运动到点C．过点Q作QE⊥AB于点E，将△BQE绕QE的中点旋转180°得到△B′EQ．连结A′B′．当直线A′B′与AB垂直时，求线段A′B′的长．
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2016年江西省鹰潭市余江县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）
1．﹣的绝对值是（ ）
A．﹣3 B． C．﹣ D．3
【考点】绝对值．
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数即可求解．
【解答】解：﹣的绝对值是，
故选B
2．2016元旦小长假三天，江西共计接待省内外游客约1040万人，其中1040万用科学记数法可表示为（ ）
A．0.104×108 B．1.04×107 C．10.4×106 D．104×105
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将1040万用科学记数法表示为：1.048×107，
故选B．
3．如图是一个正方体被截去一个直三棱柱得到的几何体，则该几何体的左视图是（ ）
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A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据三视图的特点，知道左视图从图形的左边向右边看，看到一个五边形的面，得到结果．
【解答】解：左视图从图形的左边向右边看，看到一个五边形的面，
故选：C．
4．下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3=a5 B．（a+2b）2=a2+2ab+b2
C．a6÷a3=a2 D．（﹣2a3）2=4a6
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．
【分析】A：根据合并同类项的方法判断即可．
B：根据完全平方公式判断即可．
C：根据同底数幂的除法法则判断即可．
D：根据积的乘方的运算方法判断即可．
【解答】解：∵a2+a3≠a5，
∴选项A不正确；
∵（a+2b）2=a2+4ab+b2，
∴选项B不正确；
∵a6÷a3=a3，
∴选项C不正确；
∵（﹣2a3）2=4a6，
∴选项D正确．
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故选：D．
5．如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】正多边形和圆．
【分析】先求得两个三角形的面积，再求出正六边形的面积，求比值即可．
【解答】解：如图，
∵三角形的斜边长为a，
∴两条直角边长为a， a，
∴S空白=a•a=a2，
∵AB=a，
∴OC=a，
∴S正六边形=6×a•a=a2，
∴S阴影=S正六边形﹣S空白=a2﹣a2=a2，
∴==5，
法二：因为是正六边形，所以△OAB是边长为a的等边三角形，即两个空白三角形面积为S△OAB，即=5
故选：C．
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6．如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（2，0），点A在第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′A′B′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为（ ）
A．（4，2） B．（3，3） C．（4，3） D．（3，2）
【考点】坐标与图形变化﹣平移；等边三角形的性质．
【分析】作AM⊥x轴于点M．根据等边三角形的性质得出OA=OB=2，∠AOB=60°，在直角△OAM中利用含30°角的直角三角形的性质求出OM=OA=1，AM=OM=，则A（1，），直线OA的解析式为y=x，将x=3代入，求出y=3，那么A′（3，3），由一对对应点A与A′的坐标求出平移规律，再根据此平移规律即可求出点B′的坐标．
【解答】解：如图，作AM⊥x轴于点M．
∵正三角形OAB的顶点B的坐标为（2，0），
∴OA=OB=2，∠AOB=60°，
∴OM=OA=1，AM=OM=，
∴A（1，），
∴直线OA的解析式为y=x，
∴当x=3时，y=3，
∴A′（3，3），
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∴将点A向右平移2个单位，再向上平移2个单位后可得A′，
∴将点B（2，0）向右平移2个单位，再向上平移2个单位后可得B′，
∴点B′的坐标为（4，2），
故选A．
二、填空题
7．一个角的度数为35°，则它的补角度数为 145° ．
【考点】余角和补角．
【分析】根据互为补角的两个角的和等于180°列式进行计算即可得解．
【解答】解：180°﹣35°=145°．
故它的补角度数为145°．
故答案为：145°．
8．如图，AB∥CD，∠A=58°，∠C=20°，则∠E的度数为 38 度．
【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．
【分析】根据平行线性质求出∠1的度数，根据三角形外角性质得出∠E=∠1﹣∠C，代入求出即可．
【解答】解：∵AB∥CD，∠A=58°，
∴∠1=∠A=58°，
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∵∠C=20°，
∴∠E=∠1﹣∠C=38°，
故答案为：38．
9．某市为提倡节约用水，采取分段收费．若每户每月用水不超过20m3，每立方米收费2元；若用水超过20m3，超过部分每立方米加收1元．小明家5月份交水费64元，则他家该月用水 28 m3．
【考点】一元一次方程的应用．
【分析】20立方米时交40元，题中已知五月份交水费64元，即已经超过20立方米，所以在64元水费中有两部分构成，列方程即可解答．
【解答】解：设该用户居民五月份实际用水x立方米，
故20×2+（x﹣20）×3=64，
故x=28．
故答案是：28．
10．已知a2+3ab+b2=0（a≠0，b≠0），则代数式+的值等于 ﹣3 ．
【考点】分式的化简求值．
【分析】将a2+3ab+b2=0转化为a2+b2=﹣3ab，原式化为=，约分即可．
【解答】解：∵a2+3ab+b2=0，
∴a2+b2=﹣3ab，
∴原式===﹣3．
故答案为：﹣3．
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11．如图，已知点P是半径为1的⊙A上一点，延长AP到C，使PC=AP，以AC为对角线作▱ABCD．若AB=，则▱ABCD面积的最大值为 2 ．
【考点】平行四边形的性质；三角形的面积．
【分析】由已知条件可知AC=2，AB=，应该是当AB、AC是直角边时三角形的面积最大，根据AB⊥AC即可求得．
【解答】解：由已知条件可知，当AB⊥AC时▱ABCD的面积最大，
∵AB=，AC=2，
∴S△ABC==，
∴S▱ABCD=2S△ABC=2，
∴▱ABCD面积的最大值为 2．
故答案为：2．
12．如图，矩形ABCD的顶点AB在x轴上，点D的坐标为（3，4），点E在边BC上，△CDE沿DE翻折后点C恰好落在x轴上点F处，若△ODF为等腰三角形，点C的坐标为 （8，4）或（3，4）或（，4） ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质；等腰三角形的性质；矩形的性质．
【分析】分三种情形讨论①DF=DO，②OD=OF，③FD=FO，只要求出DF的长即可解决问题．
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【解答】解：①当DF=DO时，在RT△AOD中，∵AO=3，AD=4，
∴OD===5，
∴CD=DF=DO=5，
∴点C坐标（8，4）．
②OD=OF时，∵DF=OD=5，OA=3，
∴AF=2，DF=CD===2，
∴点C坐标（3+2，4）．
③当FD=FO时，设FD=FO=x，
在RT△ADF中，∵AD2+AF2=DF2，
∴42+（x﹣3）2=x2，
∴x=，
∴点C坐标（，4）．
综上所述，满足条件的点C坐标（8，4）或（3+2，4）或（，4）．
故答案为（8，4）或（3+2，4）或（，4）．
三、解答题
13．（1）计算：﹣（）﹣1﹣4；
（2）解分式方程：﹣1=．
【考点】实数的运算；解分式方程．
【分析】（1）分别利用二次根式的性质以及负整数指数幂的性质分别化简求出答案；
（2）首先去分母，进而解方程，再检验的得出答案．
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【解答】解：（1）原式=3﹣2﹣4×=﹣2；
（2）去分母，得：4x﹣（x﹣2）=﹣3，
去括号移项合并同类项，得：3x=﹣5，
解得：x=﹣；
检验：当x=﹣时，x﹣2≠0，
∴原方程的根为x=﹣．
14．如图，将线段AB放在边长为1的小正方形网格中，点A、B均落在格点上，请用无刻度直尺按条件分别在图1、图2中的线段AB上画出点P，保留连线痕迹．要求：
（1）使AP=AB；
（2）使AP=AB．
【考点】作图—复杂作图；平行线分线段成比例．
【分析】（1）如图1，连接CD与AB的交点为P，由可得AP=AB，则点P即为所求作点；
（2）如图2，连接EF交AB于点Q，由==可得AP=AB，则点P即为所求作点．
【解答】解：（1）如图1，点P即为所求作的点；
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（2）如图2，点Q即为所求作点．
15．已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+=0有两个相等的实数根，求k的值，并求此时该方程的根．
【考点】根的判别式．
【分析】由方程有两个相等的实数根，可得出△=0且二次项系数≠0，解方程和不等式即可得出k值，将其代入原方程中，解方程即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+=0有两个相等的实数根，
∴，即，
解得：k=2．
当k=2时，原方程为x2﹣x+==0，
解得：x1=x2=．
16．在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F．求证：EF=EC．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】依据平行线的性质可知：∠DAF=∠AEB，然后依据AAS证明Rt△ABE≌Rt△DFA，从而可得到DF=DC，然后依据HLRt△DFEE≌Rt△
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DCE，依据全等三角形的性质可得到问题的答案．
【解答】证明：如图所示：连结ED．
∵ABCD为矩形，
∴AD∥BC．
∴∠EAD=∠AEB．
在△ABE和△DFA中，，
∴△ABE≌△DFA．
∴AB=DF．
又∵AB=DC，
∴DF=DC．
在Rt△DFEE和Rt△DCE中，
∴Rt△DFEE≌Rt△DCE．
∴EF=EC．
17．小明有不同的钥匙四把和两把不同的锁，其中有两把钥匙可以打开对应的这两把锁，另两钥匙是不能打开此两把锁的，现随意取出一把钥匙去开其中一把锁．
（1）请用画树状图的方法表示所有可能结果；
（2）求小明一次打开锁的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）首先设四把不同的钥匙分别为a、b、c、d，两把不同的锁分别为A、B，且a、b分别能打开对应的锁，然后根据题意画出树状图，继而求得所有可能结果；
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（2）由（1）可知，能一次打开锁的结果有2种，利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）设四把不同的钥匙分别为a、b、c、d，两把不同的锁分别为A、B，且a、b分别能打开对应的锁，则画出如下树状图：
则所有可能的结果有8种．
（2）∵由（1）可知，能一次打开锁的结果有2种，
∴P（一次打开锁）=．
四、解答题
18．小武新家装修，在装修客厅时，购进彩色地砖和单色地砖共80块，共花费3600元．已知彩色地砖的单价是60元/块，单色地砖的单价是30元/块．
（1）两种型号的地砖各采购了多少块？
（2）如果厨房也要铺设这两种型号的地砖共30块，且采购地砖的费用不超过1500元，那么彩色地砖最多能采购多少块？
【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）设彩色地砖采购x块，单色地砖采购y块，根据彩色地砖和单色地砖的总价为3600及地砖总数为80建立二元一次方程组求出其解即可；
（2）设购进彩色地砖a块，则单色地砖购进（30﹣a）块，根据采购地砖的费用不超过1500元建立不等式，求出其解即可．
【解答】解：（1）设彩色地砖采购x块，单色地砖采购y块，由题意，得
解得，
答：彩色地砖采购40块，单色地砖采购40块．
（2）设购进彩色地砖a块，则单色地砖购进（30﹣a）块，
由题意，得60a+30（30﹣a）≤1500，
第30页（共30页）
解得：a≤20．
故彩色地砖最多能采购20块．
19．如图，直线y=x与反比例函数的图象交于点A（3，a），第一象限内的点B在这个反比例函数图象上，OB与x轴正半轴的夹角为α，且tanα=．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）求S△OAB．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】（1）由点A在直线上，将x=3代入带直线解析式中求出a值，再由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出k值，由此即可得出结论；
（2）设点B坐标为（x，），利用正切的定义结合tanα=，即可得出关于x的分式方程，解方程即可得出x的值，由此即可得出点B的坐标；
（3）设直线OB为y=kx，由点B的坐标利用待定系数法即可求出直线OB的解析式，过A点做AC⊥x轴，交OB于点C，利用分割法结合三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：（1）∵直线y=x与反比例函数的图象交于点A（3，a），
∴a=×3=4，
∴点A的坐标为（3，4），
∴k=3×4=12，
∴反比例函数解析式y=．
第30页（共30页）
（2）∵点B在这个反比例函数图象上，设点B坐标为（x，），
∵tanα=，
∴=，解得：x=±6，
∵点B在第一象限，
∴x=6，
∴点B的坐标为（6，2）．
（3）设直线OB为y=kx，（k≠0），将点B（6，2）代入得：2=6k，
解得：k=，
∴OB直线解析式为：y=x．
过A点做AC⊥x轴，交OB于点C，如图所示：
则点C坐标为（3，1），
∴AC=3．
S△OAB的面积=S△OAC的面积+S△ACB的面积=×|AC|×6=9．
∴△OAB的面积为9．
20．某班同学响应“阳光体育运动”号召，利用课外活动积极参加体育锻炼，每位同学从长跑、铅球、立定跳远、篮球定时定点投篮中任选一项进行了训练，训练前后都进行了测试，现将项目选择情况及训练后篮球定时定点投篮进球数（每人投10次）进行整理，作出如下统计图表．
进球数（个）
8
7
6
5
4
3
人数
2
1
4
7
8
2
请你根据图表中的信息回答下列问题：
第30页（共30页）
（1）训练后篮球定时定点投篮人均进球数为 5 个；进球数的中位数为 5 个，众数为 4 个；
（2）该班共有多少学生；
（3）根据测试资料，参加篮球定时定点投篮的学生训练后比训练前的人均进球增加了20%，求参加训练之前的人均进球数（保留一位小数）．
【考点】众数；扇形统计图；中位数．
【分析】（1）根据：人均进球数=，求解即可；将数据按照从小到大的顺序排列，根据中位数和众数的概念求解；
（2）根据选择篮球的学生人数和选择篮球的学生人数所占全班人数的百分比，求解即可；
（3）设参加训练之前的人均进球数为x个，然后根据题意列出方程求解即可．
【解答】解：（1）人均进球数===5（个）；
根据中位数的概念，由图表可得出第12和第13名学生的进球数均为5个，故进球数的中位数为=5（个），
从图表可以看出进球数为4个的学生人数最多，故进球数的众数为4个，
故训练后篮球定时定点投篮人均进球数为5个；进球数的中位数为5个，众数为 4个；
（2）全班学生的总人数为：24÷60%=40（人）；
答：该班共有40个学生．
（3）设参加训练之前的人均进球数为x个，
则有：x（1+20%）=5，
解得：x=4.2．
第30页（共30页）
答：参加训练之前的人均进球数为4.2个．
21．如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于E、F两点，连结DE，已知∠B=30°，⊙O的半径为12，弧DE的长度为4π．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若AF=CE，求线段BC的长度．
【考点】切线的性质；弧长的计算．
【分析】（1）要证明DE∥BC，可证明∠EDA=∠B，由弧DE的长度为4π，可以求得∠DOE的度数，再根据切线的性质可求得∠EDA的度数，即可证明结论．
（2）根据90°的圆周角对的弦是直径，可以求得EF，的长度，借用勾股定理求得AE与CF的长度，即可得到答案．
【解答】（1）证明：连接OD、OE，
∵AD是⊙O的切线，
∴OD⊥AB，∴∠ODA=90°，
又∵弧DE的长度为4π，
∴4π=，
∴n=60，
∴△ODE是等边三角形，
∴∠ODE=60°，∴∠EDA=30°，
∴∠B=∠EDA，
∴DE∥BC．
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（2）解：连接FD，
∵DE∥BC，
∴∠DEF=∠C=90°，
∴FD是⊙0的直径，
由（1）得：∠EFD=∠EOD=30°，FD=24，
∴EF=12，
又∵∠EDA=30°，DE=12，
∴AE=4，
又∵AF=CE，∴AE=CF，
∴CA=AE+EF+CF=20，
又∵tan∠ABC=tan30°=，
∴BC=60．
五、解答题（共1小题，满分10分）
22．已知，如图，将抛物线y1=﹣（x﹣1）2+1，y2=﹣（x﹣2）2+2，y3=﹣（x﹣3）2+3，…，yn=﹣（x﹣n）2+n（n为正整数）称为“系列抛物线”，其分别与x轴交于点O，A，B，C，E，F，…．
（1）①抛物线y1的顶点坐标为 （1，1） ；
②该“系列抛物线”的顶点在 直线y=x 上；
③yn=﹣（x﹣n）2+n与x轴的两交点之间的距离是 2 ．
（2）是否存在整数n，使以yn=﹣（x﹣n）2+n的顶点及该抛物线与x轴两交点为顶点的三角形是等边三角形？
（3）以yn=﹣（x﹣n）2+n的顶点P为一个顶点作该二次函数图象的内接等边△PMN（M，N两点在该二次函数的图象上），请问：△
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PMN的面积是否会随着n的变化而变化？若不会，请求出这个等边三角形的面积；若会，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）①利用二次函数的性质确定抛物线y1的顶点坐标；
②利用抛物线yn=﹣（x﹣n）2+n的顶点坐标特征，即顶点的横纵坐标相等可判断该“系列抛物线”的顶点在第一、三象限的角平分线上；
③通过解方程﹣（x﹣n）2+n=0得到抛物线与x轴的两点坐标，从而得到抛物线与x轴的两交点之间的距离；
（2）如图1，抛物线的顶点为P（n，n），抛物线交x轴于G、K两点，作PH⊥x轴于H，则GK=2，根据等边三角形的性质得到∠PGK=60°，GH=KH=，再根据正切的定义可得n=tan60°，然后解方程即可；
（3）如图2，作PH⊥x轴于H，利用抛物线的对称性可得MN∥x轴，设M（t，﹣（t﹣n）2+t），则HM=n﹣t，PH=（t﹣n）2+n﹣t，再根据等边三角形的性质和正切的定义得到（t﹣n）2+n﹣t=（n﹣t），则可求出n﹣t=，则MN=2，PH=3，然后根据三角形面积公式可计算出S△PMN=3，于是可判断△PMN的面积不会随着n的变化而变化．
【解答】解：（1）①抛物线y1的顶点坐标为（1，1）；
②抛物线yn=﹣（x﹣n）2+n的顶点坐标为（n，n），即顶点的横纵坐标相等，
所以该“系列抛物线”的顶点在直线y=x上；
③当y=0时，﹣（x﹣n）2+n=0，解得x1=n﹣，x2=n+，则抛物线与x轴的两点坐标分别为（n﹣，0），（n+，0），
所以yn=﹣（x﹣n）2+n与x轴的两交点之间的距离为n+﹣（n﹣）=2；
故答案为（1，1），直线y=x，2；
（2）存在．
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如图1，抛物线yn=﹣（x﹣n）2+n的顶点为P（n，n），抛物线交x轴于G、K两点，作PH⊥x轴于H，则GK=2，
∵△PGK为等边三角形，
∴∠PGK=60°，GH=KH=，
在Rt△PGH中，∵tan∠PGH=，
∴n=tan60°，解得n1=3，n2=0（舍去），
∴当n为3时，使以yn=﹣（x﹣n）2+n的顶点及该抛物线与x轴两交点为顶点的三角形是等边三角形；
（3）△PMN的面积不会随着n的变化而变化．
如图2，作PH⊥x轴于H，
∵点P为抛物线的顶点，△PMN为等边三角形，
∴点M和点N为对称点，
∴MN∥x轴，
设M（t，﹣（t﹣n）2+t），则HM=n﹣t，PH=n﹣[﹣（t﹣n）2+t]=（t﹣n）2+n﹣t，
∵△PMN为等边三角形，
∴MH=NH，∠PMN=60°，
在Rt△PMH中，∵tan∠PMH=，
∴（t﹣n）2+n﹣t=（n﹣t），
∴n﹣t=，即MH=，
∴MN=2MH=2，PH=3，
∴S△PMN=•3•2=3，
即△PMN的面积不会随着n的变化而变化，它为定值3．
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六、解答题（共1小题，满分12分）
23．如图（1），在△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=4cm．动点P在线段AC上以5cm/s的速度从点A运动到点C．过点P作PD⊥AB于点D，将△APD绕PD的中点旋转180°得到△A′DP．设点P的运动时间为x（s）．
（1）当点A′落在边BC上时，
①四边形AD A′P的形状为 平行四边形 ；
②求出此时x的值；
（2）设△A′DP的三边在△ABC内的总长为y（cm），求y与x之间的函数关系式；
（3）如图（2），另有一动点Q与点P同时出发，在线段BC上以5cm/s的速度从点B运动到点C．过点Q作QE⊥AB于点E，将△BQE绕QE的中点旋转180°得到△B′EQ．连结A′B′．当直线A′B′与AB垂直时，求线段A′B′的长．
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【考点】几何变换综合题．
【分析】（1）①旋转变换中，对应的边相等，再根据“两组对边分别相等”，则可判断出ADA'P为平行四边形，②当A’在BC边上时，根据线段之间的数量关系，求出x的值；
（2）分两种情况讨论，①当A'在△ABC的内部和边BC上，②当A'在△ABC的外部，两种情况分别用x表示相应线段的长度，则可求得y与x的函数关系式；
（3）由A'B'⊥AB，分析得到题中隐藏的相等线段，即可求得A'B'的长度．
【解答】解：（1）①如图1，
由旋转的性质可知：PA'=AD，PA=A'D，
故答案为：平行四边形；
②由AB2=AC2+BC2，得AB=，
∵sin∠A=，cos∠A=，AP=5x，
∴PA'=AD=APcos∠A=，CP=5﹣5x，
∵cos∠CPA'=cos∠A=，即=，
解得x=；
（2）如图2，
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①当0＜x≤时，
∵A'P=AD=AP cos∠A=，PD=APsin∠A=，A'D=AP=5x，
∴y=A'P+PD+A'D=；
②当＜x≤1时，
∵PM=，
DF=DBcosA=，
∴y=PM+PD+DF=；
（3）如图3，设B'A'垂直AB于H，
则DH=PA'=AD，HE=B'Q=EB，
∴AB=2AD+2EB，即2×+2×=，
解得：x=，
又∵B′H=QE=BQsinB=5x•=，A′H=PD=APsinA=5x•=，
∴A'B'=B'H﹣A'H==×=，
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∴A'B'的长度为．
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2017年2月28日
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