北师大版数学九年级下册第二章第5节二次函数与一元二次方程
同步练习
一、选择题
1、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.6，x2=（ ）
A．-1.6 B．3.2 C．4.4 D．以上都不对
答案：C
解析：解答：由抛物线图象可知其对称轴为x=3，
因为抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，所以两根满足（x1+x2）/2=3
而x1=1.6，所以x2=4.4．
因此选C．
分析：根据图象知道抛物线的对称轴为x=3，根据抛物线是轴对称图象和已知条件即可求出x2．
2、如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（ ）
A．-1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜-1且x＞5 D．x＜-1或x＞5
答案：D
解析：解答：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（-1，0）．
利用图象可知：
ax2+bx+c＜0的解集即是y＜0的解集，
∴x＜-1或x＞5．
因此选：D．
分析：利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c＜0的解集
3、二次函数y= -x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2=（ ）
A．1 B．-1 C．-2 D．0
答案：B
解析：解答：由抛物线图象可知其对称轴为x=1，
因为抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，其中一个点的坐标为（3，0），
所以图象与x轴的另一个交点坐标为（-1，0）
所以选B．
分析：根据图象知道抛物线的对称轴为x=1，根据抛物线是轴对称图象和已知条件即可求出x2．
4、如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x= -1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是（ ）
A．（-3，0） B．（-2，0） C．x= -3 D．x= -2
答案：A
解析：解答：由抛物线图象可知其对称轴为x= -1，
因为抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，其中一个点的坐标为（1，0），
所以图象与x轴的另一个交点坐标为（-3，0）
所以选A．
分析：根据图象知道抛物线的对称轴为x= -1，根据抛物线是轴对称图象和已知条件即可求出另一个交点坐标为（-3，0）．
5、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点是（-2，0）和（4，0），这条抛物线的对称轴是（ ）
A．直线x=1 B．直线x= -1 C．直线x=2 D．直线x= -2
答案：A
解析：解答：∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点是（-2，0）和（4，0），
∴这条抛物线的对称轴是：x=（-2+4）/2，即x=1；
所以选A．
分析：根据对称轴的定义知x=( x1+x2)/2
6、若x1，x2（x1＜x2）是方程（x-a）（x-b）=1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（ ）
A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜x2＜b
C．x1＜a＜b＜x2 D．a＜x1＜b＜x2
答案：C
解析：解答：用作图法比较简单，首先作出（x-a）（x-b）=0图象，随便画一个（开口向上的，与x轴有两个交点），再向下平移一个单位，就是（x-a）（x-b）=1，这时与x轴的交点就是x1，x2，画在同一坐标系下，很较易发现：
答案是：x1＜a＜b＜x2．
所以选C．
分析：因为x1和x2为方程的两根，所以满足方程（x-a）（x-b）=1，再由已知条件x1＜x2、a＜b结合图象，可得到x1，x2，a，b的大小关系．
7、已知抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
答案：D
解析：解答：∵抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点，
∴△=4-4a＜0，
解得：a＞1，
∴抛物线的开口向上，
∴抛物线的顶点只能在第一象限或第二象限。
∵b= -2， a＞1，∴
∴抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴抛物线的顶点在第一象限；
∴选D．
分析：根据抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点，得出△=4-4a＜0，a＞1，再根据b= -2，得出抛物线的对称轴在y轴的右侧，即可求出答案．
8、已知二次函数y=x2+bx-2的图象与x轴的一个交点为（1，0），则它与x轴的另一个交点坐标是（ ）
A．（1，0） B．（2，0） C．（-2，0） D．（-1，0）
答案：C
解析：解答：把x=1，y=0代入y=x2+bx-2得：
0=1+b-2，
∴b=1，
∴y=x2+x-2
令y=0，解得x1=1，x2= -2
它与x轴的另一个交点坐标是（-2，0）．
故选C．
分析：把交点坐标（1，0），代入二次函数y=x2+bx-2求出b的值，进而知道抛物线为y=x2+x-2，可求出它与x轴的另一个交点坐标．
9、二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（ ）
A．-3 B．3 C．-6 D．9
答案：B
解析：解答：一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，可以理解为y=ax2+bx和y= -m有交点，
可见，-m≥-3，
∴m≤3，
∴m的最大值为3．
因此选B．
分析：一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，可以理解为y=ax2+bx和y= -m有交点，即可m的取值范围．
10、如图，将二次函数y=31x2-999x+892的图形画在坐标平面上，判断方程31x2-999x+892=0的两根，下列叙述何者正确（ ）
A．两根相异，且均为正根
B．两根相异，且只有一个正根
C．两根相同，且为正根
D．两根相同，且为负根
答案：A
解析：解答：∵二次函数y=31x2-999x+892的图象与x轴有两个交点，且与x轴的正半轴相交，
∴方程31x2-999x+892=0有两个正实根．
所以选A．
分析：由二次函数y=31x2-999x+892的图象得，方程31x2-999x+892=0有两个实根，两根都是正数，从而得出答案．
11、已知函数y=（x-a）（x-b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数y=ax+b的图象可能正确的是（ ）
A B C D
答案：D
解析：解答：根据图象可得出方程（x-a）（x-b）=0的两个实数根为a，b，且一正一负，负数的绝对值大
∵a＞b，∴a＞0，b＜0，
∴函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，
所以选D．
分析：根据图象可得出方程（x-a）（x-b）=0的两个实数根为a，b，且一正一负，负数的绝对值大，又a＞b，则a＞0，b＜0．根据一次函数y=ax+b的图象的性质即可得出答案．
12、已知抛物线y=x2-x-1与x轴的交点为（m，0），则代数式m2-m+2011的值为（ ）
A．2009 B．2012 C．2011 D．2010
答案：B
解析：解答：∵物线y=x2-x-1与x轴的交点为（m，0），
∴将x=m，y=0代入抛物线解析式得：m2-m-1=0，
∴m2-m=1，
则m2-m+2011=1+2011=2012．
所以选B
分析：由抛物线y=x2-x-1与x轴的交点为（m，0），将此点代入抛物线解析式，整理后求出m2-m的值，代入所求式子即可求出值．
13、抛物线y= -3x2-x+4与坐标轴的交点个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
答案：A
解析：解答：令x=0，解得：y=4，∴抛物线与y轴的交点为（0，4），
令y=0，得到-3x2-x+4=0，即3x2+x-4=0，
△=b2-4ac=49>0
∴抛物线与x轴有两个交点。
综上，抛物线与坐标轴的交点个数为3．
所以选A
分析：令抛物线解析式中x=0，求出对应的y的值，即为抛物线与y轴交点的纵坐标，确定出抛物线与y轴的交点坐标，令抛物线解析式中y=0，得到关于x的一元二次方程，根据判别式大于0，可得出抛物线与x轴有两个交点，综上，得到抛物线与坐标轴的交点个数．
14、下列哪一个函数，其图象与x轴有两个交点（ ）
A．y=(x-23)2+155 B．y=(x+23)2+155
C．y= -(x-23)2-155 D．y= -(x+23)2+155
分析：由题意得，令y=0，看是否解出x值，对A，B，C，D，一一验证从而得出答案．
答案：D
解析：解答：A、令y=0得，(x-23)2+155=0，移项得，(x-23)2= -155，方程无实根；
B、令y=0得，(x+23)2+155=0，移项得，(x+23)2= -155，方程无实根；
C、令y=0得，-(x-23)2-155=0，移项得，(x-23)2= -155，方程无实根；
D、令y=0得，-(x+23)2+155=0，移项得，(x+23)2=155，方程有两个实根．
所以选D．
15、已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+2=0的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等实数根
C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根
答案：D
解析：解答：∵方程ax2+bx+c+2=0，
∴ax2+bx+c= -2时，即y= -2求x的值，
∵y=ax2+bx+c的图象顶点坐标的纵坐标是-3，由图象可知：有两个同号不等实数根．
所以选D．
分析：根据抛物线的顶点坐标的纵坐标为-3，判断方程ax2+bx+c+2=0的根的情况即是判断y= -2时x的值．
二、填空题
16、已知二次函数y= -x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为____
答案：-1或3
解析：解答：由图像得二次函数y= -x2+2x+m的对称轴为x=1，与x轴的一个交点为（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0）
∴关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为x1= -1或x2=3．
分析：由二次函数y= -x2+2x+m的部分图象可以得到抛物线的对称轴和抛物线与x轴的一个交点坐标，然后可以求出另一个交点坐标，再利用抛物线与x轴交点的横坐标与相应的一元二次方程的根的关系即可得到关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解．
17、抛物线y=x2-4x+m与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是____
答案：（3，0）
解析：解答：把点（1，0）代入抛物线y=x2-4x+m中，得m=3，
所以，原方程为y=x2-4x+3，
令y=0，解方程x2-4x+3=0，得x1=1，x2=3
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）．
分析：把交点坐标代入抛物线解析式求m的值，再令y=0解一元二次方程求另一交点的横坐标．
18、二次函数y=x2-6x+n的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程x2-6x+n=0的一个解为x1=1，则另一个解x2=____
答案：5
解析：解答：把点（1，0）代入抛物线y=x2-6x+n中，得n=5，
所以，原方程为y=x2-6x+5，
令y=0，解方程x2-6x+5=0，得x1=1，x2=5
∴另一个解x2=5．
分析：把交点坐标代入抛物线解析式求n的值，再令y=0解一元二次方程求另一交点的横坐标．
19、抛物线y=2x2+4x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为____
答案：2
解析：解答：∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴△=0，
∴b2-4ac=42-4×2×m=0；
∴m=2．
分析：由抛物线y=2x2+4x+m与x轴只有一个公共点可知，对应的一元二次方程2x2+4x+m=0，根的判别式△=b2-4ac=0，由此即可得到关于m的方程，解方程即可求得m=2．
20、如图，抛物线y= -x2+2x+m（m＜0）与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0），点A在点B的左侧．当x=x2-2时，y____0（填“＞”“=”或“＜”号）．
答案：＜
解析：解答：∵抛物线y= -x2+2x+m（m＜0）与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0），
∴x1+x2=2，x1x2= -m＞0，
∴x1＞0，x2＞0，
∵x1+x2=2
∴x1=2-x2
∴x= -x1＜0
∴y＜0．
分析：由二次函数根与系数的关系求得关系式，求得m小于0，当x=x2-2时，从而求得y小于0．
三、计算题
21、（1）请在坐标系中画出二次函数y=x2-2x的大致图象；
（2）根据方程的根与函数图象的关系，将方程x2-2x=1的根在图上近似的表示出来（描点）；
（3）观察图象，直接写出方程x2-2x=1的根．（精确到0.1）
答案：见解析
解析：解答：(1)如下图
（2）正确作出点M，N；
（3）写出方程的根为-0.4，2.4．
分析:（1）确定顶点坐标和与x轴y轴交点，作出图形；
（2）方程x2-2x=1的根就是二次函数y=x2-2x的函数值为1时的横坐标x的值；
（3）观察图象可知图象交点的横坐标即为方程的根．
22、已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2．
（1）求q关于p的关系式；
（2）求证：抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点；
答案：（1）q= -2p-5；（2）见解析
解析：解答：（1）解：把x=2代入得22+2p+q+1=0，即q= -2p-5；
（2）证明：∵△=p2-4q＞0，
由（1）得△=p2+4（2p+5）=p2+8p+20=（p+4）2+4＞0，
∴一元二次方程x2+px+q=0有两个不相等的实根．
∴抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点；
分析：（1）把x=2代入可求得q与p的关系式；
（2）由△=b2-4ac可判断抛物线与x轴的交点情况；
23、已知二次函数y=x2+2x+c的图象经过点（1，-5）．
（1）求c的值；
（2）求函数图象与x轴的交点坐标．
答案：（1）8;(2) （-4，0），（2，0）
解析：解答：（1）∵点（1，-5）在y=x2+2x+c的图象上，
∴-5=1+2+c，
∴c= -8．
（2）令y=0，则x2+2x-8=0，
解方程得：x1= -4，x2=2．
所以函数与轴的交点坐标为（-4，0），（2，0）．
分析：①二次函数解析式只有一个待定系数c，把点（1，-5）代入解析式即可求c；
②已知二次函数解析式求函数图象与x轴的交点坐标，令y=0，解一元二次方程，可得交点的横坐标．
24、已知y关于x的函数：y=（k-2）x2-2（k-1）x+k+1中满足k≤3．
求证：此函数图象与x轴总有交点；
答案：见解析
解析：解答：分两种情况：
（1）当k=2时，函数为y= -2x+3，图象与x轴有交点．
（2）当k≠2时，△=4（k-1）2-4（k-2）（k+1）= -4k+12；
因为k≤3，所以-4k+12≥0，所以△≥0，此时抛物线与x轴有交点．
因此，k≤3时，y关于x的函数y=（k-2）x2-2（k-1）x+k+1的图象与x轴总有交点．
分析：本题可将函数分成一次函数和二次函数两种情况讨论：当k=2时，函数为一次函数，与x轴一定有交点；当k≠2时，函数为二次函数，让y=0，根据根与系数的关系以及k的取值范围我们可判断出此时的方程是否有解，如果有解，则必与x轴有交点．
25、已知抛物线y= -x2+mx+（7-2m）（m为常数）．
（1）证明：不论m为何值，抛物线与x轴恒有两个不同的交点；
（2）若抛物线与x轴的交点A（x1，0）、B（x2，0）的距离为AB=4（A在B的左边），且抛物线交y轴的正半轴于C，求抛物线的解析式．
答案：见解析
解析：解答：（1）证明：∵△=m2-4×（-1）（7-2m）
=m2-8m+28
=（m-4）2+12＞0，
∴抛物线与x轴恒有两个不同的交点；
（2）解：∵抛物线与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）
∴-x2+mx+（7-2m）=0的两个根是x1，x2
由AB=4得|x2-x1|=4，
∴（x2-x1）2=16，
即（x1+x2）2-4x1x2=16，
由根与系数关系得x1+x2=m，x1x2=2m-7
∴m2-4（2m-7）=16
即m2-8m+12=0
解得m=2或m=6，
∵抛物线交y轴的正半轴于C
∴7-2m＞0，
∴m＜3.5，
∴m=6舍去，即m=2，
∴抛物线的解析式为y= -x2+2x+3．
分析：（1）要证明抛物线与x轴恒有两个不同的交点证明抛物线的判别式是正数，所以证明判别式是正数即可解决问题；
（2）首先由AB=4可以得|x2-x1|=4，而（x2-x1）2=（x2-x1）2-4x1x2=16，然后利用根与系数的关系即可得到关于m方程，解方程即可求出m，也就求出了抛物线的解析式．
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