北师大版数学九年级下册第3章3.2圆的对称性同步练习
一、选择题
1.圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：4：6，则∠D的度数为（ ）
A．60 B．80 C．100 D．120
答案：C
解析：解答：∵内接四边形的对角互补，
∴∠A：∠B：∠C：∠D＝3：4：6：5
设∠A的度数为3x，则∠B，∠C，∠D的度数分别为4x，6x，5x
∴3x＋4x＋6x＋5x＝360°
∴x＝20°
∴∠D＝100°
故选：C．
分析：根据圆内接四边形的对角互补和四边形的内角和为360度进行求解．
2.如图，AB是⊙O的直径，，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（ ）
A．51° B．56° C．68° D．78°
答案：A
解析：解答：如图，∵，∠COD＝34°，
∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，
∴∠AOE＝180°－∠EOD－∠COD－∠BOC＝78°．
又∵OA＝OE，
∴∠AEO＝∠OAE，
∴∠AEO＝×（180°－78°）＝51°．
故选：A．
分析：由，可知∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，可求得∠AOE
的度数；再根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质可求∠AEO的度数．
3.如图所示，在⊙O中，，∠A＝30°，则∠B＝（ ）
A．150° B．75° C．60° D．15°
答案：B
解析：解答：∵在⊙O中，，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C；又∠A＝30°，
∴∠B＝＝75°．
故选：B．
分析：先根据等弧所对的弦相等可知AB＝AC，然后得出∠B＝∠C；求∠B的度数即可．
4.如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（ ）
A．cm B．cm C．cm D．4cm
答案：A
解析：解答：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵∠CAD＝∠BAD，
∴，
∴∠DOB＝∠OAC＝2∠BAD，
∴△AOF≌△ODE，
∴OE＝AF＝AC＝3（cm），在Rt△DOE中，DE＝＝4（cm），
在Rt△ADE中，AD＝＝4（cm）．
故选：A．
分析：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据圆周角定理，可证得∠DOB＝∠OAC，即证△AOF≌△OED，所以OE＝AF＝3cm，由勾股定理，得DE＝4cm，在直角三角形ADE中，根据勾股定理，可求AD的长．
5.若圆的一条弦把圆分成度数比为1：3的两条弧，则优弧所对的圆周角为（ ）
A．45° B．90° C．l35° D．270°
答案：A
解析：解答：∵圆的一条弦把圆分成度数比为1：3的两条弧，
∴∠AOB：大角∠AOB＝1：3，
∴大角∠AOB＝360°×＝270°．
∴优弧所对的圆周角为：270÷2＝135°，
故选：C．
分析：因为弧的度数就是它所对圆心角的度数，所以弧的比就是圆心角的比，据由此即可求出圆周角的度数．
6.如图，△ABC的外接圆上，AB，BC，CA三弧的度数比为12：13：11．自劣弧BC上取一点D，过D分别作直线AC，直线AB的平行线，且交 于E，F两点，则∠EDF的度数为（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
答案：C
解析：解答：∵AB，BC，CA三弧的度数比为12：13：11，
∴＝×360°＝120°，＝×360°＝110°，
∴∠ACB＝×120°＝60°，∠ABC＝×110°＝55°，
∵AC∥ED，AB∥DF，
∴∠FED＝∠ACB＝60°，∠EFD＝∠ABC＝55°，
∴∠EDF＝180°－60°－55°＝65°．
故选：C．
分析：先根据AB，BC，CA三弧的度数比为12：13：11求出 的度数，再根据其度数即可求出∠ACB及∠ABC的度数，由平行线的性质即可求出∠FED及∠EFD的度数，由三角形内角和定理即可求出∠EDF的度数．
7.如图，弧是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧
上任意一点，若AC＝5，则四边形ACBP周长的最大值是（ ）
A．15 B．20 C．15＋5 D．15＋5
答案：C
解析：解答：由于AC和BC值固定，点P在弧AD上，而B是圆心，所以PB的长也是定值，因此，只要AP的长为最大值，∴当P的运动到D点时，AP最长为5
，所以周长为5×3＋5＝15＋5．故选：C．
分析：因为P在半径为5的圆周上，若使四边形周长最大，只要AP最长即可
8.如图，在⊙O中，∠AOB的度数为m，C是弧ACB上一点，D、E是弧AB上不同的两点（不与A、B两点重合），则∠D＋∠E的度数为（ ）
A．m B．180°－ C．90°＋ D．
答案：B
解析：解答：∵∠AOB的度数为m，
∴弧AB的度数为m，
∴弧ACB的度数为360°－m，
∴∠D＋∠E＝（360°－m）＝180°－．
故选：B．
分析：根据圆心角与弧的关系及圆周角定理可求得∠D＋∠E的度数
9.如图，MN为⊙O的弦，∠M＝50°，则∠MON等于（ ）
A．50° B．55° C．65° D．80°
答案：D
解析：解答：∵OM＝ON，
∴∠N＝∠M＝50°．
再根据三角形的内角和是180°，得：∠MON＝180°－50°×2＝80°．
故选：D．
分析：先运用了等腰三角形的性质求出∠N，再根据三角形的内角和是180°即可得．
10.如图，已知：AB是⊙O的直径，C、D是上的三等分点，∠AOE=60°，∠COE是（ ）
A．40° B．60° C．80° D．120°
答案：C
解析：解答：∵∠AOE＝60°，
∴∠BOE＝180－∠AOE＝120°，
∴的度数是120°，
∵C、D是上的三等分点，
∴与的度数都是40度，
∴∠COE＝80°．
故选：C．
分析：先求出∠BOE＝120°，再运用“等弧对等角”即可解．
11.如图，弧BE是半径为6的圆D的圆周，C点是上的任意一点，△ABD是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是（ ）
A．12＜P≤18 B．18＜P≤24 C．18＜P≤18＋6 D．12＜P≤12＋6
答案：C
解析：解答：∵△ABD是等边三角形
∴AB＋AD＋CD＝18，得P＞18
∵BC的最大值为当点C与E重合的时刻，BE＝6
∴P≤18＋6
∴p的取值范围是18＜P≤18＋6．故选：C．
分析：四边形ABCD的周长P就是四边形的四边的和，四边中AB，AD，CD的长是BD长度确定，因而本题就是确定BC的范围，BC一定大于0，且小于或等于BE，只要求出BE的长就可以．
12.如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，且∠AOC＝50°，作AE∥CD，交⊙O于E，则弧AE的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
答案：D
解析：解答：连接BE，OE，
∵AE∥CD
∴∠A＝∠AOC＝50°，
∵AB是直径，
∴∠E＝90°，∠B＝40°，
∴∠AOE＝80°，即弧AE的度数为80°．
故选：D．
分析：先用两直线平行，内错角相等和圆周角定理求出∠A和∠B，再运用在同圆工等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．即可得．
13.如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD＝（ ）
A．105° B．120° C．135° D．150°
答案：B
解析：解答：由题意知，弦BC、CD、DA三等分半圆，
∴弦BC和CD和DA对的圆心角均为60°，
∴∠BCD＝120°．
故选：B．
分析：由已知可得，弦BC、CD、DA三等分半圆，从而不难求得∠BCD的度数．
14.如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数是（ ）
A．180° B．150° C．135° D．120°
答案：A
解析：解答：∵点A、B、C、D、E五等分圆，
∴＝72°，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E，
∵∠ADB＝×72°＝36°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝5×36°＝180°．
故选：A．
分析：根据点A、B、C、D、E五等分圆可求出每条弧的度数，再根据圆周角定理即可得出答案．
15.如图，在⊙O中，弦AB＝CD，图中的线段、角、弧分别具有相等关系的量共有（不包括AB＝CD）（ ）
A．10组 B．7组 C．6组 D．5组
答案：A
解析：解答：线段OA，OB，OC，OD每两条都相等，因而有6对；
∠AOB＝∠COD，∠AOC＝∠BOD，
，．故选：A．
分析：先找到4条半径，得到6组相等的量，再运用“同圆中相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等”可得4组相等的量．
二、填空题
16.如图，圆心角∠AOB＝20°，将 旋转n°得到，则的度数是 度．
答案：20
解析：解答：∵将旋转n°得到，
∴＝，
∴∠DOC＝∠AOB＝20°，
∴的度数为20度．
故答案为20．
分析：先根据旋转的性质得＝，则根据圆心角、弧、弦的关系得到∠DOC＝∠AOB
＝20°，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数即可得到的度数．
17.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为 ．
答案：50°
解析：解答：连接CD，
∵∠A＝25°，
∴∠B＝65°，
∵CB＝CD，
∴∠B＝∠CDB＝65°，
∴∠BCD＝50°，
∴的度数为50°．
故答案为：50°．
分析：连接CD，求出∠B＝65°，再根据CB＝CD，求出∠BCD的度数即可．
18.一条弧所对的圆心角为135°弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为 cm．
答案：40
解析：解答：设弧所在圆的半径为r，
由题意得，＝2π×5×3，解得，r＝40cm．
故应填40．
分析：设出弧所在圆的半径，由于弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，所以根据原题所给出的等量关系，列出方程，解方程即可．
19.已知：如图，在⊙O中，C在圆周上，∠ACB＝45°，则∠AOB＝____
答案：90°
解析：解答：∵在⊙O中，C在圆周上，∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°．
故答案为：90°．
分析：由在⊙O中，C在圆周上，∠ACB＝45°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠AOB的度数.
20.如图，A、B、C是⊙O上的三个点，∠ABC＝25°，则∠AOC的度数是____
答案：50°
解析：解答：∵圆心角∠AOC与圆周角∠ABC都对，
∴∠AOC＝2∠ABC，又∠ABC＝25°，
则∠AOC＝50°．
故答案为：50°
分析：根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知圆周角的度数，即可求出所求圆心角的度数．
三、解答题
21.如图，AB是⊙O的直径，＝，∠COD＝60°．
（1）△AOC是等边三角形吗？请说明理由；
答案：是等边三角形
（2）求证：OC∥BD．
答案：见解析
解析：解答：（1）△AOC是等边三角形.
证明：∵＝，
∴∠1＝∠COD＝60°
∵OA＝OC几何
∴△AOC是等边三角形；
（2）∵ ＝，
∴OC⊥AD
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即BD⊥AD
∴OC∥BD.
分析：（1）由等弧所对的圆心角相等推知∠1＝∠COD＝60°；圆的半径知OA＝OC，从而证得△AOC是等边三角形；（2）利用同垂直于一条直线的两条直线互相平行来证明OC∥BD；
22.如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，且点D为BC的中点．
（1）求证：△ABC为等边三角形；
答案：见解析
（2）求DE的长；
答案：1；
（3）在线段AB的延长线上是否存在一点P，使△PBD≌△AED？若存在，请求出PB的长；若不存在，请说明理由．
答案：存在，只需PB ＝1
解析：解答：（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵点D是BC的中点，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∴AB＝AC，
∵AB＝BC，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC为等边三角形．
（2）解：连接BE．
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∴BE⊥AC，
∵△ABC是等边三角形，
∴AE＝EC，即E为AC的中点，
∵D是BC的中点，故DE为△ABC的中位线，
∴DE＝AB＝×2＝1．
（3）解：存在点P使△PBD≌△AED，由（1）（2）知，BD＝ED，
∵∠BAC＝60°，DE∥AB，
∴∠AED＝120°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠PBD＝120°，
∴∠PBD＝∠AED，要使△PBD≌△AED；
只需PB＝AE＝1．
分析：（1）连接AD，利用直径所对的圆周角为直角及垂直平分线的性质得到相等的线段AB＝AC，联立已知的AB＝BC，即可证得△ABC是等边三角形；
（2）连接BE，利用直径所对的圆周角为直角，得到BE⊥AC，然后利用等腰三角形三线合一的性质得出E为AC的中点，继而利用三角形中位线的数量关系求得DE的长度；
（3）根据等边三角形的性质，可以证得△PBD和△AED有一组边DE＝BD和一对角∠PBD＝∠AED对应相等，所以只要再满足这组角的另一夹边对应相等就可以了．
23.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且AC＝CD．
（1）求证：OC∥BD；
答案：见解析；
（2）若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，试确定四边形OBDC的形状．
答案：菱形
解析：解答：（1）证明：∵AC＝CD，
∴
∴∠ABC＝∠CBD，
又∵OC＝OB（⊙O的半径），
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠OCB＝∠CBD，
∴OC∥BD；
（2）解：∵OC∥BD，不妨设平行线OC与BD间的距离为h，
又S△OBC＝OC×h，S△DBC＝BD×h，
因为BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，即S△OBC＝S△DBC，
∴OC＝BD，
∴四边形OBDC为平行四边形，
又∵OC＝OB，
∴四边形OBDC为菱形．
分析：（1）首先由AC＝CD得到弧AC与弧CD相等，然后得到∠ABC＝∠CBD，而OC＝OB，所以得到∠OCB＝∠OBC，接着得到∠OCB＝∠CBD，由此即可证明结论；
（2）首先由BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形根据三角形的面积公式可以推出OC＝BD，而后利用（1）的结论可以证明四边形OBDC为平行四边形，再利用OC＝OB即可证明四边形OBDC为菱形．
24.如图△ABC中，BC＝3，以BC为直径的⊙O交AC于点D，若D是AC中点，∠ABC＝120°．
（1）求∠ACB的大小；
答案：∠ACB＝30°
（2）求点A到直线BC的距离．
答案：
解析：解答：（1）连接BD，
∵以BC为直径的⊙O交AC于点D，
∴∠BDC＝90°，
∵D是AC中点，
∴BD是AC的垂直平分线，
∴AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
∵∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝30°，
即∠ACB＝30°；
（2）过点A作AE⊥BC于点E，
∵BC＝3，∠ACB＝30°，∠BDC＝90°，
∴cos30°＝，
∴CD＝，
∵AD＝CD，
∴AC＝3，
∵在Rt△AEC中，∠ACE＝30°，
∴AE＝×3＝．
分析：（1）根据垂直平分线的性质得出AB＝BC，进而得出∠A＝∠C＝30°即可；（2）根据BC＝3，∠ACB＝30°，∠BDC＝90°，得出CD的长，进而求出AE的长度即可．
25.如图，等边△ABC内接于⊙O，P是上任一点（点P不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．
（1）填空：∠APC＝____ 度，∠BPC＝____度；
答案：60，60
（2）求证：△ACM≌△BCP；
答案：见解析
（3）若PA＝1，PB＝2，求梯形PBCM的面积．
答案：
解析：解答：（1）解：∠APC＝60°，∠BPC＝60°；
（2）证明：∵CM∥BP，
∴∠BPM＋∠M＝180°，
∠PCM＝∠BPC，
∵∠BPC＝∠BAC＝60°，
∴∠PCM＝∠BPC＝60°，
∴∠M＝180°－∠BPM＝180°－（∠APC＋∠BPC）＝180°－120°＝60°，
∴∠M＝∠BPC＝60°，
又∵A、P、B、C四点共圆，
∴∠PAC＋∠PBC＝180°，
∵∠MAC＋∠PAC＝180°
∴∠MAC＝∠PBC
∵AC＝BC，
∴△ACM≌△BCP；
（3）解：作PH⊥CM于H，
∵△ACM≌△BCP，
∴CM＝CP AM＝BP，
又∠M＝60°，
∴△PCM为等边三角形，
∴CM＝CP＝PM＝PA＋AM＝PA＋PB＝1＋2＝3，
在Rt△PMH中，∠MPH＝30°，
∴PH＝，
∴S梯形PBCM＝（PB＋CM）×PH＝(2＋3)×＝ ．
分析：（1）利用同弧所对的圆周角相等求得未知角；（2）利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段证得两三角形全等即可；（3）利用上题证得的两三角形全等判定△PCM为等边三角形，进而求得PH的长，利用梯形的面积公式计算梯形的面积即可．
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