北师大版数学九年级下册第3章第5节确定圆的条件同步检测
一、选择题
1.下列命题中，正确的是（ ）
A．平面上三个点确定一个圆
B．等弧所对的圆周角相等
C．平分弦的直径垂直于这条弦
D．与某圆一条半径垂直的直线是该圆的切线
答案：B
解析：解答：A．三个点不共线的点确定一个平面，故A不正确；
B．由圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理可知：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角 相等，故选项B正确；
C．平分弦的直径垂直于弦，被平分的弦不能是直径，故此选项错误；
D．与某圆一条半径垂直的直线是该圆的切线，错误，正确的应该是：一条直线垂直于圆的半径的外端，这条直线一定就是圆的切线．故此选项错误；
故选：B．
分析：根据在一条直线上的三点就不能确定一个圆可以判断A，再利用圆心角定理得出B正确；由当弦为直径时不垂直也平分，以及利用切线的判定对D进行判定．
2.下列说法错误的是（ ）
A．直径是弦
B．最长的弦是直径
C．垂直弦的直径平分弦
D．经过三点可以确定一个圆
答案：D
解析：解答：A．直径是弦，根据弦的定义是连接圆上两点的线段，∴故此选项正确，但不符合题意，
B．最长的弦是直径，根据直径是圆中最长的弦，∴故此选项正确，但不符合题意，
C．垂直弦的直径平分弦，利用垂径定理即可得出，故此选项正确，但不符合题意，
D．经过三点可以确定一个圆，利用经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，故此选项错误，符合题意，
故选：D．
分析：根据弦的定义，以及经过不在同一直线上的三点可以作一个圆可判断和垂径定理分别得出即可．
3.下列命题中的假命题是（ ）
A．三点确定一个圆
B．三角形的内心到三角形各边的距离都相等
C．同圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等
D．同圆中，相等的弧所对的弦相等
答案：A
解析：解答：A.应为不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误；
B.三角形的内心到三角形各边的距离都相等，是三角形的内心的性质，故本选项正确；
C.同圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，正确；
D.同圆中，相等的弧所对的弦相等，正确．
故选A．
分析：根据确定圆的条件，三角形内心性质，以及圆心角、弧、弦的关系，对各选项分析判断后利用排除法求解．
4.如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，4）、（5，4）、（1，-2），则△ABC外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）
答案：D
解析：解答：如图：
根据垂径定理的推论，则作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，且坐标是（3，1）．
故选D．
分析：根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．
5.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）
A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块
答案：B
解析：解答：第②块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，就交于了圆心，进而可得到半径的长．
故选：B．
分析：要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小．
6.到三角形各顶点的距离相等的点是三角形（ ）
A．三边的垂直平分线的交点
B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条中线的交点
答案：A
解析：解答：因为到三角形各顶点的距离相等的点，需要根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，只有分别作出三角形的两边的垂直平分线，交点才到三个顶点的距离相等．
故选：A
分析：根据三角形外心的作法，确定到三定点距离相等的点．
7.小红的衣服被铁钉划了一个呈直角三角形的洞，其中三角形的两边长分别为1cm和2cm，若用同色圆形布将此洞全部覆盖，那么这块圆布的直径最小应等于（ ）
A．2cm B．3cm C．2cm或3cm D．2cm或 cm
答案：A
解析：解答：由题意，若圆布的直径最小，那么2cm必为直角三角形的斜边长；
由于直角三角形的外接圆等于斜边的长，所以圆布的最小直径为2cm，
故选A．
分析：由于已知的三角形两边没有明确是直角边还是斜边，因此有两种情况：
①1cm、2cm同为直角边，②1cm为直角边，2cm为斜边；
由于直角三角形的外接圆直径等于斜边的长，若外接圆直径最小，那么直角三角形的斜边最小，显然①是不符合题意，因此直角三角形的斜边为2cm，即圆布的最小直径是2cm．
8.下列说法中错误的是（ ）
A．三角形的外心不一定在三角形的外部
B．圆的两条非直径的弦不可能互相平分
C．两个三角形可能有公共的外心
D．任何梯形都没有外接圆
答案：D
解析：解答： A.根据三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点，则三角形的外心的位置有三种情况．正确；
B.根据垂径定理的推论可以运用反证法证明可知，该选项错误；
C.因为一个圆有无数个内接三角形，所以两个三角形可能有公共的外心．正确；
D.等腰梯形一定有外接圆．错误．
故选D．
分析：本题根据三角形的外接圆与外心的位置及其性质特点，逐项进行分析即可求解．
9.如图，已知△ABC的外接圆⊙O的半径为1，D，E分别为AB，AC的中点，则sin∠BAC的值等于线段（ ）
A．BC的长 B．DE的长 C．AD的长 D．AE的长
答案：B
解析：解答：如图：
过B作⊙O的直径BF，交⊙O于F，连接FC，则∠BCF=90°，
Rt△BCF中，sinF=
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，即DE=，
∴sinA=sinF==DE．
故选B．
分析：本题需将∠BAC构建到直角三角形中求解，过B作⊙O的直径，交⊙O于点F，由圆周角定理，知∠F=∠A；在Rt△BCF中，易求得sinF=，而DE是△ABC的中位线，即DE=，由此得解．
10.如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AC=5，DC=3，AB=
，则⊙O的直径AE=（ ）
A． B．5 C． D．
答案：A
解析：解答： 如图：
连接BE，则∠BEA=∠ACB，且三角形ABE是直角三角形．
在Rt△ACD中，AC=5，DC=3，
则AD=
sin∠BEA=sin∠ACB=
故⊙O的直径
故选A．
分析：连接BE．易知∠BEA=∠ACB，解直角三角形ABE即可求出AE．
11.如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OC，⊙O的半径R=2，sinB=，则弦AC的长为（ ）
A．3 B． C． D．
答案：A
解析：解答：延长AO交圆于点D，连接CD，
由圆周角定理，得：∠ACD=90°，∠D=∠B
∴sinD=sinB=，
Rt△ADC中，sinD=，AD=2R=4，
∴AC=AD•sinD=3．
故选A．
分析：若想利用∠B的正弦值，需构建与它相等的圆周角，延长AO交⊙O于D，在Rt△ADC中，由圆周角定理，易得∠D=∠B，即可根据∠D的正弦值和直径AD的长，求出AC的长．
12.三角形的外心是三角形中（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交 D．三条高的交点
答案：A
解析：解答：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点．
故选：A．
分析：根据三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，解答即可．
13、有下列四个命题，其中正确的有（ ）
①圆的对称轴是直径； ②经过三个点一定可以作圆；
③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
答案：C
解析：解答：①圆的对称轴是直径所在的直线； 故此选项错误；
②当三点共线的时候，不能作圆，故此选项错误；
③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故此选项正确；
④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故此选项正确．
故选：C．
分析：根据圆中的有关概念、定理进行分析判断．
14、若一个三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
答案：B
解析：解答：锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是其斜边的中点，钝角三角形的外心在其三角形的外部；
由此可知若三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形是直角三角形．
故选：B．
分析：根据直径所对的圆周角是直角得该三角形是直角三角形．
15.如图，△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的三边分别记为a，b，c，O是△ABC的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，则OD：OE：OF=（ ）
A．a：b：c B． C．cosA：cosB：cosC D．sinA：sinB：sinC
答案：C
解析：解答：设三角形的外接圆的半径是R．
连接OB，OC．
∵O是△ABC的外心，且OD⊥BC．
∴∠BOD=∠COD=∠A
在直角△OBD中，OD=OB•cos∠BOD=R•cosA．
同理，OE=R•cosB，OF=R•cosC．
∴OD：OE：OF=cosA：cosB：cosC．
故选C．
分析： 设三角形的外接圆的半径是R，根据垂径定理，在直角△OBD中，利用三角函数即可用外接圆的半径表示出OD的长，同理可以表示出OE，OF的长，即可求解．
二、填空题
16.当点A（1，2），B（3，-3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，m，n需要满足的条件 .
答案：5m+2n≠9．
解析：解答：设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A（1，2），B（3，-3），
∴
解得：k=-2.5 ，b=4.5 ，
∴直线AB的解析式为y=-2.5 x+4.5 ，
∵点A（1，2），B（3，-3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，
∴点C不在直线AB上，
∴5m+2n≠9，
故答案为：5m+2n≠9．
分析：能确定一个圆就是不在同一直线上，首先确定直线AB的解析式，然后点C不满足求得的直线即可．
17.平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，-3）、C（2，-3） 确定一个圆（填“能”或“不能”）．
答案：能
解析：解答：∵B（0，-3）、C（2，-3），
∴BC∥x轴，
而点A（1，0）在x轴上，
∴点A、B、C不共线，
∴三个点A（1，0）、B（0，-3）、C（2，-3）能确定一个圆．
故答案为：能．
分析：根据三个点的坐标特征得到它们不共线，于是根据确定圆的条件可判断它们能确定一个圆．
18.如图△ABC中外接圆的圆心坐标是 .
答案：（6，2）．
解析：解答：如图：
分别做三角形的三边的垂直平分线，可知相交于点（6，2），
即△ABC中外接圆的圆心坐标是（6，2）．
故答案为：（6，2）．
分析：本题可借助网格在网格中根据三角形三边的位置作出它们的垂直平分线，垂直平分线相交于一点，该点就是圆心，根据网格中的单位长度即可求解．
19.已知△ABC的边BC=4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4cm，则∠A的度数是 .
答案：30°或150°．
解析：解答：如图：连接BO，CO，
∵△ABC的边BC=4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4cm，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠A=30°．
若点A在劣弧BC上时，∠A=150°．
∴∠A=30°或150°．
故答案为：30°或150°．
分析：利用等边三角形的判定与性质得出∠BOC=60°，再利用圆周角定理得出答案．
20.我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距．如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠ACB=∠ACD=90°，点D在边BC的延长线上，如果BC=DC=3，那么△ABC和△ACD的外心距是 .
答案：3
解析：解答：∵∠ACB=∠ACD=90°，
∴Rt△ABC和Rt△ACD分别是AB，AD的中点，
∴两三角形的外心距为△ABD的中位线，即为BD=3．
故答案为：3．
分析：利用直角三角形的性质得出两三角形的外心距为△ABD的中位线，即可得出答案．
三、证明题
21.如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．
答案：见解析
解析：解答：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．
∵BD，CE是△ABC的高，
∴△BCD和△BCE都是直角三角形．
∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，
∴DF=EF=BF=CF．
∴E，B，C，D四点在以F点为圆心， BC为半径的圆上．
分析：求证E，B，C，D四点在同一个圆上，△BCD是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明F到BC的中点的距离等于BC的一半就可以．
22.如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．
（1）求证：BD=CD；
（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．
答案：略
解析：解答：（1）证明：∵AD为直径，AD⊥BC，
∴
∴BD=CD．
（2）B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
理由：由（1）知： BD ＝ CD ，
∴∠BAD=∠CBD，
又∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，
∵∠DBE=∠CBD+∠CBE，∠DEB=∠BAD+∠ABE，∠CBE=∠ABE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE．
由（1）知：BD=CD
∴DB=DE=DC．
∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
分析：（1）利用等弧对等弦即可证明．
（2）利用等弧所对的圆周角相等，∠BAD=∠CBD再等量代换得出∠DBE=∠DEB，从而证明DB=DE=DC，所以B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
23.如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE⊥AB交BC于点D，交⊙O于点E，F在DA的延长线上，且AF=AD．若AF=3，tan∠ABD=，求⊙O的直径．
答案：
解析：解答：如图，连接BE．
∵AF=AD，AB⊥EF，
∴BF=BD．是直径
∵AB=AC，
∴∠FBA=∠ABC=∠C=∠E．
∵tan∠ABD=，
∴tanE=tan∠FBA=．
在Rt△ABF中，∠BAF=90°．
∵tan∠FBA== ，AF=3，
∴AB=4．
∵∠BAE=90°，
∴BE是⊙O的直径．
∵tanE=tan∠FBA= ，AB=4，
∴设AB=3x，AE=4x，
∴BE=5x，
∵3x=4，
∴BE=5x=，
即⊙O的直径是．
分析：如图，连接BE．利用等腰三角形“三线合一”的性质得到BF=BD；然后根据圆周角定理推知∠FBA=∠ABC=∠C=∠E，BE是⊙O的直径．利用锐角三角函数的定义可以来求BE
的长度．
24.已知在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，求△ABC外接圆的半径．
答案：
解析：解答：过A作AD⊥BC于D，连接BO，
△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
则AD必过圆心O，
Rt△ABD中，AB=10，BD=8
∴AD=6，
设⊙O的半径为x，
Rt△OBD中，OB=x，OD=6-x
根据勾股定理，得：，即：，
解得：x=，
则△ABC外接圆的半径为：．
分析：已知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，若过A作底边BC的垂线，则AD必过圆心O，在Rt△OBD中，用半径表示出OD的长，即可用勾股定理求得半径的长．
25.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，过A，C，D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．
（1）求证：AC=AE；
（2）若AC=6，CB=8，求△ACD外接圆的直径．
答案：(1)略；(2)
解析：解答：（1）证明：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AD为圆的直径，
∴∠AED=90°，
∵AD是△BAC的∠CAB的角平分线，
∴∠CAD=∠EAD，
Rt△ACD与Rt△ADE中，
∠CAD=∠BAD， ∠ACB=∠AED ，AD=AD ，
∴Rt△ACD≌Rt△ADE（AAS），
∴AC=AE．
（2）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，CB=8，
∴
∵由（1）知，AC=AE，CD=DE，∠ACD=∠AED=90°，
∴设CD=x，则BD=8-x，BE=AB-AE=10-6=4，
在Rt△BDE中，，即解得x=3．
在Rt△ACD中即解得AD=，
分析：（1）由Rt△ABC中，∠ACB=90°，可得AD是直径，可得△ADE为直角三角形，在两个直角三角形中，利用AAS可得两三角形全等，得到答案；
（2）先根据勾股定理求出AB的长，由（1）知，AC=AE，CD=DE，设CD=x，则BD=8-x，在Rt△BDE中，根据勾股定理求出x的值，同理，在Rt∠ACD中求出AD的长，进而可得出结论．
微信/支付宝扫码支付