北师大版数学九年级下册第3章第7节切线长定理同步检测
一、选择题
1.如图，一圆内切四边形ABCD，且BC=10，AD=7，则四边形的周长为（ ）
A．32 B．34 C．36 D．38
答案：B
解析：解答：由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，
所以四边形的周长=2×（7+10）=34．
故选：B．
分析： 根据切线长定理，可以证明圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等，从而可求得四边形的周长．
2.如图所示，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=15，则△PCD的周长为（ ）
A．15 B．12 C．20 D．30
答案：D
解析：解答：∵P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，
∴AC=EC，BD=DE，AP=BP，
∵PA=15，∴△PCD的周长为：PA+PB=30．
故选：D．
分析：直接利用切线长定理得出AC=EC，BD=DE，AP=BP，进而求出答案．
3.如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD=10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（ ）
A．20cm B．15cm C．10cm D．随直线MN的变化而变化
答案：A
解析：解答： 如图：
∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD=10cm，
∴设E、F分别是⊙O的切点，
故DM=MF，FN=EN，AD=AE，
∴AM+AN+MN=AD+AE=10+10=20（cm）．
故选：A．
分析： 利用切线长定理得出DM=MF，FN=EN，AD=AE，进而得出答案．
4.如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB=10，BC=7，CD=8，则AD的长度为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
答案：D
解析：解答： ∵⊙O内切于四边形ABCD，
∴AD+BC=AB+CD，
∵AB=10，BC=7，CD=8，
∴AD+7=10+8，
解得：AD=11．
故选：D．
分析：根据圆外切四边形的性质对边和相等进而得出AD的长．
5.圆外切等腰梯形的一腰长是8，则这个等腰梯形的上底与下底长的和为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
答案：D
解析：解答： ∵圆外切等腰梯形的一腰长是8，
∴梯形对边和为：8+8=16，
则这个等腰梯形的上底与下底长的和为16．
故选：D．
分析：直接利用圆外切四边形对边和相等，进而求出即可．
6.如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．16
答案：A
解析：解答：∵AB、AC、BC、DE都和⊙O相切，
∴BI=BG，CI=CH，DG=DF，EF=EH．
∴BG+CH=BI+CI=BC=9，
∴△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DF+EF=AD+DG+EH+AE=AG+AH=△ABC的周长-（BG+EH+BC）=25-2×9=7．
故选A．
分析：根据切线长定理，可得BI=BG，CI=CH，DG=DF，EF=EH，△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DF+EF=AD+DG+EH+AE=AG+AH=△ABC的周长-（BG+EH+BC），据此即可求解．
7.如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的长是（ ）
A．4 B．8 C．4 D．8
答案：B
解析：解答：∵PA、PB都是⊙O的切线，
∴PA=PB，
又∵∠P=60°，
∴△PAB是等边三角形，即AB=PA=8，
故选B．
分析： 根据切线长定理知PA=PB，而∠P=60°，所以△PAB是等边三角形，由此求得弦AB的长．
8.如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC=35°，∠P的度数为（ ）
A．35° B．45° C．60° D．70°
答案：D
解析：解答： 根据切线的性质定理得∠PAC=90°，
∴∠PAB=90°-∠BAC=90°-35°=55°．
根据切线长定理得PA=PB，
所以∠PBA=∠PAB=55°，
所以∠P=70°．
故选D．
分析： 根据切线长定理得等腰△PAB，运用内角和定理求解．
9.如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠A=70°，则∠BOC的度数为（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
答案：C
解析：解答： ∵AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，
∴∠B=∠C=90°，∠BOC=180°-∠A=110°．
故选C．
分析：利用切线的性质可得，∠B=∠C=90°，再用四边形的内角和为360度可解．
10.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点是A、B．如果OP=4，PA=
，那么∠AOB等于（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
答案：D
解析：解答： ∵△APO≌△BPO（HL），
∴∠AOP=∠BOP．
∵sin∠AOP=AP：OP=2 ：4= ：2，
∴∠AOP=60°．
∴∠AOB=120°．
故选D．
分析：由切线长定理知△APO≌△BPO，得∠AOP=∠BOP．可求得sin∠AOP= ：2，所以可知∠AOP=60°，从而求得∠AOB的值．
11.如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论中，错误的是（ ）
A．∠1=∠2 B．PA=PB C．AB⊥OP D．=PC•PO
答案：D
解析：解答： 连接OA、OB，AB，
∵PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，
由切线长定理知，∠1=∠2，PA=PB，
∴△ABP是等腰三角形，
∵∠1=∠2，
∴AB⊥OP（等腰三角形三线合一），
故A，B，C正确，
根据切割线定理知：=PC•（PO+OC），因此D错误．
故选D．
分析： 由切线长定理可判断出A、B选项均正确．易知△ABP是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的特点，可求出AB⊥OP，故C正确．而D选项显然不符合切割线定理，因此D错误．
12.如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若PA=5，则△PCD的周长和∠COD分别为（ ）
A．5，（90°+∠P） B．7，90°+ C．10，90°- ∠P D．10，90°+∠P
答案：C
解析：解答：∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，
∴PA=PB=10，ED=AD，CE=BC；
∴△PCD的周长=PD+DE+PC+CE=2PA，即△PCD的周长=2PA=10，；
如图，连接OA、OE、OB．
由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB=DE，AC=CE，
∵AO=OE=OB，
易证△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS），
∴∠AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD，
∴∠COD=∠AOB，
∴∠AOB=180°-∠P，
∴∠COD=90°-∠P．
故选：C．
分析： 根据切线长定理，即可得到PA=PB，ED=AD，CE=BC，从而求得三角形的周长=2PA；连接OA、OE、OB根据切线性质，∠P+∠AOB=180°，再根据CD为切线可知∠COD=∠AOB．
13.圆外切等腰梯形的中位线等于8，则一腰长等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
答案：C
解析：解答：如图，
设圆的外切梯形ABCD，切点分别为E、H、N、中位线为MN，
∴MN=（AB+CD），
根据切线长定理得：
DE=DH，CF=CH，并且等腰梯形和圆都是轴对称图形，
∴CD=DH+CH=DE+CF=（AB+CD），
∴CD=MN，而MN=8，
∴CD=8．
故选C．
分析：如图，设圆的外切梯形ABCD，切点分别为E、H、N、中位线为MN，根据中位线定理可以得到上下底之和，然后利用切线长定理可以得到一腰长等于中位线，由此即可解决问题．
14.如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC=10，AB=8，BC=9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（ ）
A．9 B．7 C．11 D．8
答案：C
解析：解答：如图：
设AB，AC，BC和圆的切点分别是P，N，M，CM=x，根据切线长定理，得
CN=CM=x，BM=BP=9-x，AN=AP=10-x．
则有9-x+10-x=8，
解得：x=5.5．
所以△CDE的周长=CD+CE+QE+DQ=2x=11．
故选：C．
分析：设AB，AC，BC和圆的切点分别是P，N，M．根据切线长定理得到NC=MC，QE=DQ．所以三角形CDE的周长即是CM+CN的值，再进一步根据切线长定理由三角形ABC的三边进行求解即可．
15.已知四边形ABCD是梯形，且AD∥BC，AD＜BC，又⊙O与AB、AD、CD分别相切于点E、F、G，圆心O在BC上，则AB+CD与BC的大小关系是（ ）
A．大于 B．等于 C．小于 D．不能确定
答案：A
解析：解答：连接OF，
∵AD是切线，
∴OF⊥AD，
又∵AD∥BC，
∴AB≥OF，CD≥OF，
又∵AD＜BC，
∴AB≥OF，CD≥OF最多有一个成立．
∴AB+CD＞2OF，
∵BC=2OF，
∴AB+CD＞BC．
故选A，
分析：连接OF，则OF是梯形的高，则AB≥OF，CD≥OF，而两个式子不能同时成立，据此即可证得．
二、填空题
16.如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA= cm.
答案：5
解析：解答：如图，设DC与⊙O的切点为E；
∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；
∴PA=PB；
同理，可得：DE=DA，CE=CB；
则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=10（cm）；
∴PA=PB=5cm，
故答案为：5．
分析：由于DA、DC、BC都是⊙O的切线，可根据切线长定理，将△PCD的周长转换为PA、PB的长，然后再进行求解．
17.如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8cm，那么△PDE的周长为
答案：16
解析：解答：∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，
∴PA=PB，DA=DC，EC=EB；
∴C△PDE=PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=8+8=16；
∴△PDE的周长为16．
故答案为16．
分析：由于PA、PB、DE都是⊙O的切线，可根据切线长定理将切线PA、PB的长转化为△PDE的周长．
18.如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是
答案：
解析：解答：连接PO，AO，
∵PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，
∴∠APO=∠BPO，AC=EC，DE=BD，PA=PB，
∴PA+PB=△PCD的周长=3r，
∴PA=PB=1.5r，
∴tan∠APB=AO: PA =r :1.5r =，
故答案为：．
分析：利用切线长定理得出PA=PB=1.5r，再结合锐角三角函数关系得出答案．
19.如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣弧DE（不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为4cm，则Rt△MBN的周长为
答案：8cm
解析：解答：连接OD、OE，
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，
∵∠ABC=90°，
∴∠ODB=∠DBE=∠OEB=90°，
∴四边形ODBE是矩形，
∵OD=OE，
∴矩形ODBE是正方形，
∴BD=BE=OD=OE=4cm，
∵⊙O切AB于D，切BC于E，切MN于P，NP与NE是从一点出发的圆的两条切线，
∴MP=DM，NP=NE，
∴Rt△MBN的周长为：MB+NB+MN=MB+BN+NE+DM=BD+BE=4cm+4cm=8cm，
故答案为：8cm．
分析：连接OD、OE，求出∠ODB=∠DBE=∠OEB=90°，推出四边形ODBE是正方形，得出BD=BE=OD=OE=4cm，根据切线长定理得出MP=DM，NP=NE，代入MB+NB+MN得出BD+BE，求出即可．
20.如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是
答案：14
解析：解答：根据切线长定理，得AD=AE，BC=BE，所以梯形的周长是5×2+4=14，
故答案为：14．
分析：由切线长定理可知：AD=AE，BC=BE，因此梯形的周长=2AB+CD，已知了AB和⊙O的半径，由此可求出梯形的周长．
三、计算题
21.已知四边形ABCD外切于⊙O，四边形ABCD的面积为24，周长24，求⊙O的半径．
答案：2
解析：解答：设四边形ABCD是⊙O的外切四边形，切点分别为：F，G，M，E，
连接FO，AO，OG，CO，OM，DO，OE，
四边形ABCD的面积为：
×EO×AD+OM×DC+GO×BC+FO×AB
=EO（AD+AB+BC+DC）
=EO×24
=24，
解得：EO=2．
故r=2．
分析：利用切线的性质进而利用三角形面积求法得出⊙O的半径．
22.如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，若AD=2，∠DAC=∠DCA，求CE.
答案：2
解析：解答：∵CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，
∴CD=CE，
∵∠DAC=∠DCA，
∴AD=CD，
∴AD=CE，
∵AD=2，
∴CE=2．
故答案为：2．
分析：由条件可得AD=CD，再由切线长定理可得：CD=CE，所以AD=CE，问题得解．
23.如图，已知PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠P=90°，PA=3，求⊙O的半径.
答案：3
解析：解答：连接OA、OB，
则OA=OB（⊙O的半径），
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴PA=PB，∠OAP=∠OBP=90°，
已知∠P=90°，
∴∠AOB=90°，
∴四边形APBO为正方形，
∴OA=OB=PA=3，
则⊙O的半径长是3，
故答案为：3．
分析：连接OA、OB，已知PA、PB分别切⊙O于点A、B，由切线的性质及切线长定理可得：PA=PB，∠OAP=∠OBP=90°，再由已知∠P=90°，所以得到四边形APBO为正方形，从而得⊙O的半径长即PA的长．
24.如图，P是⊙O的直径AB的延长线上一点，PC、PD切⊙O于点C、D．若PA=6，⊙O的半径为2，求∠CPD.
答案：60°
解析：解答：∵PA=6，⊙O的半径为2，
∴PB=PA-AB=6-4=2，
∴OP=4，
∵PC、PD切⊙O于点C、D．
∴∠OPC=∠OPD，
∴CO⊥PC，
∴sin∠OPC=2: 4 =0.5 ，
∴∠OPC=30°，
∴∠CPD=60°，
故答案为：60°．
分析：根据切线的性质定理和切线长定理求出OP=4，∠OPC=∠OPD，再利用解直角三角形的知识求出∠OPC=30°，即可得出答案．
25.如图，⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，且∠ACB=90°，∠A，∠B，∠C所对的边长依次为3，4，5，求⊙O的半径.
答案：2
解析：解答：连接OD、OE，
∵⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，
∴AF=AD，BE=BF，CE=CD，
OD⊥AD，OE⊥BC，
∵∠ACB=90°，
∴四边形ODCE是正方形，
设OD=r，则CD=CE=r，
∵BC=3，
∴BE=BF=3-r，
∵AB=5，AC=4，
∴AF=AB+BF=5+3-r，
AD=AC+CD=4+r，
∴5+3-r=4+r，
r=2，
则⊙O的半径是2．
故答案为：2．
分析：先连接OD、OE根据⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，得出AF=AD，BE=BF，CE=CD，再根据OD⊥AD，OE⊥BC，∠ACB=90°，得出四边形ODCE是正方形，
最后设OD=r，列出5+3-r=4+r，求出r=2即可．
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