2017年黑龙江省大庆市中考数学模拟试卷（3月份）
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．5的倒数为（ ）
A． B．5 C． D．﹣5
2．下列各式运算正确的是（ ）
A．2﹣1=﹣2 B．23=6 C．22•23=26 D．（23）2=26
3．如图，C，D是线段AB上两点．若CB=4cm，DB=7cm，且D是AC的中点，则AC的长等于（ ）
A．3cm B．6cm C．11cm D．14cm
4．如图，在△ABC中，AC=DC=DB，∠ACD=100°，则∠B等于（ ）
A．50° B．40° C．25° D．20°
5．甲、乙两名学生10次立定跳远成绩的平均数相同，若甲10次立定跳远成绩的方差S甲2=0.006，乙10次立定跳远成绩的方差S乙2=0.035，则（ ）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．乙的成绩比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人的成绩一样稳定
D．甲、乙两人成绩的稳定性不能比较
6．经过某十字路口的汽车，它可以继续直行，也可以向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，桌上放着一摞书和一个茶杯，从左边看到的图形是（ ）
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A． B． C． D．
8．如图，点E在AD的延长线上，下列条件中能判断BC∥AD的是（ ）
A．∠3=∠4 B．∠A+∠ADC=180° C．∠1=∠2 D．∠A=∠5
9．如图，将△PQR向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则顶点P平移后的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣4） B．（﹣2，4） C．（2，﹣3） D．（﹣1，﹣3）
10．反比例函数y=（k＞0）的部分图象如图所示，A，B是图象上两点，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，若△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，则S1和S2的大小关系为（ ）
A．S1＞S2 B．S1=S2 C．S1＜S2 D．无法确定
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二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．2008年5月18日晚，中央电视台举办了“爱的奉献”大型募捐活动．据了解，本次活动社会各界共向四川灾区捐款大约1510000000元人民币，这个数字用科学记数法可表示为 元人民币．
12．已知|x|=5，y=3，则x﹣y= ．
13．计算： = ．
14．函数y=中自变量x的取值范围是 ．
15．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，如果∠EOD=42°，则∠AOC= 度．
16．如图，已知矩形ABCD，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是PA，PR的中点．如果DR=3，AD=4，则EF的长为 ．
17．观察下面两行数：
2，4，8，16，32，64，…①
5，7，11，19，35，67，…②
根据你发现的规律，取每行数的第10个数，求得它们的和是 （要求写出最后的计算结果）．
18．如图，菱形AB1C1D1的边长为1，∠B1=60°；作AD2⊥B1C1于点D2，以AD2为一边，做第二个菱形AB2C2D2，使∠B2=60°；作AD3⊥B2C2于点D3，以AD3为一边做第三个菱形AB3C3D3，使∠B3=60°…依此类推，这样做的第n个菱形ABnCnDn
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的边ADn的长是 ．
三、解答题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
19．计算：（﹣1）﹣2+2sin245°﹣（1﹣）0
20．先化简，再求值：÷x，其中x=．
21．解方程组：．
四、应用题（本大题2小题，共12分）
22．在同一条件下，对同一型号的汽车进行耗油1升所行驶路程的实验，将收集到的数据作为一个样本进行分析，绘制出部分频数分布直方图和部分扇形统计图．如下图所示（路程单位：km）
结合统计图完成下列问题：
（1）扇形统计图中，表示12.5≤x＜13部分的百分数是 ；
（2）请把频数分布直方图补充完整，这个样本数据的中位数落在第 组；
（3）哪一个图能更好地说明一半以上的汽车行驶的路程在13≤x＜14之间？哪一个图能更好地说明行驶路程在12.5≤x＜13的汽车多于在14≤x＜
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14.5的汽车？
23．海中有一个小岛P，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东60°方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．
五、推理与计算（本大题3小题，共21分）
24．已知反比例函数y=的图象的一支位于第一象限．
（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围；
（2）如图，O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，求m的值．
25．如图，把一张矩形的纸ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F．
（1）求证：△ABF≌△EDF；
（2）若将折叠的图形恢复原状，点F与BC边上的点M正好重合，连接DM，试判断四边形BMDF的形状，并说明理由．
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26．已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连接DE，DE=．
（1）求证：AM•MB=EM•MC；
（2）求EM的长；
（3）求sin∠EOB的值．
六、综合应用与探究（本大题2小题，共18分）
27．夏季来临，商场准备购进甲、乙两种空调，已知甲种空调每台进价比乙种空调多500元，用40000元购进甲种空调的数量与用30000元购进乙种空调的数量相同．请解答下列问题：
（1）求甲、乙两种空调每台的进价；
（2）若甲种空调每台售价2500元，乙种空调每台售价1800元，商场计划用不超过36000元购进空调共20台，且全部售出，请写出所获利润y（元）与甲种空调x（台）之间的函数关系式，并求出所能获得的最大利润．
28．已知抛物线y=﹣ax2+2ax+b与x轴的一个交点为A（﹣1，0），与y轴的正半轴交于点C．
（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；
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（3）坐标平面内是否存在点M，使得以点M和（2）中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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2017年黑龙江省大庆市中考数学模拟试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．5的倒数为（ ）
A． B．5 C． D．﹣5
【考点】倒数．
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．
【解答】解：5的倒数是，
故选：A．
2．下列各式运算正确的是（ ）
A．2﹣1=﹣2 B．23=6 C．22•23=26 D．（23）2=26
【考点】负整数指数幂；有理数的乘方；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】分别根据负整数指数幂、有理数的乘方、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方的法则计算即可．
【解答】解：A、错误，应等于；
B、错误，应等于8；
C、错误，应等于25；
D、正确．
故选D．
3．如图，C，D是线段AB上两点．若CB=4cm，DB=7cm，且D是AC的中点，则AC的长等于（ ）
A．3cm B．6cm C．11cm D．14cm
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【考点】两点间的距离．
【分析】先根据CB=4cm，DB=7cm求出CD的长，再根据D是AC的中点求出AC的长即可．
【解答】解：∵C，D是线段AB上两点，CB=4cm，DB=7cm，
∴CD=DB﹣BC=7﹣4=3cm，
∵D是AC的中点，
∴AC=2CD=2×3=6cm．
故选B．
4．如图，在△ABC中，AC=DC=DB，∠ACD=100°，则∠B等于（ ）
A．50° B．40° C．25° D．20°
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【分析】根据等边对等角和三角形的内角和定理，可先求得∠CAD的度数；再根据外角的性质，求∠B的度数．
【解答】解：∵AC=DC=DB，∠ACD=100°，
∴∠CAD==40°，
∵∠CDB是△ACD的外角，
∴∠CDB=∠A+∠ACD=100°=40°+100°=140°，
∵DC=DB，
∴∠B==20°．
故选D．
5．甲、乙两名学生10次立定跳远成绩的平均数相同，若甲10次立定跳远成绩的方差S甲2=0.006，乙10次立定跳远成绩的方差S乙2=0.035，则（ ）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．乙的成绩比甲的成绩稳定
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C．甲、乙两人的成绩一样稳定
D．甲、乙两人成绩的稳定性不能比较
【考点】方差；算术平均数．
【分析】本题考查了如何判定一组数据的稳定性，数据的方差越小，数据就越稳定．
【解答】解：因为甲乙平均数相同，而S甲2=0.006，S乙2=0.035，很显然S甲2＜S乙2，所以甲的成绩更稳定一些．
故选A．
6．经过某十字路口的汽车，它可以继续直行，也可以向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】列举出所有情况，看两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：列表得：
右
（直，右）
（左，右）
（右，右）
左
（直，左）
（左，左）
（右，左）
直
（直，直）
（左，直）
（右，直）
直
左
右
∴一共有9种情况，两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的有一种，
∴两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的概率是，故选A．
7．如图，桌上放着一摞书和一个茶杯，从左边看到的图形是（ ）
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A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可．
【解答】解：从左面可看到几个上下相邻的长方形上面有一个小长方形．
故选D．
8．如图，点E在AD的延长线上，下列条件中能判断BC∥AD的是（ ）
A．∠3=∠4 B．∠A+∠ADC=180° C．∠1=∠2 D．∠A=∠5
【考点】平行线的判定．
【分析】结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法判断．
【解答】解：∵∠1=∠2，
∴BC∥AD（内错角相等，两直线平行）．
故选C．
9．如图，将△PQR向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则顶点P平移后的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣4） B．（﹣2，4） C．（2，﹣3） D．（﹣1，﹣3）
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．
【解答】解：由题意可知此题规律是（x+
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2，y﹣3），照此规律计算可知顶点P（﹣4，﹣1）平移后的坐标是（﹣2，﹣4）．
故选A．
10．反比例函数y=（k＞0）的部分图象如图所示，A，B是图象上两点，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，若△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，则S1和S2的大小关系为（ ）
A．S1＞S2 B．S1=S2 C．S1＜S2 D．无法确定
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】根据反比例函数的性质可以得到△AOC和△DBO的面积等于|k|的一半，由此可以得到它们的关系．
【解答】解：依据比例系数k的几何意义可得两个三角形的面积都等于|k|，故S1=S2．
故选B．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．2008年5月18日晚，中央电视台举办了“爱的奉献”大型募捐活动．据了解，本次活动社会各界共向四川灾区捐款大约1510000000元人民币，这个数字用科学记数法可表示为 1.51×109 元人民币．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1510000000元人民币，这个数字用科学记数法可表示为 1.51×109
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元人民币，
故答案为：1.51×109．
12．已知|x|=5，y=3，则x﹣y= 2或﹣8 ．
【考点】有理数的减法；绝对值．
【分析】绝对值等于一个正数的数有两个，且它们互为相反数．
熟练运用有理数的运算法则．
【解答】解：∵|x|=5，∴x=±5，
又y=3，则x﹣y=2或﹣8．
13．计算： = ．
【考点】分式的加减法．
【分析】本题考查了分式的加减运算．解决本题首先应通分，最后要注意将结果化为最简分式．
【解答】解：原式=．故答案为．
14．函数y=中自变量x的取值范围是 x≥﹣且x≠1 ．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式求解即可．
【解答】解：根据题意得，2x+1≥0且x﹣1≠0，
解得x≥﹣且x≠1．
故答案为：x≥﹣且x≠1．
15．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，如果∠EOD=42°，则∠AOC= 48 度．
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【考点】垂线；对顶角、邻补角．
【分析】由OE⊥AB，∠EOD=42°，利用互余关系求∠BOD，再利用对顶角相等求∠AOC．
【解答】解：∵OE⊥AB，∠EOD=42°，
∴∠BOD=90°﹣∠EOD
90°﹣42°=48°，
∵∠BOD与∠AOC是对顶角，
∴∠BOD=∠AOC=48°．
16．如图，已知矩形ABCD，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是PA，PR的中点．如果DR=3，AD=4，则EF的长为 2.5 ．
【考点】三角形中位线定理；矩形的性质．
【分析】根据勾股定理求AR；再运用中位线定理求EF．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴△ADR是直角三角形，
∵DR=3，AD=4，
∴AR===5，
∵E、F分别是PA，PR的中点，
∴EF=AR=×5=2.5．
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故答案为：2.5．
17．观察下面两行数：
2，4，8，16，32，64，…①
5，7，11，19，35，67，…②
根据你发现的规律，取每行数的第10个数，求得它们的和是 2051 （要求写出最后的计算结果）．
【考点】规律型：数字的变化类．
【分析】观察①中各数都符合2n的形式，②中各数比①中对应数字大3，按此规律即可求得①、②中第10个数的值，从而求和．
【解答】解：根据题意可知，①中第10个数为210=1024；②第10个数为210+3=1027，故它们的和为1024+1027=2051．
18．如图，菱形AB1C1D1的边长为1，∠B1=60°；作AD2⊥B1C1于点D2，以AD2为一边，做第二个菱形AB2C2D2，使∠B2=60°；作AD3⊥B2C2于点D3，以AD3为一边做第三个菱形AB3C3D3，使∠B3=60°…依此类推，这样做的第n个菱形ABnCnDn的边ADn的长是 ．
【考点】菱形的性质．
【分析】本题要找出规律方能解答．第一个菱形边长为1，∠B1=60°，可求出AD2，即第二个菱形的边长…按照此规律解答即可．
【解答】解：第1个菱形的边长是1，易得第2个菱形的边长是；
第3个菱形的边长是（）2；…
每作一次，其边长为上一次边长的；
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故第n个菱形的边长是（）n﹣1．
故答案为：（）n﹣1．
三、解答题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
19．计算：（﹣1）﹣2+2sin245°﹣（1﹣）0
【考点】特殊角的三角函数值；零指数幂；负整数指数幂．
【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式==1．
20．先化简，再求值：÷x，其中x=．
【考点】分式的化简求值．
【分析】本题的关键是正确进行分式的通分、约分，并准确代值计算．
【解答】解：原式=
=+1
=，
当x=时，原式==﹣4．
21．解方程组：．
【考点】解二元一次方程组．
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【分析】此题先采用加减消元法再用代入消元法最简单，将（1）+（2）即可达到消元的目的．
【解答】解：①+②，得3x=9，
∴x=3．
把x=3代入②，得3﹣y=5，
∴y=﹣2．
∴原方程组的解是．
四、应用题（本大题2小题，共12分）
22．在同一条件下，对同一型号的汽车进行耗油1升所行驶路程的实验，将收集到的数据作为一个样本进行分析，绘制出部分频数分布直方图和部分扇形统计图．如下图所示（路程单位：km）
结合统计图完成下列问题：
（1）扇形统计图中，表示12.5≤x＜13部分的百分数是 ；
（2）请把频数分布直方图补充完整，这个样本数据的中位数落在第 组；
（3）哪一个图能更好地说明一半以上的汽车行驶的路程在13≤x＜14之间？哪一个图能更好地说明行驶路程在12.5≤x＜13的汽车多于在14≤x＜14.5的汽车？
【考点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数．
【分析】（1）用单位1减去其他所占的百分比即可；
（2）以第3组为基准算出总数：9÷0.3=30，那么中位数应是第15个和第16个的平均数，前两个小组的人数之和为：2+30×
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0.3=11，那么中位数就落在第3小组；
（3）直方图能反映数据集中的趋势，扇形统计图能更好的显示出相应的百分比．
【解答】解：（1）1﹣13.3%﹣6.7%﹣30%﹣30%=20%；
（2）第2组的频数=30×20%=6，如图：
样本数据的中位数落在第3组；
（3）扇形统计图能很好地说明一半以上的汽车行驶的路程在13≤x＜14之间；
条形统计图（或直方统计图）能更好地说明行驶路程在12.5≤x＜13的汽车多于在14≤x＜14.5的汽车．
23．海中有一个小岛P，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东60°方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．
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【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【分析】过点P作PD⊥AC于D，在Rt△PBD和Rt△PAD中，根据三角函数AD，BD就可以PD表示出来，根据AB=12海里，就得到一个关于PD的方程，求得PD．从而可以判断如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险．
【解答】解：有触礁危险．
理由：过点P作PD⊥AC于D．
设PD为x，在Rt△PBD中，
∠PBD=90°﹣45°=45度．
∴BD=PD=x．
在Rt△PAD中，
∵∠PAD=90°﹣60°=30°
∴AD=x
∵AD=AB+BD∴x=12+x
∴x=
∵6（+1）＜18
∴渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险．
五、推理与计算（本大题3小题，共21分）
24．已知反比例函数y=的图象的一支位于第一象限．
（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围；
（2）如图，O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，求m的值．
第28页（共28页）
【考点】反比例函数的性质；反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征；关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】（1）根据反比例函数的图象是双曲线．当k＞0时，则图象在一、三象限，且双曲线是关于原点对称的；
（2）由对称性得到△OAC的面积为3．设A（x、），则利用三角形的面积公式得到关于m的方程，借助于方程来求m的值．
【解答】解：（1）根据反比例函数的图象关于原点对称知，该函数图象的另一支在第三象限，且m﹣7＞0，则m＞7；
（2）∵点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，
∴△OAC的面积为3．
设A（x，），则
x•=3，
解得m=13．
25．如图，把一张矩形的纸ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F．
（1）求证：△ABF≌△EDF；
第28页（共28页）
（2）若将折叠的图形恢复原状，点F与BC边上的点M正好重合，连接DM，试判断四边形BMDF的形状，并说明理由．
【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定；菱形的判定．
【分析】（1）因为△BCD关于BD折叠得到△BED，显然△BCD≌△BED，得出CD=DE=AB，∠E=∠C=∠A=90°．
再加上一对对顶角相等，可证出△ABF≌△EDF；
（2）利用折叠知识及菱形的判定可得出四边形BMDF是菱形．
【解答】（1）证明：由折叠可知，CD=ED，∠E=∠C．
在矩形ABCD中，AB=CD，∠A=∠C．
∴AB=ED，∠A=∠E．
∵∠AFB=∠EFD，
∴△AFB≌△EFD．
（2）解：四边形BMDF是菱形．
理由：由折叠可知：BF=BM，DF=DM．
由（1）知△AFB≌△EFD，∴BF=DF．
∴BM=BF=DF=DM．
∴四边形BMDF是菱形．
26．已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连接DE，DE=．
（1）求证：AM•MB=EM•MC；
（2）求EM的长；
（3）求sin∠EOB的值．
第28页（共28页）
【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义．
【分析】（1）连接A、C，E、B点，那么只需要求出△AMC和△EMB相似，即可求出结论，根据圆周角定理可推出它们的对应角相等，即可得△AMC∽△EMB；
（2）根据圆周角定理，结合勾股定理，可以推出EC的长度，根据已知条件推出AM、BM的长度，然后结合（1）的结论，很容易就可求出EM的长度；
（3）过点E作EF⊥AB，垂足为点F，通过作辅助线，解直角三角形，结合已知条件和（1）（2）所求的值，可推出Rt△EOF各边的长度，根据锐角三角函数的定义，便可求得sin∠EOB的值．
【解答】（1）证明：连接AC、EB，
∵∠A=∠BEC，∠B=∠ACM，
∴△AMC∽△EMB，
∴，
∴AM•BM=EM•CM；
（2）解：∵DC是⊙O的直径，
∴∠DEC=90°，
∴DE2+EC2=DC2，
∵DE=，CD=8，且EC为正数，
∴EC=7，
∵M为OB的中点，
∴BM=2，AM=6，
∵AM•BM=EM•CM=EM（EC﹣EM）=EM（7﹣EM）=12，且EM＞MC，
∴EM=4；
第28页（共28页）
（3）解：过点E作EF⊥AB，垂足为点F，
∵OE=4，EM=4，
∴OE=EM，
∴OF=FM=1，
∴EF=，
∴sin∠EOB=．
六、综合应用与探究（本大题2小题，共18分）
27．夏季来临，商场准备购进甲、乙两种空调，已知甲种空调每台进价比乙种空调多500元，用40000元购进甲种空调的数量与用30000元购进乙种空调的数量相同．请解答下列问题：
（1）求甲、乙两种空调每台的进价；
（2）若甲种空调每台售价2500元，乙种空调每台售价1800元，商场计划用不超过36000元购进空调共20台，且全部售出，请写出所获利润y（元）与甲种空调x（台）之间的函数关系式，并求出所能获得的最大利润．
【考点】二次函数的应用；分式方程的应用．
【分析】
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（1）根据题意可以列出相应的方程，从而可以分别求得甲、乙两种空调每台的进价，注意分式方程要检验；
（2）根据题意和（1）中的答案可以得到所获利润y（元）与甲种空调x（台）之间的函数关系式，然后根据商场计划用不超过36000元购进空调共20台，可以求得x的取值范围，从而可以求得所能获得的最大利润．
【解答】解：（1）设乙种空调每台进价为x元，
，
解得，x=1500
经检验x=1500是原分式方程的解，
∴x+500=2000，
答：甲种空调每台2000元，乙种空调每台1500元；
（2）由题意可得，
所获利润y（元）与甲种空调x（台）之间的函数关系式是：y=x+（20﹣x）=200x+6000，
∵2000x+1500（20﹣x）≤36000，
解得，x≤12，
∴当x=12时，y取得最大值，此时y=200x+6000=8400，
答：所获利润y（元）与甲种空调x（台）之间的函数关系式是y=200x+6000，所获的最大利润是8400元．
28．已知抛物线y=﹣ax2+2ax+b与x轴的一个交点为A（﹣1，0），与y轴的正半轴交于点C．
（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；
（3）坐标平面内是否存在点M，使得以点M和（2）中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）抛物线y=﹣ax2+2ax+b的对称轴，可以根据公式直接求出，抛物线与x轴的另一交点与A关于对称轴对称，因而交点就可以求出．
（2）AB的长度可以求出，连接PC，在直角三角形OCP中，根据勾股定理就可以求出C点的坐标，把这点的坐标代入抛物线的解析式，就可以求出解析式．
（3）本题应分AC或BC为对角线和以AB为对角线三种情况进行讨论，当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM=AB．就可以求出点M的坐标．当以AB为对角线时，点M在x轴下方易证△AOC≌△BNM，可以求出点M的坐标．
【解答】解：（1）对称轴是直线：x=1，点B的坐标是（3，0）．
说明：每写对1个给，“直线”两字没写不扣分．
（2）如图，连接PC，
∵点A、B的坐标分别是A（﹣1，0）、B（3，0），
∴AB=4．
∴PC=AB=×4=2
在Rt△POC中，
∵OP=PA﹣OA=2﹣1=1，
∴OC=，
∴b=
当x=﹣1，y=0时，﹣a﹣2a+=0
∴a=
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∴y=﹣x2+x+．
（3）存在．理由：如图，连接AC、BC．
设点M的坐标为M（x，y）．
①当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM=AB．
由（2）知，AB=4，
∴|x|=4，y=OC=．
∴x=±4．
∴点M的坐标为M（4，）或（﹣4，）．
说明：少求一个点的坐标扣．
②当以AB为对角线时，点M在x轴下方．
过M作MN⊥AB于N，则∠MNB=∠AOC=90度．
∵四边形AMBC是平行四边形，
∴AC=MB，且AC∥MB．
∴∠CAO=∠MBN．
∴△AOC≌△BNM．
∴BN=AO=1，MN=CO=．
∵OB=3，
∴0N=3﹣1=2．
∴点M的坐标为M（2，﹣）．
综上所述，坐标平面内存在点M，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形．
其坐标为M1（4，），M2（﹣4，），M3（2，﹣）．
说明：①综上所述不写不扣分；②如果开头“存在”二字没写，但最后解答全部正确，不扣分
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2017年4月17日
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