2.3 一元二次方程的应用
一、选择题
1. 某商品原价 289 元，经连续两次降价后售价为 256 元，设平均每降价的百分率为 x ，则下面所列方程正确的
是( )
A. 289(1 − x)2 = 256 B. 256(1 − x)2 = 289 C. 289(1 − 2x) = 256 D. 256(1 − 2x) = 289
2. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由 180 元降为 100 元．已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为
x，根据题意列方程正确的是( )
A. 180(1 + x)2 = 100 B. 180 (1 − x2) = 100 C. 180 (1 − 2x) = 100 D. 180(1 − x)2 = 100
3. 小明在暑假帮某服装店卖 T 恤衫时发现，在一段时间内，T 恤衫按每件 80 元销售时，每天的销售量是 20 件，
单价每降低 4 元，每天就可以多售出 8 件．已知该 T 恤衫的进价是每件 40 元，请问：当每件 T 恤衫降价多少元
时，服装店卖该 T 恤衫一天能赢利 1200 元? 如果设每件 T 恤衫降价 x 元，那么所列方程正确的是 ( )
A. (80 − x)(20 + x) = 1200 B. (80 − x)(20 + 2x) = 1200
C. (40 − x)(20 + x) = 1200 D. (40 − x)(20 + 2x) = 1200
4. 据 2007 年 5 月 8 日《台州晚报》报导，今年” 五一” 黄金周我市各旅游景点共接待游客约 334 万人，旅游总收
入约 9 亿元．已知我市 2005 年” 五一” 黄金周旅游总收入约 6.25 亿元，那么这两年同期旅游总收入的年平均增
长率约为( )
A. 12% B. 16% C. 20% D. 25%
5. 在一幅长为 80cm，宽为 50cm 的长方形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅
长方形挂图（如图所示)．如果要使整个挂图的面积是 5400cm2，设金色纸边的宽为 x ( cm )，
那么 x 满足的方程是 ( )
A. x2 + 130x − 1400 = 0 B. x2 + 65x − 350 = 0
C. x2 − 130x − 1400 = 0 D. x2 − 65x − 350 = 0
6. 甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为 m 元的商品，甲超市连续两次降价 20%，乙超市一次性降价 40%，
丙超市第一次降价 30%，第二次降价 10%，此时顾客要购买这种商品最划算应到 ( )
A. 甲超市 B. 乙超市 C. 丙超市 D. 乙超市或丙超市
7. 某农户种植花生，小题题干原来种植的花生亩产量为 200 kg，出油率为 50% (即每 100 kg 花生可加工成花生油
50 kg )．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油 132 kg，其中花生出油率的增长率是亩产量
的增长率的 1
2 ，则新品种花生亩产量的增长率为 ( )
A. 20% B. 30% C. 50% D. 120%
8. 如图是两条互相垂直的街道，且 A 到 B，C 的距离都是 7 km，现甲从 B 地走向 A 地，乙从 A 地
走向 C 地，若两人同时出发且速度都是 4 km/h，则出发多长时间两人之间的距离为 5 km ( )
A. 1 h B. 0.75 h C. 1.2 h 或 0.75 h D. 1 h 或 0.75 h
9. 从正方形铁片上截去一条 2 cm 宽的长方形铁片，余下铁片的面积是 48 cm2，则原来正方形铁片的面积是
( )
A. 6 cm2 B. 8 cm2 C. 36 cm2 D. 64 cm2
10. 如果长方形的宽增加 1 cm，长减少 1 cm，那么其面积增加 3 cm2 . 已知原长方形的面积为 12 cm2，则原长方形
的长和宽分别为 ( )
A. 7 cm，3 cm B. 6 cm，2 cm C. 4 cm，3 cm D. 5 cm，2 cm
二、填空题
11. 两个连续偶数的积是 528，设较大的偶数是 x，求解 x 的方程为 ．
12. 已知三个连续的正整数，若前两个数的平方和等于第三个数的平方，则这三个数为 ．
第 1 页，共 3 页13. 如图，某小区规划在一个长 30 m 、宽 20 m 的长方形 ABCD 上修建三条同样宽的通道，
使其中两条与 AB 平行，另一条与 AD 平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都
为 78 m2，那么通道的宽应设计成多少 m ? 设通道的宽为 x m，由题意列得方程 ．
14. 一次同学聚会，出席聚会的同学和其他同学各握一次手，统计结果表明一共握手 45 次，则参加聚会的同学
有 人．
15. 某百货大楼销售某种商品，1 月销售了若干件，共获利 30000 元，2 月把这种商品的单价降低了 0.4 元，但销售
量比 1 月增加了 5000 件，从而获利比 1 月多 2000 元，则降价前每件商品的利润是 元．
16. 一个长方形的长和宽相差 6 cm，面积为 16 cm2，则这个长方形的长是 cm．
17. 某厂 4 月的产值为 50 万元，如果 5 月、6 月的产值以相同的百分率增长，使第二季度的产值比 4 月的 3 倍多
32 万元，那么 5，6 两个月的产值的平均增长率为
18. 用 22 cm 的铁丝围成一个面积为 30 cm2 的长方形，则这个长方形的两边长分别为 .
19. 参加会议的成员都互相握过手，其中某人与他的老朋友握过第二次手，若这次会议握手的总次数是 159，那么参
加会议的成员有 人，其中第二次握手共有 次
20. 放铅笔的 V 形槽如图所示，每往上一层可以多放一支铅笔. 现在有 190 支铅笔，要
放 层.
三、解答题
21. 如图，在 △ABC 中，∠B = 90◦，AB = 6 cm，BC = 12 cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点
B 以 1 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 cm/s 的速度移动，如果点
P，Q 分别从点 A，B 同时出发，几秒后，△P BQ 的面积等于 8 cm2?
22. 一个正方形的边长增加 2 cm，它的面积就增加 36 cm2．求这个正方形的边长．
23. 在一块长 16 m，宽 12 m 的长方形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小
华和小芳的设计方案．小华设计的方案：如图x，长方形荒地的四个角均为两直角边长分别是 6 m，8 m 的直角
三角形．小芳设计的方案：如图y，其中花园四周小路的宽度均为 1 m .
(1) 同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳的方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条
件吗? 若不符合，请用方程的方法说明理由．
(2) 你还有其他的设计方案吗? 请在图z中画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影．
第 2 页，共 3 页24. 某汽车租赁公司拥有 20 辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为 400 元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增
加 50 元，未租出的车将增加 1 辆；公司平均每日的各项支出共 4800 元．设公司每日租出工辆车时，日收益为
y 元．( 日收益 = 日租金收入 − 平均每日各项支出)
(1) 公司每日租出 x 辆车时，每辆车的日租金为 元（用含 x 的代数式表示)；
(2) 当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大? 最大是多少元?
(3) 当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏?
25. 机械加工过程中需要用油进行润滑以减少摩擦，某企业加工一台大型机械设备的润滑用油量为 90 kg，用油的重
复利用率为 60%．按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为 36 kg．为了建设节约型社会，减少油耗，
该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关．
(1) 甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑油用油量下降到 70 kg，用油的重复利用率仍然为
60%，问：甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少?
(2) 乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新
的基础上，润滑用油量每减少 1 kg，用油量的重复利用率将增加 1.6%．. 这样乙车间加工一台大型机械设
备的实际耗油量下降到 12 kg．问：乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少? 用油的
重复利用率是多少?
第 3 页，共 3 页2.3 一元二次方程的应用—答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A D D C B B A D D B
1. 答案：A
解析：连续两次降价列方程为 289 (1 − x)2 = 256．
4. 设这两年同期旅游总收入的年平均增长率约为 x ，则根据题意可
得：6.25(1 + x)2 = 9 ，解得 x = 20% ．
6. 降价后三家超市的售价分别是：
甲：(1 − 20%)2m = 0.64m；
乙：(1 − 40%)m = 0.6m；
丙：(1 − 30%)(1 − 10%)m = 0.63m；
∵ 0.6m < 0.63m < 0.64m，
∴ 此时顾客要购买这种商品最划算应到乙超市．
7. 设亩产量的增长率为 x，由题意，得
200(1 + x) × 50%
Ä
1 + x
2
ä
= 132，
x2 + 3x − 0.64 = 0，
解得
x1 = 0.2，
x2 = −3.2
(
舍去
)
.
二、填空题
11. x (x − 2) = 528
12. 3，4，5
13. (30 − 2x) (20 − x) = 6 × 78
14. 10 解析：设参加聚会的有 x 人．
有题意可得 x (x − 1) = 45 .
解得 x1 = 10，x2 = −9（舍去）．
所以参加聚会的同学有 10 人．
15. 2 解析：设降价前每件商品的利润是 x 元.
由题意可知 30000
x + 5000 = 32000
x − 0.4 .
整理得 5x2 − 4x − 12 = 0 .
解得 x1 = 2，x2 = − 6
5
（舍去）.
16. 8
17. 20%
18. 5 cm 和 6 cm
19. 18；6 解析：设有 x 人参加会议，第二次握手有 y 次，
则 1
2 x (x − 1) + y = 159，x 、y 为正整数，且 y < x，
故 x2 − x < 318 < x2 − x + 2x，
即 x (x − 1) < 318 < x (x + 1)，
因为 18 × 17 < 318 < 18 × 19，
所以 x = 18，y = 16．
20. 19 解析：设 190 支铅笔要放 x 层，
1
2 x (x + 1) = 190．
三、解答题
21. 设 x (s) 后，△P BQ 的面积等于 8 cm2，则
2x (6 − x)
2 = 8，
解得
x1 = 2， x2 = 4.
∴ 2 s 或 4 s 后，△P BQ 的面积等于 8 cm2．
22. 设这个正方形原来的边长为 x cm .
依题意得：
(x + 2)2 = x2 + 36
解得 x = 8．
答：这个正方形原来的边长为 8 cm .
23.
(1) 不符合．理由如下：
设小路的宽度均为 x (m)，由题意，得
(16 − 2x) (12 − 2x) = 1
2
× 16 × 12，
解得
x1 = 2，x2 = 12
(
不合题意，舍去
)
，
∴ x = 2，
∴ 小芳的方案不符合条件，小路的宽度应为 2 m .
(2) 如解图，答案不唯一．
24.
(1) 1400 − 50x 解析：∵ 某汽车租赁公司拥有 20 辆汽车．据统计，
当每辆车的日租金为 400 元时，可全部租出；
当每辆车的日租金每增加 50 元，未租出的车将增加 1 辆；
∴ 当全部未租出时，每辆租金为：400 + 20 × 50 = 1400 元，
∴ 公司每日租出 x 辆车时，每辆车的日租金为：1400 − 50x；
(2) 根据题意得出：
y = x (−50x + 1400) − 4800
= −50x2 + 1400x − 4800
= −50 (x − 14)2 + 5000.
当 x = 14 时，在范围内，y 有最大值 5000．
∴ 当日租出 14 辆时，租赁公司日收益最大，最大值为 5000 元．
(3) 要使租赁公司日收益不盈也不亏，即：y = 0．
即：50 (x − 14)2 + 5000 = 0，
解得 x1 = 24，x2 = 4，
∵ x = 24 不合题意，舍去．
∴ 当日租出 4 辆时，租赁公司日收益不盈也不亏．
25.
(1) 70 × (1 − 60%) = 28 (kg)．
(2) 设乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量减少了
x (kg)，则
(90 − x)(1 − 60% − 1.6%x) = 12，
整理，得
x2 − 115x + 1500 = 0，
解得
x1 = 15，
x2 = 100
(
不合题意，舍去
)
，
所以
90 − x = 75 (kg)，
60% + 1.6%x = 60% + 1.6% × 15 = 84%.
乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是 75 kg，用
油的重复利用率是 84%．
答案
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