3.3 方差和标准差
一、选择题
1. 为参加电脑汉字输入比赛，甲和乙两位同学进行了 6 次测试，成绩如下表：
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 平均数 方差
甲 134 137 136 136 137 136 136 1.0
乙 135 136 136 137 136 136 136
甲和乙两位同学 6 次测试成绩（每分钟输入汉字个数）及部分统计数据表有四位同学在进一步算得乙测试成绩
的方差后分别作出了以下判断，其中说法正确的是( )
A. 甲的方差大于乙的方差，所以甲的成绩比较稳定B. 甲的方差小于乙的方差，所以甲的成绩比较稳定
C. 乙的方差小于甲的方差，所以乙的成绩比较稳定D. 乙的方差大于甲的方差，所以乙的成绩比较稳定
2. 为了了解某小区居民的用水情况，随机抽查了 10 户家庭的月用水量，结果如下表：
月用水量 (t) 4 5 6 9
户数 3 4 2 1
关于这 10 户家庭的月用水量，下列说法错误的是 ( )
A. 中位数是 5 t B. 众数是 5 t C. 极差是 3 t D. 平均数是 5.3 t
3. 某赛季甲、乙两名篮球运动员 12 场比赛的得分情况用图表示如下：
对这两名运动员的得分情况进行比较，下列四个结论中，不正确的是 ( )
A. 甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差
B. 甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数
C. 甲运动员得分的平均数大于乙运动员得分的平均数
D. 甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定
4. 甲、乙、丙、丁四位选手各 10 次射击成绩的平均数都是 8 环，众数和方差如表，则这四人中水平发挥最稳定的
是( )
选手 甲 乙 丙 丁
众数(环) 9 8 8 10
方差(环2) 0.035 0.015 0.025 0.27
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
5. 数据 3，2，1，2，2 的众数、中位数和方差分别是 ( )
A. 2，1，0.4 B. 2，2，0.4 C. 3，1，2 D. 2，1，0.2
6. 已知甲、乙两组数据的平均数分别是 x甲 = 80 ，x乙 = 90 ，方差分别是 S2
甲 = 10 ，S2
乙 = 5 ，比较这两组数据，下
列说法正确的是( )
A. 甲组数据较好 B. 乙组数据较好 C. 甲组数据的极差较大 D. 乙组数据的波动较小
7. 对于一组数据 −1，−1，4，2，下列结论不正确的是 ( )
A. 平均数是 1 B. 众数是 −1 C. 中位数是 0.5 D. 方差是 3.5
8. 教练要从甲、乙两名射击运动员中选一名成绩较稳定的运动员参加比赛．两人在形同条件下各打了 5 发子弹，命
中环数如下：甲：9，8，7，7，9；乙：10，8，9，7，6．应该选 ( ) 参加．
A. 甲 B. 乙 C. 甲、乙都可以 D. 无法确定
第 1 页，共 3 页9. 为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区 10 户居民进行调查，下表是这 10 户居民 2015 年 4 月份用电量
的调查结果：
居民
(
户
)
1 2 3 4
月用电量
(
度/户
)
30 42 50 51
那么关于这 10 户居民月用电量（单位：度），下列说法错误的是 ( )
A. 中位数是 50 B. 众数是 51 C. 方差是 42 D. 极差是 21
10. 在一化学实验中，因仪器和观察的误差，使得三次实验所得实验数据分别为 a1，a2，a3 ．我们规定该实验的” 最
佳实验数据” a 是这样一个数值：a 与各数据 a1，a2，a3 差的平方和 M 最小．依此规定，则 a = ( )
A. a1 + a2 + a3 B.
√
a1
2 + a2
2 + a3
2 C.
√
a1
2 + a2
2 + a3
2
3 D. a1 + a2 + a3
3
二、填空题
11. 数据 1，0，2，3，4 的方差是 ．
12. 若甲、乙两个芭蕾舞团参加演出的女演员人数相同，平均身高相同，身高的方差分别为 S甲
2 = 3.5，S乙
2 = 1.2，
则参加演出的女演员身高更整齐的是 (填“甲团”或“乙团”)．
13. 据统计，某学校教师中年龄最大的为 54 岁，年龄最小的为 21 岁．那么学校教师年龄的极差是 ．
14. 跳远运动员李刚对训练效果进行测试，6 次跳远的成绩（单位：m ) 如下：7.6，7.8，7.7，7.8，8.0，7.9 . 这 6 次
成绩的平均数为 7.8 m , 方差为 1
60 . 若李刚再跳两次，成绩分别为 7.7 m，7.9 m , 则李刚这 8 次跳远成绩的方
差比 1
60 (填“大”或“小”)
15. 已知一组数据 1，2，3，4，5 的方差为 2 , 则另一组数据 11，12，13，14，15 的方差为 .
16. 已知 2，3，5，m，n 五个数据的方差是 2 , 那么 3，4，6，m + 1，n + 1 五个数据的方差是 .
17. 有一组数据 11，8，10，9，12 的极差是 ，方差是 ．
18. 某次跳绳比赛中，统计甲，乙两班学生每分钟跳绳的成绩（单位：次）情况如下表：
班级 参加人数 平均次数 中位数 方差
甲 45 135 149 180
乙 45 135 151 130
下列三个命题：
x甲班平均成绩低于乙班平均成绩；
y甲班成绩的波动比乙班成绩的波动大；
z甲班成绩优秀人数少于乙班成绩优秀人数（跳绳次数 ⩾ 150 次为优秀).
其中正确的命题是 (只填序号).
19. 在植树节当天，某校一个班同学分成 10 个小组参加植树造林活动，10 个小组植树的株数见下表：
植树株数 5 6 7
小组个数 3 4 3
则这 10 个小组植树株数的方差是 ．
20. 若 a 、4 、2 、5 、3 的平均数是 b，且 a 、b 是方程 x2 − 4x + 3 = 0 的两个根，则这组数据的方差为 ．
第 2 页，共 3 页三、解答题
21. 用计算器求下列两组数据的方差（精确到 0.01）．
(1) 96，82，74，67，76，89，91，95，105，85；
(2) 1.2，2.3，2.4，1.6，3.5，1.5，2.1，3.3，1.8．
22. 已知一组数据 x1，x2，· · ·，x6 的平均数为 1 , 方差为 5
3 .
(1) 求：x2
1 + x2
2 + · · · + x2
6 ;
(2) 若在这组数据中加人另一个数据 x7 , 重新计算，平均数无变化，求这 7 个数据的方差（结果用分数表示).
23. A 组数据是 7 位同学的数学成绩（单位：分）：60，a，70，90，78，70，82．若去掉数据 a 后得到 B 组的 6 个
数据，已知 A，B 两组数据的平均数相同．根据题意填写下表：
统计量 平均数 众数 中位数
A组数据
B组数据
并回答：哪一组数据的方差大?（不必说明理由）
24. 今年，我省启动了“关爱留守儿童工程”．某村小为了了解各年级留守儿童的数量，对一到六年级留守儿童数量
进行了统计，得到每个年级的留守儿童人数分别为 10，15，10，17，18，20．求这组数据的方差．
25. 求下列两组数据的方差：
甲组：50，36，40，34；乙组：36，48，40，36．
第 3 页，共 3 页3.3 方差和标准差—答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C C D B B D D A C D
7. 这组数据的平均数是：(−1 − 1 + 4 + 2) ÷ 4 = 1；
−1 出现了 2 次，出现的次数最多，则众数是 −1；
把这组数据从小到大排列为：−1，−1，2，4，最中间的数是第 2，3
个数的平均数，则中位数是 −1 + 2
2 = 0.5；
这组数据的方差是：1
4
[
(−1 − 1)2 + (−1 − 1)2 + (4 − 1)2 + (2 − 1)2
]
=
4.5．
8. 由题意可得，
甲的平均数为： 9 + 8 + 7 + 7 + 9
5 = 8，方差为：
(9 − 8)2 + (8 − 8)2 + (7 − 8)2 + (7 − 8)2 + (9 − 8)2
5 = 0.8，
乙的平均数为： 10 + 8 + 9 + 7 + 6
5 = 8，方差为：
(10 − 8)2 + (8 − 8)2 + (9 − 8)2 + (7 − 8)2 + (6 − 8)2
5 = 2，
∵ 0.8 < 2，
∴ 选择甲射击运动员．
9. 10 户居民 2015 年 4 月份用电量为 30，42，42，50，50，50，51，
51，51，51，
平均数为 1
10 (30 + 42 + 42 + 50 + 50 + 50 + 51 + 51 + 51 + 51) =
46.8，
中位数为 50，众数为 51，极差为 51 − 30 = 21，
方差为 1
10
[
(30 − 46.8)2 + 2 (42 − 46.8)2 + 3 (50 − 46.8)2 + 4 (51 − 46.8)2
]
=
42.96．
二、填空题
11. 2 解 析： 由 题 意 得 这 组 数 据 的 平 均 数 为
1
5 (1 + 0 + 2 + 3 + 4) = 2， 则 这 组 数 据 的 方 差 为
1
5
×
[
(1 − 2)2 + (0 − 2)2 + (2 − 2)2 + (3 − 2)2 + (4 − 2)2
]
= 2．
12. 乙团 解析：∵ 1.2 < 3.5，
∴ S乙2 < S甲2，
∴ 参加演出的女演员身高更整齐的是乙团．
13. 33 解析：最大的为 54 岁，年龄最小的为 21 岁，
∴ 学校教师年龄的极差是 54 − 21 = 33 岁．
14. 小
15. 2
16. 2
17. 4；2 解析：极差是：12 − 8 = 4；
平均数：x = (11 + 8 + 10 + 9 + 12) ÷ 5 = 10 .
S2 = 1
n
[
(x1 − x)2
]
+
[
(x2 − x)2
]
+ · · · +
[
(xn − x)2
]
= 1
5
[
(11 − 10)2 + (8 − 10)2 + (10 − 10)2 + (9 − 10)2 + (12 − 10)2
]
= 1
5 (1 + 4 + 0 + 1 + 4)
= 2.
18. yz
19. 0.6 解 析：¯x = 5 × 3 + 6 × 4 + 7 × 3
10 = 6， 则 s2 =
1
10
[
(5 − 6)2 × 3 + (6 − 6)2 × 4 + (7 − 6)2 × 3
]
= 0.6．
20. 2 解析：由 a 、b 是方程 x2 − 4x + 3 = 0 的两个根，
可知 a = 1，b = 3，
∴ S2 = 1
5
[
(1 − 3)2 + (4 − 3)2 + (2 − 3)2 + (5 − 3)2 + (3 − 3)2
]
=
2．
三、解答题
21.
(1) 119.80；
(2) 0.55
22.
(1) x2
1 + x2
2 + · · · + x2
6 = 16
(2) 10
723.
统计量 平均数 众数 中位数
A组数据 75 70 75
B组数据 75 70 74
由 A，B 两组数据平均数相同，
∴ 1
7
· (60 + a + 70 + 90 + 78 + 70 + 82) =
1
6 (60 + 70 + 90 + 78 + 70 + 82)．
∴ a = 75．
A 组平均数为 1
7
· (60 + 75 + 70 + 90 + 78 + 70 + 82) = 75，众数
为 70，中位数为 75；
B 组平均数为 75，众数为 70，中位数为 1
2 (70 + 78) = 74；
B 组数据的方差大．
24. 数据平均值为 1
6 (10 + 15 + 10 + 17 + 18 + 20) = 15．
方差为：
1
6
×
[
(10 − 15)2 + (15 − 15)2 + (10 − 15)2 + (17 − 15)2 + (18 − 15)2 + (20 − 15)2
]
= 1
6
× (25 + 25 + 4 + 9 + 25)
= 44
3 .
25. 甲组：平均数为 1
4 (50 + 36 + 40 + 34) = 40．
方差为：
1
4
[
(50 − 40)2 + (36 − 40)2 + (40 − 40)2 + (34 − 40)2
]
= 1
4 (100 + 16 + 36)
=38.
乙组：平均数为 1
4 (36 + 48 + 40 + 36) = 40．
方差为：
1
4
[
(36 − 40)2 + (48 − 40)2 + (40 − 40)2 + (36 − 40)2
]
= 1
4 (16 + 64 + 16)
=24.
答案
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