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第四章《因式分解》检测题
一．选择题（共12小题）
1．下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）
A．a2+4a﹣21=a（a+4）﹣21 B．a2+4a﹣21=（a﹣3）（a+7）
C．（a﹣3）（a+7）=a2+4a﹣21 D．a2+4a﹣21=（a+2）2﹣25
2．多项式4x2﹣4与多项式x2﹣2x+1的公因式是（ ）
A．x﹣1 B．x+1 C．x2﹣1 D．（x﹣1）2
3．把多项式（x+1）（x﹣1）﹣（1﹣x）提取公因式（x﹣1）后，余下的部分是（ ）
A．（x+1） B．（x﹣1） C．x D．（x+2）
4．下列多项式的分解因式，正确的是（ ）
A．12xyz﹣9x2y2=3xyz（4﹣3xyz） B．3a2y﹣3ay+6y=3y（a2﹣a+2）
C．﹣x2+xy﹣xz=﹣x（x2+y﹣z） D．a2b+5ab﹣b=b（a2+5a）
5．若ab=﹣3，a﹣2b=5，则a2b﹣2ab2的值是（ ）
A．﹣15 B．15 C．2 D．﹣8
6．计算（﹣2）2015+22014等于（ ）
A．22015 B．﹣22015 C．﹣22014 D．22014
7．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣4=（x+4）（x﹣4） B．x2+2x+1=x（x+2）+1
C．3mx﹣6my=3m（x﹣6y） D．2x+4=2（x+2）
8．分解因式a2b﹣b3结果正确的是（ ）
A．b（a+b）（a﹣b） B．b（a﹣b）2 C．b（a2﹣b2） D．b（a+b）2
9．把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（ ）
A．a（x﹣2）2 B．a（x+2）2 C．a（x﹣4）2 D．a（x+2）（x﹣2）
10．已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘为x2﹣4，乙与丙相乘为x2+15x﹣34，则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？（ ）
A．2x+19 B．2x﹣19 C．2x+15 D．2x﹣15
11．下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（ ）
A．x2+y2+2x+2y B．x2+y2+2xy﹣2 C．x2﹣y2+4x+4y D．x2﹣y2+4y﹣4
12．n是整数，式子 [1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）计算的结果（ ）
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A．是0 B．总是奇数
C．总是偶数 D．可能是奇数也可能是偶数
二．填空题（共6小题）
13．给出六个多项式：①x2+y2；②﹣x2+y2；③x2+2xy+y2；④x4﹣1；⑤x（x+1）﹣2（x+1）；⑥m2﹣mn+n2．其中，能够分解因式的是 （填上序号）．
14．如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式 ．
15．若a=49，b=109，则ab﹣9a的值为 ．
16．在实数范围内分解因式：x5﹣4x= ．
17．设a=8582﹣1，b=8562+1713，c=14292﹣11422，则数a，b，c 按从小到大的顺序排列，结果是 ＜ ＜ ．
18．已知a，b，c是△ABC的三边，且满足关系式a2+c2=2ab+2bc﹣2b2，则△ABC是
三角形．
三．解答题（共10小题）
19．把下列各式分解因式：
（1）2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）
（2）﹣8a2b+12ab2﹣4a3b3．
(3)（x﹣1）（x﹣3）+1．
(4)（x2+4）2﹣16x2．
(5) x2+y2+2xy﹣1．
（6）（x2y2+3）（x2y2﹣7）+37（实数范围内）．
20．已知x2+y2﹣4x+6y+13=0，求x2﹣6xy+9y2的值．
21．先化简，再求值：
（1）已知a+b=2，ab=2，求a3b+2a2b2+ab3的值．
（2）求（2x﹣y）（2x+y）﹣（2y+x）（2y﹣x）的值，其中x=2，y=1．
22．先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题．
（1）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．
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解法一：设2x3﹣x2+m=（2x+1）（x2+ax+b），
则：2x3﹣x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b
比较系数得，解得，∴
解法二：设2x3﹣x2+m=A•（2x+1）（A为整式）
由于上式为恒等式，为方便计算了取，
2×=0，故．
（2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．
23．老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别对这个多项式进行描述，（甲）：这是一个三次四项式；
（乙）：常数项系数为1；（丙）：这个多项式的前三项有公因式；（丁）：这个多项式分解因式时要用到公式法；若这四个同学的描述都正确，请你构造两个同时满足这些描述的多项式，并将它因式分解．
24．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x=y，
原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）
=y2+8y+16 （第二步）
=（y+4）2（第三步）
=（x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ．
A．提取公因式
B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式
D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ ．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
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参考答案与解析
一．选择题
1．【分析】利用因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，进而判断得出即可．
解；A、a2+4a﹣21=a（a+4）﹣21，不是因式分解，故A选项错误；
B、a2+4a﹣21=（a﹣3）（a+7），是因式分解，故B选项正确；
C、（a﹣3）（a+7）=a2+4a﹣21，不是因式分解，故C选项错误；
D、a2+4a﹣21=（a+2）2﹣25，不是因式分解，故D选项错误；
故选：B．
2．【分析】分别将多项式4x2﹣4与多项式x2﹣2x+1进行因式分解，再寻找他们的公因式．
解：∵4x2﹣4=4（x+1）（x﹣1），x2﹣2x+1=（x﹣1）2，
∴多项式4x2﹣4与多项式x2﹣2x+1的公因式是（x﹣1）．
故选：A．
3．【分析】原式变形后，提取公因式即可得到所求结果．
解：原式=（x+1）（x﹣1）+（x﹣1）=（x﹣1）（x+2），
则余下的部分是（x+2），
故选D
4．【分析】A选项中提取公因式3xy；
B选项提公因式3y；C选项提公因式﹣x，注意符号的变化；
D提公因式b．
解：A、12xyz﹣9x2y2=3xy（4z﹣3xy），故此选项错误；
B、3a2y﹣3ay+6y=3y（a2﹣a+2），故此选项正确；
C、﹣x2+xy﹣xz=﹣x（x﹣y+z），故此选项错误；
D、a2b+5ab﹣b=b（a2+5a﹣1），故此选项错误；
故选：B．
5．【分析】直接将原式提取公因式ab，进而分解因式得出答案．
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解：∵ab=﹣3，a﹣2b=5，
a2b﹣2ab2=ab（a﹣2b）=﹣3×5=﹣15．
故选：A．
6．【分析】直接提取公因式法分解因式求出答案．
解：（﹣2）2015+22014
=﹣22015+22014
=22014×（﹣2+1）
=﹣22014．
故选：C．
7．【分析】A、原式利用平方差公式分解得到结果，即可做出判断；
B、原式利用完全平方公式分解得到结果，即可做出判断；
C、原式提取公因式得到结果，即可做出判断；
D、原式提取公因式得到结果，即可做出判断．
解：A、原式=（x+2）（x﹣2），错误；
B、原式=（x+1）2，错误；
C、原式=3m（x﹣2y），错误；
D、原式=2（x+2），正确，
故选D
8．【分析】直接提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
解：a2b﹣b3
=b（a2﹣b2）
=b（a+b）（a﹣b）．
故选：A．
9．【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式分解即可．
解：ax2﹣4ax+4a，
=a（x2﹣4x+4），
=a（x﹣2）2．
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故选：A．
10．【分析】根据平方差公式，十字相乘法分解因式，找到两个运算中相同的因式，即为乙，进一步确定甲与丙，再把甲与丙相加即可求解．
解：∵x2﹣4=（x+2）（x﹣2），
x2+15x﹣34=（x+17）（x﹣2），
∴乙为x﹣2，
∴甲为x+2，丙为x+17，
∴甲与丙相加的结果x+2+x+17=2x+19．
故选：A．
11．【分析】各项利用平方差公式及完全平方公式判断即可．
解：A、原式不能分解；
B、原式=（x+y）2﹣2=（x+y+）（x+y﹣）；
C、原式=（x+y）（x﹣y）+4（x+y）=（x+y）（x﹣y+4）；
D、原式=x2﹣（y﹣2）2=（x+y﹣2）（x﹣y+2），
故选A
12．【分析】根据题意，可以利用分类讨论的数学思想探索式子 [1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）计算的结果等于什么，从而可以得到哪个选项是正确的．
解：当n是偶数时，
[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）= [1﹣1]（n2﹣1）=0，
当n是奇数时，
[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）=×（1+1）（n+1）（n﹣1）=，
设n=2k﹣1（k为整数），
则==k（k﹣1），
∵0或k（k﹣1）（k为整数）都是偶数，
故选C．
二．填空题
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13．【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
解：①x2+y2不能因式分解，故①错误；
②﹣x2+y2利用平方差公式，故②正确；
③x2+2xy+y2完全平方公式，故③正确；
④x4﹣1平方差公式，故④正确；
⑤x（x+1）﹣2（x+1）提公因式，故⑤正确；
⑥m2﹣mn+n2完全平方公式，故⑥正确；
故答案为：②③④⑤⑥．
14．【分析】直接利用矩形面积求法结合提取公因式法分解因式即可．
解：由题意可得：am+bm+cm=m（a+b+c）．
故答案为：am+bm+cm=m（a+b+c）．
15．【分析】原式提取公因式a后，将a与b的值代入计算即可求出值．
解：当a=49，b=109时，原式=a（b﹣9）=49×100=4900，
故答案为：4900．
16．【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
解：原式=x（x4﹣4）=x（x2+2）（x2﹣2）=x（x2+2）（x+）（x﹣），
故答案为：x（x2+2）（x+）（x﹣）
17．【分析】运用平方差公式和完全平方公式进行变形，把其中一个因数化为857，再比较另一个因数，另一个因数大的这个数就大．
解：∵a=8582﹣1=（858+1）（858﹣1）=857×859，
b=8562+1713=8562+856×2+1=（856+1）2=8572，
c=14292﹣11422=（1429+1142）（1429﹣1142）=2571×287=857×3×287=857×861，
∴b＜a＜c，
故答案为：b、a、c．
18．【分析】先把原式化为完全平方的形式再求解．
解：∵原式=a2+c2﹣2ab﹣2bc+2b2=0，
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a2+b2﹣2ab+c2﹣2bc+b2=0，
即（a﹣b）2+（b﹣c）2=0，
∴a﹣b=0且b﹣c=0，即a=b且b=c，
∴a=b=c．
故△ABC是等边三角形．
故答案为：等边．
三．解答题
19．（1）【分析】直接提取公因式2m（m﹣n），进而分解因式得出答案；
解：2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）
=2m（m﹣n）[（m﹣n）+4m]
=2m（m﹣n）（5m﹣n）；
（2）【分析】直接提取公因式﹣4ab，进而分解因式得出答案．
解：﹣8a2b+12ab2﹣4a3b3
=﹣4ab（2a﹣3b+a2b2）．
(3)【分析】首先利用多项式乘法计算出（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3，再加上1后变形成x2﹣4x+4，然后再利用完全平方公式进行分解即可．
解：原式=x2﹣4x+3+1，
=x2﹣4x+4，
=（x﹣2）2．
(4)【分析】利用公式法因式分解．
解：（x2+4）2﹣16x2，
=（x2+4+4x）（x2+4﹣4x）
=（x+2）2•（x﹣2）2．
(5)【分析】将前三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而结合平方差公式分解因式得出即可．
解：x2+y2+2xy﹣1
=（x+y）2﹣1
=（x+y﹣1）（x+y+1）．
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(6)【分析】将x2y2看作一个整体，然后进行因式分解．
解：（x2y2+3）（x2y2﹣7）+37
=（x2y2）2﹣4x2y2+16
=（x2y24）2
=（xy+2）2（xy﹣2）2．
20．【分析】已知等式左边利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果．
解：∵x2+y2﹣4x+6y+13=（x﹣2）2+（y+3）2=0，
∴x﹣2=0，y+3=0，即x=2，y=﹣3，
则原式=（x﹣3y）2=112=121．
21．【分析】（1）根据提公因式法，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案；
（2）根据平方差公式，可化简整式，根据代数式求值，可得答案．
解：（1）原式=ab（a2+2ab+b2）=ab（a+b）2，
当a+b=2，ab=2时，原式=2×22=8；
（2）原式=4x2﹣y2﹣（4y2﹣x2）
=5x2﹣5y2，
当x=2，y=1时，原式=5×22﹣5×12=15．
22．【分析】设x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2），对x进行两次赋值，可得出两个关于m、n的方程，联立求解可得出m、n的值．
解：设x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式），
取x=1，得1+m+n﹣16=0①，
取x=2，得16+8m+2n﹣16=0②，
由①、②解得m=﹣5，n=20．
23.【分析】根据分组法、提公因式法分解因式分解，可得答案．
解：x3﹣x2﹣x+1=x2（x﹣1）﹣（x﹣1）=（x﹣1）2（x+1）
4x3﹣4x2﹣x+1=4x2（x﹣1）﹣（x﹣1）=（x﹣1）（2x+1）（2x﹣1）
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24.【分析】（1）根据分解因式的过程直接得出答案；
（2）该同学因式分解的结果不彻底，进而再次分解因式得出即可；
（3）将（x2﹣2x）看作整体进而分解因式即可．
解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；
故选：C；
（2）该同学因式分解的结果不彻底，
原式=（x2﹣4x+4）2=（x﹣2）4；
故答案为：不彻底，（x﹣2）4
（3）（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1
=（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1
=（x2﹣2x+1）2
=（x﹣1）4．
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