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正方形——第二课时
班级：___________姓名：___________得分：__________
一、 选择题
1、下列命题中，真命题是( )
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形
C．圆的切线垂直于经过切点的半径
D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直
2、如图，矩形ABCD中，AB>AD，AB＝a，AN平分∠DAB.DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N，则DM＋CN的值为(用含有a的代数式表示)( )
A．a B.a C.a D.a
3、如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG>60°，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连结AH，则与∠BEG相等的角的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
4．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是( )
A．30 B．34 C．36 D．40
二、 填空题
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1、如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那么∠EFC′的度数为________度．
2、正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3，按如图放置，其中点A1、A2、A3在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3在直线y=﹣x+2上，则点A3的坐标为______________．
3、 如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为__________．
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三、解答题
1、如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
2、如图,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,点P,Q分别是AB, AC上的一动点,且满足BP=AQ,D是BC的中点.
(1)求证:△PDQ是等腰直角三角形.
(2)当点P运动到什么位置时,四边形APDQ是正方形,并说明理由.
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3、如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD.
(1)试判断四边形OCED的形状，并说明理由；
(2)若AB＝6，BC＝8，求四边形OCED的面积．
4、如图，在等边三角形ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边三角形ADE.
(1)求∠CAE的度数；
(2)取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．
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5、如图所示，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF.
(1)求证：AF＝CE；
(2)若AC＝EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．
6、如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC＝∠CAB，∠DEC＝90°.
(1)求证：AC∥DE；
(2)过点B作BF⊥AC于点F，连结EF，试判断四边形BCEF的形状，并说明理由．
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参考答案
一、选择题
1、C
【解析】
注意真命题是正确的命题．A错在对角线还应互相平分，B错在等腰梯形不是中心对称图形，D错在结论应是互相平行．
2、C
【解析】 设AN与DC交于点P，可证DM＝PM，CN＝PN.设DM＝x，则CN＝PN＝a－x，∴DM＋CN＝a.
3、B
【解析】
与∠BEG相等的角有∠HEG、∠EAH、∠EHA共3个．
4.B
【解析】由题意可知△AEH，△BFE，△CGF，△DHG都是直角边分别为5cm和3cm的直角三角形，所以这四个直角三角形的面积为：4××5×3＝30cm2，而正方形ABCD的面积为64cm2，所以四边形EFGH的面积是34cm2，选B．
二、填空题
1、125．
【解析】
∵在矩形ABCD中，∠ABE＝20°，∴∠AEB＝70°.∵点D与点B重合，∴∠BEF＝∠DEF＝＝55°，∵AD∥BC，∴∠BFE＝∠DEF＝55°.∴∠EFC＝180°－55°＝125°.∵点C的对应点是C′，∴∠EFC′＝125°.
2、7.Bn的坐标是(2n-1, 2n-1)
【解析】A1的坐标是（0，1），A2的坐标是：（1，2），
根据题意得： b=1，k+b=2，
解得： b=1，k=1．
则直线的解析式是：y=x+1．
∵A1B1=1，点B2的坐标为（3，2），
∴A1的纵坐标是1，A2的纵坐标是2．
在直线y=x+1中，令x=3，则纵坐标是：3+1=4=22；
则A4的横坐标是：1+2+4=7，则A4的纵坐标是：7+1=8=23；
据此可以得到An的纵坐标是：2n-1，横坐标是：2n-1-1．
由图知，An的纵坐标与Bn的纵坐标相等，
B3的横坐标为1+2+4=7
∴Bn
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的横坐标为2n-1
则Bn的坐标是(2n-1, 2n-1)
3、
【解析】∵a2=AC，且在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2， ∴。
同理
∴。
三、解答题
1、（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AEBD是矩形；
（2）当∠BAC=90°时，
理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD=BD=CD，
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形．
2、(1)连接AD.
∵△ABC是等腰直角三角形,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,AD=BD=DC,∠DAQ=∠B,
又∵BP=AQ,∴△BPD≌△AQD,
∴PD=QD,∠BDP=∠ADQ,
∵∠BDP+∠ADP=90°,
∴∠ADP+∠ADQ=∠PDQ=90°,
∴△PDQ为等腰直角三角形.
(2)当P点运动到AB的中点时,四边形APDQ是正方形;理由如下:
由(1)知△ABD为等腰直角三角形,
当P为AB的中点时,DP⊥AB,即∠APD=90°,
又∵∠BAC=90°,∠PDQ=90°,
∴四边形APDQ为矩形,
又∵DP=AP=AB,∴四边形APDQ为正方形.
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3、解：(1)四边形OCED是菱形．
∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，
又在矩形ABCD中，OC＝OD，∴四边形OCED是菱形．
(2)连结OE.由菱形OCED得CD⊥OE，
∴OE∥BC，又CE∥BD，
∴四边形BCEO是平行四边形．
∴OE＝BC＝8，
∴S四边形OCED＝OE·CD＝×8×6＝24.
4、解：(1)在等边三角形ABC中，
∵点D是BC边的中点，∴∠DAC＝30°.
又∵△ADE为等边三角形，∴∠DAE＝60°.
∴∠CAE＝∠DAE－∠DAC＝30°.
(2)由(1)知，∠EAF＝90°，
由F为AB的中点知，∠CFA＝90°，∴CF∥EA.
在等边三角形ABC中，CF＝AD.
在等边三角形ADE中，AD＝EA.
∴CF＝EA.
∴四边形AFCE为平行四边形．
又∵∠CFA＝90°，∴四边形AFCE为矩形．
5、证明：(1)在△ADF和△CDE中，∵AF∥BE，∴∠FAD＝∠ECD.又∵D是AC的中点，∴AD＝CD.∵∠ADF＝∠CDE，∴△ADF≌△CDE，∴AF＝CE.
(2)若AC＝EF，则四边形AFCE是平行四边形．由(1)知AF∥CE，AF＝CE，∴四边形的AFCE是平行四边形，又∵AC＝EF，∴四边形AFCE是矩形．
6、解：(1)在矩形ABCD中，AC∥DE，∴∠DCA＝∠CAB.∵∠EDC＝∠CAB，∴∠DCA＝∠EDC，∴AC∥DE.
(2)四边形BCEF是平行四边形．
理由：由∠DEC＝90°，BF⊥AC，可得∠AFB＝∠DEC＝90°，
又∠EDC＝∠CAB，AB＝CD，
∴△DEC≌△AFB，∴DE＝AF，由(1)得AC∥DE，
∴四边形AFED是平行四边形，∴AD∥EF且AD＝EF，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC且AD＝BC，
∴EF∥BC且EF＝BC，
∴四边形BCEF是平行四边形．
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