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2017年春季期九年级数学第三次综合训练试题
（考试时间120分钟，赋分120分）
第Ⅰ卷（选择题 共36分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题都给出标号为、、、的四个选项，其中只有一个是正确的．
1.sin60°的值等于（ ）
A. B. C. D.
2.随着我国经济快速发展，轿车进入百姓家庭，小明同学在街头观察出下列四种汽车标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C. D.
3.实数的值在（ ）
A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间
4.全球海洋总面积约为36105.9万平方公里，用科学记数法表示为（ ）
A.3.61×108平方公里 B. 3.60×108平方公里C. 361×106平方公里 D. 36100万平方公里
5.甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击的平均成绩都是9.2环，其中甲的成绩的方差为0.015，乙的成绩的方差为0.035，丙的成绩的方差为0.025，丁的成绩的方差为0.027，则（ ）
A.甲的成绩最稳定 B.乙的成绩最稳定 C.丙的成绩最稳定 D.丁的成绩最稳定
第6题
6.如图，AB是⊙O的直径，∠D=35°，则∠BOC的度数为（ ）
A.120° B. 110° C. 100° D. 70°
7.下列命题中，真命题是（ ）
A.两条对角线相等的四边形是矩形
B.两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
8.一个几何体如图所示，则该几何体的三视图正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
第8题图
9.某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校.如图描述了他上学的情景，下列说法中错误的是（ ）
A.学校离家的距离为2000米 B.修车时间为15分钟
C.到达学校时共用时间20分钟 D.自行车发生故障时离家距离为1000米
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10. 如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（ ）
A．12cm B. 6cm C. 3cm D. 2cm
第9题图
（第10题图） （第11题图） （第12题图）
11．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（ ）
A．大于0 B.等于0 C.小于0 D.不能确定
12.在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④tan∠CAD＝．正确的结论有( )
A.4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
第Ⅱ卷（非选择题 共84分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 分解因式：= .
14.在函数中，的取值范围是 .
15.若，则 .
16.任取不等式组的一个整数解，则能使关于x的方程：2x＋k＝－1的解为非负数的概率为______．
17.抛物线与y轴交于点A，顶点为B．点P是x轴上的一个动点，当点P的坐标是_______________时，|PA－PB|取得最小值．
（第17题图） （第18题图）
18. 如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为2的等边三角形，边AO在y轴上，点B1，B2，B3，…都在直线y=x上，则A2014的坐标是______________.
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三、解答题：
19.(本题满分10分，每小题5分)
（1）计算：4sin60°+|3﹣|﹣（）﹣1+（π﹣2017）0．
（2）解方程组：
20．(本题满分6分)如图，已知△ABC，∠BAC=90°，AB=6，AC=8.
（1）请用尺规过点A作一条线段与BC交于D，使其将△ABC分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求AD的长.
21．(本题满分6分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点，DE⊥x轴于点E.
已知点C的坐标是(6，－1)，DE=3．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式.
（2）根据图象直接回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值?
22．(本题满分7分)某学校为了解学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目最喜爱的情况，随机调查了若干名学生，根据调查数据进行整理，绘制了如下的不完整统计图：
请你根据以上的信息，回答下列问题：
(1) 本次共调查了_____名学生，其中最喜爱戏曲的有_____人；
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（2）在扇形统计图中，最喜爱体育的对应扇形的圆心角大小是______；
(3) 根据以上统计分析，估计该校2000名学生中最喜爱新闻的人数．
23．(本题满分8分)学校准备购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元．
（1）求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元；
（2）学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
24. (本题满分7分)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C．延长AB交CD于点E．连接AC，作∠DAC=∠ACD，作AF⊥ED于点F，交⊙O于点G．
（1） 求证：AD是⊙O的切线；
（2） 如果⊙O的半径是6cm，EC=8cm，求GF的长．
A
O
B
E
C
F
G
D
25．(本题满分11分)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线y=mx2+nx相交于A（1，3），B（4，0）两点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）在坐标轴上是否存在点D，使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点P是线段AB上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OA，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，若△BCN、△PMN的面积S△BCN、S△PMN满足S△BCN=2S△PMN，求出的值，并求出此时点M的坐标．
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26. (本题满分10分)如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD．
（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；
（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转，得到图②，AE与
MP、BD分别交于点G、H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；
若不成立，请说明理由；
（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=AC，CD=CE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．
图①
图②
图③
第26题图
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一、1—4 C C B A 5—8 A B D A 9—12 B C A B
二、13. 14. 15. 1 16. 17. 18.（2014，2016）
三、19.（1）解：4sin60°+|3﹣|﹣（）﹣1+（π﹣2017）0
=4×+2﹣3﹣2+1
=2+2﹣4
=4﹣4
（2） 解：
由②得，③
代入①得，解这个方程，得.
把代入③得，=1，
∴原方程组的解为.
20．（1）如图，AD为所作．
（2） AD=4.8
21．解：(1)∵点C(6，－1)在反比例函数的图象上， ∴－1=， m=－6 .
∴反比例函数的解析式为.
∵点D在反比例函数的图象上，且DE=3，
∴，∴x=－2 . ∴点D的坐标为(－2，3) .
∵C、D两点在直线上，∴
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解得∴一次函数的解析式为.
（2）当x＜-2或0＜x＜6时，一次函数的值大于反比例函数的值．
22．解： (1)50，3；(2) 72°；（3）2000×8%＝160（人）．
23．解：（1）设一只A型节能灯的售价是x元，一只B型节能灯的售价是y元，
根据题意，得：，
解得：，
答：一只A型节能灯的售价是5元，一只B型节能灯的售价是7元；
（2）设购进A型节能灯m只，总费用为W元，
根据题意，得：W=5m+7（50﹣m）=﹣2m+350，
∵﹣2＜0，
∴W随x的增大而减小，
又∵m≤3（50﹣m），解得：m≤37.5，
而m为正整数，
∴当m=37时，W最小=﹣2×37+350=276，
此时50﹣37=13，
答：当购买A型灯37只，B型灯13只时，最省钱．
24解：（1）证明：连接OC．
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°．
∴∠OCA+∠ACD=90°．
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC．
∵∠DAC=∠ACD，
∴∠0AC+∠CAD=90°．
∴∠OAD=90°．
∴AD是⊙O的切线．
(2)连接BG；
∵OC=6cm，EC=8cm，
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∴在Rt△CEO中，OE==10．
∴AE=OE+OA=1．
∵AF⊥ED，
∴∠AFE=∠OCE=90°，∠E=∠E．
∴Rt△AEF∽Rt△OEC．
∴=．
即：=．
∴AF=9.6．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AGB=90°．
∴∠AGB=∠AFE．
∵∠BAG=∠EAF，
∴Rt△ABG ∽Rt△AEF．
∴=．
即：=．
∴AG=7.2．
∴GF=AF-AG=9.6-7.2=2.4(cm) ．
A
O
B
E
C
F
G
D
25.解：（1）∵A（1，3），B（4，0）在抛物线y=mx2+nx的图象上，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x；
（2）存在三个点满足题意，理由如下：
当点D在x轴上时，如图1，过点A作AD⊥x轴于点D，
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∵A（1，3），
∴D坐标为（1，0）；
当点D在y轴上时，设D（0，d），则AD2=1+（3﹣d）2，BD2=42+d2，且AB2=（4﹣1）2+（3）2=36，
∵△ABD是以AB为斜边的直角三角形，
∴AD2+BD2=AB2，即1+（3﹣d）2+42+d2=36，解得d=，
∴D点坐标为（0，）或（0，）；
综上可知存在满足条件的D点，其坐标为（1，0）或（0，）或（0，）；
（3）如图2，过P作PF⊥CM于点F，
∵PM∥OA，
∴Rt△ADO∽Rt△MFP，
∴==3，
∴MF=3PF，
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在Rt△ABD中，BD=3，AD=3，
∴tan∠ABD=，
∴∠ABD=60°，设BC=a，则CN=a，
在Rt△PFN中，∠PNF=∠BNC=30°，
∴tan∠PNF==，
∴FN=PF，
∴MN=MF+FN=4PF，
∵S△BCN=2S△PMN，
∴a2=2××4PF2，
∴a=2PF，
∴NC=a=2PF，
∴==，
∴MN=NC=×a=a，
∴MC=MN+NC=（+）a，
∴M点坐标为（4﹣a，（ +）a），
又M点在抛物线上，代入可得﹣（4﹣a）2+4（4﹣a）=（+）a，
解得a=3﹣或a=0（舍去），
OC=4﹣a=+1，MC=2+，
∴点M的坐标为（+1，2+）．
26．（1）PM=PN,PM⊥PN. ………2分
(2) ∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，
∴AC=BC,EC=CD,
∠ACB=∠ECD=90°．
∴∠ACB +∠BCE=∠ECD +∠BCE．
∴∠ACE=∠BCD．
∴△ACE≌△BCD．
∴AE=BD，∠CAE=∠CBD． ………４分
又∵∠AOC=∠BOE，
∠CAE=∠CBD，
∴∠BHO=∠ACO=90°. ………５分
第26题图②
∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，
∴PM=BD， PM∥BD；
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PN=AE， PN∥AE.
∴PM=PN． ………６分
∴∠MGE+∠BHA=180°．
∴∠MGE=90°．
∴∠MPN=90°．
∴PM⊥PN． ………8分
(3) PM = kPN ………9分
∵△ACB和△ECD是直角三角形，
∴∠ACB=∠ECD=90°．
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．
∴∠ACE=∠BCD．
∵BC=kAC，CD=kCE，
∴．
第26题图③
∴△BCD∽△ACE．
∴BD = kAE． ………11分
∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，
∴PM=BD，PN=AE．
∴PM = kPN ． ………12分
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