杨辉，中国南宋时期杰出的数学家，大约于世纪中叶至末叶生活在钱塘（今杭州）一带．他一生著作很多，著名的数学书共种卷．大家熟悉的“杨辉三角”数表就在他年所著的《详解九章算术》一书里记载着，他在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的“纵横图”及有关的构造方法．
3．有理数的运算
有理数及其运算是整个数与代数的基础，有关式的所有运算都是建立在数的运算基础上．深刻理解有理数相关概念，掌握一定的有理数运算技能是数与代数学习的基础．
有理数的运算不同于算术数的运算：这是因为有理数的运算每一步要确定符号，有理数的运算很多是字母运算，也就是常说的符号演算．
运算能力是运算技能与推理能力的结合．这就要求我们既能正确地算出结果，又善于观察问题的结构特点，选择合理的运算路径，提高运算的速度．有理数运算常用的技巧与方法有：
利用运算律；以符代数；恰当分组；裂项相消；分解相约；错位相减等．
问题解决
例1 （1）已知，记，，…，，则通过计算推测的表达式________．（用含的代数式表示）
（2）若、是互为相反数，、是互为倒数，的绝对值等于，则的值是____．
试一试 对于（2），运用相关概念的特征解题．
例2 已知整数、、、满足，且，那么等于（ ）．
A． B． C． D．
试一试 解题的关键是把表示成个不同整数的积的形式．
例3 计算
（1）；
（2）；
（3）．
试一试 对于（1），设原式，将各括号反序相加；对于（2），若计算每个分母值，则易掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形入手；对于（3），视除数为一整体，从寻找被除数与除数的关系入手，
例4 在数学活动中，小明为了求的值（结果用表示），设计了如图所示的几何图形．
（1）请你用这个几何图形求的值；
（2）请你用图②，再设计一个能求的值的几何图形．
试一试 求原式的值有不同的解题方法，而剖分图形面积是构造图形的关键．
例5 在，，…，前面任意添上正号和负号，求其非负和的最小值．
分析与解 首先确定非负代数和的最小值的下限，然后通过构造法证明这个下限可以达到即可．整数的和差仍是整数，而最小的非负整数是．代数和的最小值能是吗？能是吗？由于任意添“+
”号或“-”号，形式多样，因此，不可能一一尝试再作解答，从奇数、偶数的性质入手．
因与的奇偶性相同，故所求代数和的奇偶性与的奇偶性相同，即为奇数．因此，所求非负代数和不会小于．
又，
所求非负代数和的最小值为．
类比
类比是一种推理方法，根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．
触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题的途径和方法．
例6观察下面的计算过程
．
问：（1）从上面的解题方法中，你发现了什么？用字母表示这一规律．
（2）“学问”，既要学会解答，又要学会发问．爱因斯坦曾说：。提出问题比解决问题更重要”．
请用类比的方法尽可能多地提出类似的问题．
分析与解 （1）．
（2）从连续自然数到连续偶数，从个到个，从分数到整数，类比可提出下列计算问题：
①；
②；
③；
④．
数学冲浪
知识技能广场
1．如图，每一个小方格的面积为，则可根据面积计算得到如下算式：________．（用表示，是正整数）．
2．某数学活动小组的位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序数的倒数加，第位同学报，第位同学报，第位同学报，这样得到的个数的积为_________．
3．计算：
（1）_________．
（2）_______．
4．“数学王子”高斯从小就善于观察和思考，在他读小学时就能在课堂上快速地计算出，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：
①
②
①+②有，．
请类比以上做法，回答下列问题：
若为正整数，，则_______．
5．设，在代数式，，，，，，中负数的个数是（ ）
A． B． C． D．
6．我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下：克以内元，每增加克（不足克按克计）元．某人从成都邮寄一本书到上海，书的质量为克，则他应付邮资（ ）元．
A． B． C． D．
7．为了求的值，可令，则，因此，所以．仿照上面推理计算出的值是（ ）．
A． B． C． D．
8．下面是按一定规律排列的一列数：
第个数：；
第个数：；
第个数：；
……
第个数：．
那么，在第个数、第个数、第个数、第个数中，最大的数是（ ）
A．第个数 B．第个数 C．第个数 D．第个数
9．观察图形，解答问题：
（1）按下表已填写的形式填写表中的空格：
图①
图②
图③
三个角上
三个数的积
三个角上
三个数的和
积与和的商
（2）请用你发现的规律求出图④中的数和图⑤中的数．
10．观察下列等式：
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
……
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第个等式：_______=_______；
（2）用含的代数式表示第个等式：_______=________（为正整数）；
（3）求的值．
思维方法天地
11．计算：
（1）______．
（2）_______．
（3）_________．
12．设三个互不相等的有理数，既可分别表示为，，的形式，又可分别表示为，，的形式，则_______．
13．已知，则________．
14．已知、、满足且，则代数式的值是______．
15．的值是（ ）
A． B． C． D．
16．如果个不同的正整数、、、满足，那么等于（ ）
A． B． C． D． E．
17．如果，那么的值为（ ）
A． B． C． D．不确定
18．观察下列各式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
……
请你根据观察得到的规律判断下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
19．观察下面的等式：
，；
，；
，；
，．
（1）小明归纳上面各式得出一个猜想：“两个有理数的积等于这两个有理数的和”，小明的猜想正确吗？为什么？
（2）请你观察上面各式的结构特点，归纳出一个猜想，并证明你的猜想．
20．同学们，我们曾经研究过的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为．但为时，应如何计算正方形的具体个数呢？下面我们就一起来研究并解决这个问题．首先，通过探究我们已经知道
时，我们可以这样做：
（1）观察并猜想：
，
，
；
……
（2）归纳结论：
=（________）+（___________）
=________+_________
；
（3）实践应用：
通过以上探究过程，我们就可以算出当为时，正方形网格中正方形的总个数是________．
应用探究乐园
21．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案．
例如，求的值，其中是正整数．
对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对的奇偶性进行讨论．
如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观，现利用图形的性质来求的值，方案如下：如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为，，，…，个小圆圈排列组成的，而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有行，每行有个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为，即．
（1）仿照上述数形结合的思想方法；设计相关图形，求的值，其中是正整数．（要求：画出图形，并利用图形作必要的推理说明）
（2）试设计另外一种图形，求的值，其中是正整数．（要求：画出图形，并利用图形作必要的推理说明）
22．在“”的小方格中填上“+”、“-”号，如果可以使其代数和为，就称数是“可被表出的数”（如是可被表出的数，这是因为是的一种可被表出的方法）．
（1）求证：是可被表出的数，而是不可被表出的数；
（2）求可被表出的不同方法的种数．
3．有理数的运算
问题解决
例1 （1） （2）
例2 D ，，，，．
例3 （1） 设原式，又，两式相加得，所以；
（2） ；
（3） 原式，其中．
例4 （1）原式；（2）略．
数学冲浪
1． 2． 3．（1）；（2）
4． 由，得
5．B 6．A 7．D
8．A 提示：第个数为，把第、、、个数分别求出．
9．（1）略
（2）图④：，，；
图⑤：，解得．
10．（1）；（2）；（3）原式
11．（1）；（2）；（3）
12． 这两个三数组在适当的顺序下对应相等，于是可以断定，与中有一个为，与中有一个为，可推得，．
13． 14． 15．B 16．E
17．A 18．C
19．（1）小明的猜想显然是不正确的，易举出反例，如．
（2）将第一组等式变形为，，得出如下猜想：“若是正整数，则”．
证明：左边右边．
20．（1）；；；
（2）；；
；；；
（3）．
21．原式，构造平行四边形或正方形．
22．（1），无论怎样填“”、“”号，代数好一定是奇数，又
，故是可被表出的数，而是不可被表出的数．
（2）设填“”号的数字和为，填“”号的数字和为，则，又，解得，，因，，故填“”号的数字至少有个至多有个，由此知填“”号的数之和为，只要计算出从到中选出若干个其和为的数字的不同方法，就得到可表出的不同方法，经讨论知有种．
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