七年级数学思维探究（5）整式的加减（含答案）.docx

‎5．整式的加减 解读课标 代数式是用加、减、乘、除等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，是后续学习中进行运算、解决问题的基础．‎ 在代数式中，我们把那些含相同的字母，并且相同字母的次数也分别相同的单项式看作一类——称为同类项，一个多项式中的同类项可以合聚在一起——称为合并同类项，整式的加减就是合并同类项．‎ 代数式的化简求值是代数式研究的一个重要课题，解这类问题的基本方法有：‎ 将字母的值代入或字母间的关系整体代人，而关键是对代数式进行恰当变形，其中去括号、添括号能改变代数式的结构，是变形求解的常用工具．‎ 问题解决 例1甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价为元的商品，甲超市连续两次降价；乙超市一次性降价；丙超市第一次降价，第二次降价，此时顾客要购买这种商品，最划算的超市是____．‎ 试一试用的式子分别表示三家超市降价后的价格．‎ 例2下列四个数中可以写成个连续自然数之和的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 试一试用字母表示数，从揭示个连续自然数之和的规律人手．‎ 例3已知关于的二次多项式，当时的值为，求当时该多项式的值．‎ 试一试设法求出、的值，解题的突破口是根据多项式降幂排列、多项式次数等概念隐含的关于、的等式．‎ 例4有这样的两位数，交换该数数码所得到的两位数与原数的和是一个完全平方数．例如，就是这样的两位数，因为，请你找出所有这样的两位数．‎ 试一试设原数为，发现的特点是解本例的出发点．‎ 例5如图，是用棋子摆成盼图案，摆第个图案需要枚棋子，摆第个图案需要枚棋子，摆第个图案需要枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第个图案需要______枚棋子，摆第个图案需要____枚棋子．‎ ‎ ‎ 解法一 列表填数，观察数值，体会从特殊到一般的数学思想．‎ 图形序号 棋子总数 ‎；‎ ‎；‎ 猜想，‎ 再将代入该代数式得．‎ 解法二数形结合，分解图形，感悟从部分研究整体的思想．‎ 问题中“按照这样的方式摆下去”，何种方式并没有明确的界定，我们可以有不同的理解，如从平行四边形角度看，把图形分成三个平行四边形．‎ 如图，图的序列号：，，，，，…‎ 图中的点的数目：，，，，，‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ 猜想 整体思考 整体思考是将问题看成一个完整的整体，从大处着眼，由整体入手，突出对问题的整体结构的分析与改造，从整体上把握问题的特征和解题方向，‎ 例6（1）已知当时，的值为，则当时，的值为___‎ ‎（2）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片(如图1)不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（3）记，令，称为，，，这列数的“理想数”，已知，，，的“理想数”为，求，，，…，的理想数 试一试整体思考具体体现为：整体观察、整体变形、整体代入．对子（1），能求出、的值吗？对于（2），为表示图②中相关量，还需知道什么？对于（3），从理解“理想数”的意义人手，导出与，，，的关系，要求的是的值．‎ 数学冲浪 知识技能广场 ‎1．（1）若与的和是单项式，则______．‎ ‎（2）有一组单项式：，，，，…请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出个单项式为_______．‎ ‎2．（1）如图，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用 ‎ 含的等式表示第个正方形点阵中的规律是_______．‎ ‎（2）如图是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第个图案中阴影小三角形的个数是______（用含的代数式表示）．‎ ‎3．数学翻译 牛顿是举世闻名的伟大数学家、物理学家，他创立了微积分（另一个创立者是莱布尼茨）、经典力学，在代数学、光学、天文学等方面也作出了重要贡献．‎ 牛顿用数学的语言、方法描述和研究自然规律，他呕心沥血写成的光辉著作《自然哲学的数学原理》，照亮了人类科学文明的大道．‎ 牛顿在他的《普遍的算术》一书中写道：“要解答一个含有数量间的抽象关系的问题，只要把题目由日常的语言译成代数的语言就行了．”下表是由牛顿给出，的个例子改写、简化而成的，请将表的空白补上（不必求出问题的最后答案）．‎ 日常语言 代数语言 一个商人有一笔钱 第一年他花去了镑 补进去余额的 第二年他又花去了镑 又补进去余额的 结果他的钱数正好是原来的钱数 ‎4．（1）已知，则的值是______．‎ ‎（2）若、互为倒数，则的值为________．‎ ‎5．小王第一周每小时工资为元，工作小时．第二周每小时工资增加，工作总时间减少，则第二周工资总额与第一周工资总额相比（ ）‎ A．增加 B．减少 C．减少 D．不变 ‎ ‎6．已知有理数、、在数轴上的位置如图 所示，且，则代数式的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．如果，那么代数式的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8．已知多项式的和等于，则这个多项式是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知多项式．‎ ‎（1）若多项式的值与字母的取值无关，求、的值_____；‎ ‎（2）在（l）的条件下，求多项式的值；‎ ‎（3）在（1）的条件下，求 ‎10．如图所示，年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成个大小不同的正方形．如果图中标注的①、②正方形边长分别是，，那么你能计算出其他个正方形的边长吗？‎ 思维方法天地 ‎11．已知多项式是二次多项式，则=_______．‎ ‎12．已知，，当时，恒成立，则的值为______．‎ ‎13．（1）若，则的值等于_______．‎ ‎（2）已知，，，则的值为______．‎ ‎14．如图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第个图中阴影部分小正方形的个数是________．‎ ‎15．当时，代数式的值为，那么，代数式=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎16．关于的正整数的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如，，，若分裂后，其中有一个奇数是，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎17．有甲、乙两种糖果，原价分别为每千克元和元．根据柜台组调查，将两种糖果按甲种糖果千克与乙种糖果千克的比例混合，取得了较好的销售效果．现在糖果价格有了调整：甲种糖果单价上涨，乙种糖果单价下跌，但按原比例混合的糖果单价恰好不变，那么等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎18．若一个两位数恰等于它的各位数字之和的倍，则这个两位数称为“巧数”，则不是“巧数”的两位数的个数是（ ）‎ A． B． C． D ‎19．有一张纸，第次把它分割成片，第次把其中的片分割成片，以后每一次都把前面所得的其中一片分割成片，如此进行下去，试问：‎ ‎（1）经次分割后，共得到多少张纸片？‎ ‎（2）经次分割后，共得到多少张纸片？‎ ‎（3）能否经若干次分割后共得到张纸片？为什么？‎ ‎20．已知：是最小的正整数且、、满足，试回答问题．‎ ‎（1）求，，的值；‎ ‎（2）、、所对应的点分别为、、，点为一动点，其对应的数为，点在到之间运动时（即时），请化简式子：；‎ ‎（3）在（1）、（2）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．‎ 应用探究乐园 ‎21． 一条公交线路上从起点到终点有个站，一辆公交车从起点站出发，前站上车人，前站下车人．问从前站上车而在终点站下车的乘客有多少人？‎ ‎22．在一次游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数（、、依次是这个数的百位、十位、个位数字），并请这个人算出个数，、、与的和，把告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数．‎ 现在设，请你当魔术师，求出数来．‎ 自然数的排序 把自然数，，，…，按一定的方式排列顺序，可得到形式特异、内涵丰富的排序问题，融知识性与趣味性于一体．‎ 解这类问题的关键是：通过观察能发现排序后的数阵中的规律，如行或列中数的规律、特殊位置数的规律等．‎ 例1 将正整数按如图所示的规律排列下去，若用有序数对表示第排、第个数，比如 表示的数是，则表示的数是______．‎ ‎ 第排 ‎ 第排 ‎ 第排 ‎ 第排 ‎ ‎ 分析与解弄清题意是前提，找准规律是关键，正确表达尤重要，对于本例，最明显也对解题最有指导价值的规律是：第排有个数，要求只需知道它是这个数中的第个数即可．‎ 前6排共有个数，即第排最后一个数是，故表示的数是．‎ 例2 正整数按如图所示的规律排列，请写出第二十行第二十一列的数字：‎ 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 ‎ 第一行 ‎ ‎ ‎ 第二行 ‎ ‎ ‎ 第三行 ‎ ‎ ‎ 第四行 ‎ ‎ ‎ 第五行 ‎ 试一试这个自然数表的特点可从以下方面观察：第行的第一个数，第一行第个数，每行或每列数的增减性．‎ 例3 将正偶数按下表排列列．‎ 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 ‎ 第二行 ‎ 第三行 ‎ ‎ ‎ 根据上面排规律，则应在（ ）‎ A．第行，第列 B．第行，第列 C．第行，第列 D．第行，第列 试一试注意到每一行排个数，奇数行空第一列，偶数行空第五列，只要计算出是第几个数即可．‎ 例4 将自然数按如图所示的顺序排列，在这样的排列下，数字排在第二行第一列，排在第三行 第三列．问：排在第几行第几列？‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 试一试从斜行方向上看，奇数斜行中的数由下向上递增，偶数斜行中的数由上向下递增．‎ 例5 将正整数从开始按如图所示的规律排成一个数阵，其中，在第一个拐弯处，在第二个拐弯处，在第三个拐弯处，在第四个拐弯处……问：在第个拐弯处的数是多少．‎ 试一试用表示第次拐弯时所对应的数，从寻求与之间的关系入手．‎ 练一练 ‎1．已知一列数：，，，，，，，…将这列数排成下列形式：‎ 第1行 ‎ 第2行 ‎ 第3行 ‎ 第4行 ‎ 第5行 ‎ ‎ ‎ 按照上述规律排下去，那么第行从左边数第个数等于______．‎ ‎2．将正奇数按下表排列：‎ 第列 第列 第列 第列 第列 第行 第行 第行 第行 根据表中的排列规律，数应排在第______行，第_____列 ‎3．自然数，，，，按下表规律排列：横排为行，记数据，，，的那一行为第一行，依次记下面的各行分别是行，第行，．试问位于该表的第_____行，并对应于“启智杯竞赛有趣”中的汉字：_______．‎ 启 智 杯 竟 赛 有 趣 ‎4．小王在做数学题时，发现下面有趣的结果：‎ 由上，我们可知第行的最后一个数是______．‎ ‎5．奇数宝塔 东方传统建筑中的塔，千姿百态，造型各异，数学中的宝塔更是千变万化、不计其数．‎ 从开始的奇数，按照规律排成下面形式的宝塔：‎ ‎ 第几行 行中各数的和 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 观察行中各数的规律：‎ 前行的各数之和；‎ 前行的各数之和；‎ 前行的各数之和；‎ 前行的各数之和；‎ 因此，可推知前行的各数之和________；‎ 根据以上规律，猜想：=________．‎ ‎6．如图，数表是由从开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（1）表中第行的最后一个数是____，它是自然数______的平方，第行共有____ 个数．‎ ‎（2）用含的代数式表示：第行的第一个数是______，最后一个数是____，第行共有______个数．‎ ‎（3）求第行各数之和．‎ ‎7．自然数按右表的规律排列：‎ ‎（1）求上起第十行、左起第十三列的数；‎ ‎（2）数应在上起第几行、左起第几列？‎ ‎5．整式的加减 问题解决 例1 乙 例2A设自然数从开始，这个连续自然数的和为 例3 原多项式整理得 由题意得 从而，‎ 例4‎ 因而是的倍数，即，且是完全平方数，‎ 由于，，得，，‎ 从而．推得这样的两位数有个：，，，，，，，．‎ 例6（1）由条件得，原式；‎ ‎（2）设小长方形的长为，宽为 ‎∴上面的阴影周长为：，下面的阴影周长为：‎ ‎∴总周长为：‎ 又∵‎ ‎∴‎ 故选B ‎（3）由定义得 即 又 故，，，……，的“理想数”‎ 为 数学冲浪 ‎1．（1） （2）‎ ‎2．（1）‎ ‎（2）‎ ‎3．（1）‎ ‎（2）‎ ‎4．（1）； （2）‎ ‎5．B 6．A 7．C 8．A ‎ ‎9．（1），； ‎ ‎（2）原式 ‎（3）原式 ‎10．③的边长为①、②边长之和：；‎ ‎⑨的边长为③、②边长之和：；‎ ‎⑧的边长为⑨、②边长之和：；‎ ‎⑦的边长为⑧的边长加上②与①边长之差：；‎ ‎⑥的边长为⑦的边长减去①边长：；‎ ‎④的边长为⑥的边长减去①与③边长这客：‎ ‎；‎ ‎⑤的边长为④、⑥边长之和：‎ ‎；‎ ‎⑩的边长为⑤、④边长之和：‎ ‎11．由条件可得 且 ‎12．代入化简得 ‎13．（1）（2）‎ ‎14．‎ ‎15．C ‎ ‎16．C 分裂后的第一个数是，共有个奇数，由 ‎，得 ‎17．D ‎ ‎18．C （个）‎ ‎19．（1）共得到张纸片；‎ ‎（2）经次分割，共得到张纸片．‎ ‎（3）若能分得张纸片，则，，无整数解，所以不可能经若干次分割后得到张纸片．‎ ‎20．（1），，‎ ‎（2）原式 ‎（3），，‎ ‎，不随时间的改变而改变 ‎21．设前站上车的乘客数量依次为，，，，，，人，‎ 从第站到第站下车的乘客数量依次为，，，，，，人，‎ 则 又，，‎ 即，‎ ‎22．将也加到和上，由于、、在每一位上都恰好出现两次，‎ 所以①‎ 从而，‎ 于是 因为，，‎ ‎，．‎ 其中只有满足要求，即能使①成立，故．‎ 自然数的排序 例2第行第一列数字为，第列数字为，‎ 故第二十行第二十一列的数字为 例3C由，得，又 例4第斜行中共有个连续的自然数，其中最大的数是，‎ 第斜行的最大数是，‎ 第斜行的最大数是，‎ 因此，位于第斜行．‎ 又第斜行中的数是由下向上递增的，左边第一个数是，‎ 则是位于第斜行的由下向上数第个位置的数，‎ 换数成原图中行和列是第行、第列．‎ 例5，，，，，，，，……，‎ 又，，，……即后一拐弯数=前一拐弯数+后一拐弯次数．‎ 故 故第个拐弯处的数是．‎ 练一练 ‎1．提示：前行的数的个数和为，‎ 故第行数为，，，，，，……‎ ‎2．，参见例 ‎3．；杯被除得商（为奇数），余数 ‎4．第行的最后一个数是 ‎5．；‎ ‎6．（1）；；‎ ‎（2）；；‎ ‎（3）设第行各数之和为，‎ 则 ‎7．提示：经观察可得这个自然表的排列特点：①第一列的每一个数都是完全平方数，‎ 并且恰好等于它所在行数的平方，即第行的第一个数为；‎ ‎②第一行第个数是；‎ ‎③第行中从第一个数至第个数依次递减；‎ ‎④第列中从第一个数至第个数次递增．‎ 这样可求：（1）上起第十行，左起第十三列的数应是第十三列的第个数，‎ 即 ‎（2）数满足关系式 即在左起十二列，上起第六行的位置 供应站的最佳位置的确定 例1即在数轴上找出表示的点，使它到表示，，，各点距离之和最小，‎ 当时，原式的值最小，最小值是：‎ 例2∵‎ ‎∴‎ 得，‎ 故的最大值为，最小值为．‎ 练一练 ‎1．放、（含、）之间任一处 ‎2．‎ ‎3．，由条件得，原式 ‎4．D只要，，中至少有一个成立，则，‎ 这与条件矛盾，从而得，，，，，‎ 或，，‎ ‎5．B各线段间的距离如图．首先排除选择点和，然后比较点和点．‎ ‎6．A原式 该式子可以看成数轴上的某点到，，，各个点的距离乘以相应系数后积的和．‎ 因为 ‎，所以该点在和之间时，和最小．‎ ‎7．（1）；（2）提示：当时，‎ 原式有最小值，这个最小值为：‎ ‎8．最大值为，最小值为 乘方美谈 练一练 ‎1．略 ‎2．（1）、的个位数字分别与、的个位数字相同 ‎（2）‎ ‎3． 4．‎ ‎5．（1） ‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎6．C 7．A 8．C 9．B 10．B ‎ ‎11．（1）提示： ‎ ‎（2）‎ ‎12．（1）因为，，‎ 所以与的个位数字分别与、的个位数字相同，‎ 即，，从而的个位数字为，‎ 因此，是的位数．‎ ‎（2）一定是的倍数，原式 每个括号里的数都能被整除，所以全式也能被整除．‎ ‎13．设金片数为时的移动次数为，，完成片金片的转移总共需要的时间为（亿年），而太阳系的寿命是亿~亿年，等到那时宇宙早已毁灭．‎