李善兰（-），晚清中国杰出的数学家，在西方传教士的帮助下，翻译了大量科学著作，如《几何原本》后九卷、《代数学》等．不仅向中国学者介绍了西方数学知识，还创立了许多型概念、新名词、新符号，如代数学、方程式、函数、微分等．除翻译西方名著外，李善兰也有多种自己的著作，如《方圆阐幽》、《对数探源》、《弧矢启密》等，为中国数学的发展作出了卓越的贡献．
7．怎样设元
解读课标
荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔说：“与其说学习数学，倒不如说学习“数学化”方程就是将众多实际问题“数学化”的一个重要模型．
在运用一元一次方程解决实际问题的过程中，设立未知数是首要环节，不同的设法列出的方程有的简单，有的复杂，故在设未知数时需有所选择，设元的基本方法有：
1．直接设元 即问什么设什么．
2．间接设元 即所设的不是所求的，需要将要求的量以外的其他量设为未知数，便于找出符合题意的等量关系．
3．辅助设元 有些应用题隐含一些未知的常量，若不指明这些量的存在，则难求其解，故需把这些未知的常量设出未知数，作为桥梁帮助分析．
4．整体设元 若在未知数的某一部分存在一个整体关系，可设这一部分为一个未知数，从而减少设元的个数．
问题解决
例1 如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为，那么这个长方形色块图的面积为_____________．
试一试 要求长方形的面积需求出各正方形的边长，为便于求出长方形长与宽，故不宜直接设元，由于个正方形边长有一定的依存关系，所以，可以从间接设某个正方形边长入手．
例2 植树节时，某班平均每人植树棵．如果只由女同学完成，每人应植树棵；如果只由男同学完成，每人应植树（ ）棵．
A． B． C． D．
试一试 略
例3 某音乐厅月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的，若提前购票，则给予不同程度的优惠，在五月份内，团体票每张元，共售出团体票数的；零售票每张元，共售出零售票数的一半，如果在六月份内，团体票按每张元出售，并计划在六月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？
试一试票款与票数、票价有关，既要用字母表示六月份零售价，又要用字母表示总票数．
例4 某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：
投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁年，年期满后由开发商以比原商铺标价高的价格进行回购，投资者可在以下两种购铺方案中作出选择：
方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可获得的租金为商铺标价的．
方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，年后每年可获得的租金为商铺标价的，但要缴纳租金的作为管理费用．
（1）请问：投资者选择哪种购铺方案，年后所获得的投资收益率更高？为什么？
（注：）
（2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么年后两人获得的收益将相差万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元？
试一试 在阅读理解的基础上通过设元解决问题．
例5 某车站在检票前若干分钟就开始排队，排队的人数按一定的速度增加．如果开放一个检票口，则要分钟检票口前的队伍才消失；如果同时开放两个检票口，则分钟队伍就消失．设检票的速度是一定的，问同时开放三个检票口，队伍要几分钟就消失？
分析与解 未知量有以下几个：检票开始时，等候检票的队伍人数；每个检票口每分钟检票的人数；队伍每分钟增加的人数，只有指明这些量，才能表示等量关系．
设检票开始时，等候检票的队伍有人，每个检票口每分钟检票人，队伍每分钟增加人，则
，，消去，得，．
故同时开放三个检票口，等候检票的队伍消失的时间是：
（分钟）．
纪念大师
例6 瑞士数学家欧拉（．，-）是历史上最多产的数学家，据统计他一共写了本（篇）书籍和论文．著名数学家拉普拉斯说过：“读读欧拉，他是我们所有人的导师．”是啊，欧拉在数学上的贡献实在太多了，即使在初等数学中也到处可见他的身影，下面问题是欧拉的数学名著《代数基础》中的一个问题．
有一位父亲，临终时嘱咐他的儿子这样分他的财产：第一个儿子分得克朗和剩下财产的十分之一；第二个儿子分得克朗和剩下财产的十分之一；第三个儿子分得克朗和剩下财产的十分之一……按这种方式一直分下去，最后每一个儿子所得财产一样多．问这位父亲共有几个儿子？每个儿子分得多少财产？这位父亲共留下多少财产？
分析 根据设未知数和思路的不同，可得多种解法．
解法1 设有个儿子，则最后一个儿子分得克朗，倒数第二个儿子先得到克朗，又得到“余下的”，即留给最后一个儿子的是余下的，故这个“余下的”也是最后一个儿子钱数的．由最后两个儿子分得钱数相等，得方程，
解得 ．
所以这位父亲共有个儿子，每人分得财产（克朗），留下（克朗）财产．
解法2 设每个孩子分得的财产是，总的财产是，则根据题意，
第一个孩子分得的财产是：，
第二个孩子分得的财产是：，
第三个孩子分得的财产是：，
依此类推，可以看出，老大与老二（老二与老三，老三与老四等都一样）的差额是．
根据题意，这个差数应当是，于是得出一元一次方程：．
解之，得，于是．经过验证，每个孩子确实都分得元，即第二、三、四……个方程都满足（个）．
所以这位父亲有个孩子，他共有财产克朗，每人分到克朗．
数学冲浪
知识技能广场
1．古希腊数学家帕普斯是丢番图最得意的一个学生，有一天他向老师请教一个问题：有个数，把其中每个相加，其和分别为，，，，则这四个数分别是____________．
2．一个六位数的倍等于，则这个六位数等于_____________．
3．个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报的人心里想的数是______________．
4．学友书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过元，不享受优惠；②一次性购书超过元但不超过元，一律打九折；③一次性购书超过元，一律打八折．如果小明一次性购书付款元，那么小明所购书的原价一定为（ ）元．
A． B． C．或 D．或
5．一件服装标价元，若以折销售，仍可获利，则这件服装的进价是（ ）．
A．元 B．元 C．元 D．元
6．某种产品是由种原料千克、种原料千克混合而成，其中种原料每千克元，种原料每千克元，后来调价，种原料价格上涨，种原料价格减少，经核算产品价格可保持不变，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
7．陈老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处王老师交账说：“我买了两种书，共本，单价分别为元和元，买书前我领了元，现在还余元．”王老师算了一下，说：“你肯定搞错了．”
（1）王老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解释；
（2）陈老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应为小于的整数，笔记本的单价可能为多少元？
8．燃蜡时间问题（英国）
在伦敦的一个大雾天，一家商店的店主叫店员点燃两支长度相同的蜡烛，这两支蜡烛的一支可维持个小时，另一支可维持小时．雾散后，店主来吹蜡烛，发现其中一支剩下的长度是另一支剩下长度的倍，问蜡烛点燃了多长时间？
9．体育文化用品商店购进篮球和排球共个，进价和售价如下表，全部销售完后共获利润元．
篮球
排球
进价/（元/个）
售价/（元/个）
（1）购进篮球和排球各多少个？
（2）销售个排球的利润与销售几个篮球的利润相等？
思维方法天地
10．某班全体学生进行了一次篮球投篮练习，每人投球个，每投进一个球得分，得分的部分情况如表所示：
得分
…
人数
…
已知该班学生中，至少得分的人的平均得分为分，得分不到分的人的平均得分为分，那么该班学生有_____________人．
11．一轮船从甲地到乙地顺流行驶需小时，从乙地到甲地逆流行驶需小时，有一木筏由甲地漂流至乙地，需___________小时．
12．下边算式中，每个汉字代表个数字，不同的汉字代表不同的数字，已知“神”，那么被乘数是___________．
13．从两块分别重千克和千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的一块重量是（ ）．
A．千克 B．千克 C．千克 D．千克
14．某校初一、初二两个年级学生的人数相同，初三年级的学生人数是初二年级学生人数的，已知初一年级的男生人数与初二年级的女生人数相同，初三年级男生人数占三个年级男生人数的，那么三个年级女生人数占三个年级学生人数的比是（ ）
A． B． C． D．
15．某商品原价为元，春节促销，降低，如果节后恢复到原价，则应将现售价提高（ ）
A． B． C． D．
16．将下表的方格中的个方格填入不同的数字，使得每行、每列、每条对角线上的个数宇之和都相等．问：表中左上角的数字是多少？
17．某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式（详情见下表）．
月使用费/元
主叫限定时间/分
主叫超时费/（元/分）
被叫
方式一
免费
方式二
免费
温馨提示：若选用方式一，每月固定交费元，当主动打出电话月累计时间不超过分，不再额外交费；当超过分，超过部分每分加收元．
设一个月内使用移动电话主叫的时间为分（为正整数），请根据表中提供的信息回答下列问题：
（1）用含有的式填写下表：
方式一计费/元
方式二计费/元
（2）当为何值时，两种计费方式的费用相等；
（3）当时，你认为选用哪种计费方式省钱（直接写出结果即可）．
18．为了改善城乡人民生产、生活环境，我市投入大量资金，治理竹皮河污染，在城郊建立了一个综合性污水处理厂．设库池中存有待处理的污水吨，又从城区流入库池的污水按每小时吨的固定流量增加．如果同时开动台机组需小时处理完污水，同时开动台机组需工小时处理完污水．若要求在小时内将污水处理完毕，那么要同时开动多少台机组？
应用探究乐园
19．某农民在农贸市场卖鸡．甲先买了总数的一半又半只，然后乙买了剩下的一半又半只，最后丙买了剩下的一半又半只，恰好买完．问该农民一共卖了多少只鸡？
20．如图，长方形、、的长与宽的比相同，长方形与的面积比是，长方形的周长是，求长方形的面积．
7．怎样设元
问题解决
例1 设、的边长为，则、、的边长分别为，，，由题意得：，解得．
例2 B设男、女同学分别有、人，则，，则只由男同学完成每人应植树．
例3 设总票数为张，六月份零售票应按每张元定价，由题意得，解得（元）．
例4 （1）设商铺标价为万元，则按方案一购买，则可获投资收益，
投资收益率为．
按方案二购买，则可获投资利益．
投资收益率为．
投资者选择方案二所获得的投资收益率更高．
（2）设甲投资了万元，由题意得，解得，
甲投资了万元，乙投资了万元．
数学冲浪
1．，，，设四个数的和为
2．
3． 提示：设报的人心里想的数是，报的人心里想的数应是．于是，报的人心里想的数是，报的人心里想的数是，报的人心里想的数是，报的人心里想的数是，由，得．
4．C
5．A
6．C
7．（1）设单价为元的课外书为本，由，得（不合题意），所以陈老师肯定搞错了．
（2）设单价为元的课外书为本，笔记本的单价为元，则，即，应被整除，，，，，经讨论或．
8．设蜡烛点燃了小时，蜡烛的长度为厘米，由，得小时．
9．（1）个，个 （2）个
10． 设共有人，由，得．
11．
12． 设“神舟五号”，“飞天”，则，，，故，，为自然数，，得，从而，．
13．B 设切下的每一块合金重克，千克、千克的合金含铜的百分比分别为、，则，整理得．故．
14．C 设初一年级学生人数为，男生人数为，可求得初三年级男生人数为，所求比为：．
15．C
16．
17．（1）当时，方式一：；当时，方式一：；方式二：．
（2）当时，，
当两种计费方式的费用相等时，的值在取得．
列方程，解得．
当主叫时间为分钟，两种计费方式的费用相等．
（3）方式二．
18．设台机组每小时处理污水吨，要在小时内处理污水，需开台机组，则由①、②得．代入③，得．
19．设该农民一共卖了只鸡，则，解得．
20．设，，则，，可得，，，由，得，长方形的面积为．
7．怎样设元
问题解决
例1 设、的边长为，则、、的边长分别为，，，由题意得：，解得．
例2 B设男、女同学分别有、人，则，，则只由男同学完成每人应植树．
例3 设总票数为张，六月份零售票应按每张元定价，由题意得，解得（元）．
例4 （1）设商铺标价为万元，则按方案一购买，则可获投资收益，
投资收益率为．
按方案二购买，则可获投资利益．
投资收益率为．
投资者选择方案二所获得的投资收益率更高．
（2）设甲投资了万元，由题意得，解得，
甲投资了万元，乙投资了万元．
数学冲浪
1．，，，设四个数的和为
2．
3． 提示：设报的人心里想的数是，报的人心里想的数应是．于是，报的人心里想的数是，报的人心里想的数是，报的人心里想的数是，报的人心里想的数是，由，得．
4．C
5．A
6．C
7．（1）设单价为元的课外书为本，由，得（不合题意），所以陈老师肯定搞错了．
（2）设单价为元的课外书为本，笔记本的单价为元，则，即，应被整除，，，，，经讨论或．
8．设蜡烛点燃了小时，蜡烛的长度为厘米，由，得小时．
9．（1）个，个 （2）个
10． 设共有人，由，得．
11．
12． 设“神舟五号”，“飞天”，则，，，故，，为自然数，，得，从而，．
13．B 设切下的每一块合金重克，千克、千克的合金含铜的百分比分别为、，则，整理得．故．
14．C 设初一年级学生人数为，男生人数为，可求得初三年级男生人数为，所求比为：．
15．C
16．
17．（1）当时，方式一：；当时，方式一：；方式二：．
（2）当时，，
当两种计费方式的费用相等时，的值在取得．
列方程，解得．
当主叫时间为分钟，两种计费方式的费用相等．
（3）方式二．
18．设台机组每小时处理污水吨，要在小时内处理污水，需开台机组，则由①、②得．代入③，得．
19．设该农民一共卖了只鸡，则，解得．
20．设，，则，，可得，，，由，得，长方形的面积为．
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