2018届高考理科数学第一轮总复习检测6.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第九节　离散型随机变量的均值与方差 ‎1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为P(ξ＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n ‎(1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．‎ ‎(2)方差：称D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差．‎ ‎2．均值与方差的性质 ‎(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b．‎ ‎(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．‎ ‎3．两点分布与二项分布的均值、方差 均值 方差 变量X服从两点分布 E(X)＝p D(X)＝p(1－p)‎ X～B(n，p)‎ E(X)＝np D(X)＝np(1－p)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关．(　　)‎ ‎(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量．(　　)‎ ‎(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小．(　　)‎ ‎(4)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是0.7.(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×‎ ‎2．已知X的分布列为(　　)‎ X ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ P 设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为(　　)‎ A.　　　　　 　　　B．4‎ C．－1 D．1‎ 解析：E(X)＝－＋＝－，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝.‎ 答案：A ‎3．已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，则a的值为(　　)‎ X ‎4‎ a ‎9‎ P ‎0.5‎ ‎0.1‎ b A.5 B．6‎ C．7 D．8‎ 解析：由分布列性质知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4.‎ ‎∴E(X)＝4×0.5＋a·0.1＋9×0.4＝6.3.∴a＝7.‎ 答案：C ‎4．(2015·广东卷)已知随机变量X服从二项分布B(n，p)．若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝________．‎ 解析：由于XB(n，p)，且E(X)＝30，D(X)＝20，‎ 所以解之得p＝.‎ 答案： ‎5．(2016·河北唐山调研)某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为社区志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________(结果用最简分数表示)．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解析：随机变量ξ只能取0，1，2三个数，因为P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.‎ 故E(ξ)＝1×＋2×＝.‎ 答案： 三条性质 ‎1．E(ax＋b)＝aE(x)＋b，D(ax＋b)＝a2D(x)(a，b为常数)．‎ ‎2．若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．‎ ‎3．若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．‎ 三种方法 ‎1．已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解．‎ ‎2．已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解．‎ ‎3．如果所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，利用它们的均值、方差公式求解．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A级　基础巩固 一、选择题 ‎1．(2016·茂名第二次模拟)若离散型随机变量X的分布列为(　　)‎ X ‎0‎ ‎1‎ P 则X的数学期望E(X)＝(　　)‎ A．2　　　　　　　　B．2或 C. D．1‎ 解析：由分布列的性质，＋＝1，∴a＝1.‎ 故E(X)＝×0＋×1＝.‎ 答案：C ‎2．(2014·陕西卷)设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若y1＝xi＋a(a为非零常数，i＝1，2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为(　　)‎ A．1＋a，4 B．1＋a，4＋a C．1，4 D．1，4＋a 解析：∴E(y)＝E(X)＋a＝1＋a，D(y)＝D(x)＝4.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 答案：A ‎3．已知随机变量X服从二项分布，且E(X)＝2.4，D(X)＝1.44，则二项分布的参数n，p的值为(　　)‎ A．n＝4，p＝0.6 B．n＝6，p＝0.4‎ C．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，p＝0.1‎ 解析：由二项分布X～B(n，p)及E(X)＝np，D(X)＝np·(1－p)得2.4＝np，且1.44＝np(1－p)，‎ ‎ 解之得n＝6，p＝0.4.‎ 答案：B ‎4．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X为取得红球的次数，则X的方差D(X)的值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为，连续摸4次(做4次试验)，X为取得红球(成功)的次数，则X～B，‎ ‎∴D(X)＝4××＝ 答案：B ‎5．口袋中有5只球，编号分别为1，2，3，4，5，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 从中任取3只球，以X表示取出的球的最大号码，则X的数学期望E(X)的值是(　　)‎ A．4 B．4.5‎ C．4.75 D．5‎ 解析：由题意知，X可以取3，4，5，P(X＝3)＝＝，‎ P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝＝，‎ 所以E(X)＝3×＋4×＋5×＝4.5.‎ 答案：B 二、填空题 ‎6．已知X的分布列为 X ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ P a 设Y＝2X＋1，则Y的数学期望E(Y)的值是________．‎ 解析：由分布列的性质，a＝1－－＝，‎ ‎∴E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，‎ 因此E(Y)＝E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝.‎ 答案： ‎7．(2016·青岛模拟)设X为随机变量，X～B，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则P(X＝2)等于________．‎ 解析：由X～B，E(X)＝2，得 np＝n＝2，∴n＝6，‎ 则P(X＝2)＝C＝.‎ 答案：.‎ ‎8．(2014·浙江卷)随机变量ξ的取值为0，1，2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________．‎ 解析：设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，‎ 则解得 所以D(ξ)＝＋×0＋×1＝.‎ 答案： 三、解答题 ‎9．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．‎ ‎(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率；‎ ‎(2)X表示该地的100位车主中，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的数学期望．‎ 解：(1)设“购买甲种保险”为事件A，“购买乙种保险”为事件B，“该地车主至少购买甲、乙两种保险中的一种”为事件C.‎ 由已知条件P(A)＝0.5，P(BA)＝0.3，‎ 又C＝A＋BA，且A与BA互斥，‎ ‎∴P(C)＝P(A)＋P(BA)＝0.5＋0.3＝0.8.‎ 因此该地车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率为0.8.‎ ‎(2)设“该地车主甲、乙两种保险均不购买”为事件D，则D＝C，‎ ‎∴P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，‎ 由于X～B(100，0，2)，‎ 所以X的数学期望E(X)＝100×0.2＝20.‎ ‎10．一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数是2，2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．‎ ‎(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；‎ ‎(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．‎ ‎(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数)‎ 解：(1)设“所取3张卡片上的数字完全相同”为事件A.‎ 则事件A发生时，则3张卡片的数字均是2或均是1.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由古典概型，P(A)＝＝.‎ ‎(2)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，则 P(X＝1)＝＝，P(X＝3)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，‎ 或P(X＝2)＝1－P(X＝1)－P(X＝3)＝1－－＝.‎ 故X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 从而E(X)＝1×＋2×＋3×＝.‎ B级　能力提升 ‎1．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X，已知E(X)＝3，则D(X)＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：由题意，X～B.‎ 又E(X)＝＝3，∴m＝2.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 则X～B，故D(X)＝5××＝.‎ 答案：B ‎2．(2016·青岛调研)某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以a1为首项，公比为2的等比数列，相应资金是以700元为首项，公差为－140元的等差数列，则参与该游戏获得资金的数学期望为________元．‎ 解析：由概率分布性质a1＋‎2a1＋‎4a1＝1，‎ ‎∴a1＝，从而‎2a1＝，‎4a1＝. ‎ 因此获得资金ξ的分布列为 ξ ‎700‎ ‎560‎ ‎420‎ P ‎∴E(ξ)＝700×＋560×＋420×＝500(元)．‎ 答案：500‎ ‎3．(2016·郑州质检)某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，只有“正确”和“错误”两种结果，其中某班级的背诵正确的概率为p＝，背诵错误的概率为q＝，现记“该班级完成n首背诵后总得分为Sn”．‎ ‎(1)求S6＝20且Si≥0(i＝1，2，3)的概率；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(2)记ξ＝|S5|，求ξ的分布列及数学期望．‎ 解：(1)当S6＝20时，即背诵6首后，正确4首，错误2首．若第一首和第二首正确，则其余4首可任意背诵对2首．第一首正确，第二首背诵错误，则第三首背诵正确，其余3首可任意背诵对2首．‎ 故所求的概率P＝·C··＋·×·C·×＝.‎ ‎(2)因为ξ＝|S5|的取值为10，30，50.‎ 所以P(ξ＝10)＝C＋C＝；‎ P(ξ＝30)＝C＋C＝；‎ P(ξ＝50)＝C＋C＝.‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎10‎ ‎30‎ ‎50‎ P 所以E(ξ)＝10×＋30×＋50×＝.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　概率与统计中的高考热点题型 ‎1．概率与统计是高考中相对独立的一个内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量．该类问题以应用题为载体，注重考查学生的应用意识及阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力．‎ ‎2．概率问题的核心是概率计算．其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心，排列组合是进行概率计算的工具，统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征，但近两年全国课标卷突出回归分析的考查．‎ ‎3．离散型随机变量的分布列及其期望的考查是历年高考的重点，难度多为中低档类题目，特别是与统计内容渗透，背景新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．‎ 热点1　统计与统计案例 以实际生活中的事例为背景，通过对相关数据的统计分析、抽象概括，作出估计，判断．常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查，考查学生数据处理能力．‎ ‎　　 ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人．饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食为肉类为主．)‎ ‎(1)根据茎叶图，帮助这位学生说明其亲属30人的饮食习惯；‎ ‎(2)根据以上数据完成下列2×2的列联表：‎ 主食蔬菜 主食肉类 总计 ‎50岁以下 ‎50岁以上 总计 ‎(3)在犯错误的概率不超过1%的前提下，你能否认为其亲属的饮食习惯与年龄有关，并说明理由．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 附：K2＝ P(K2≥k0)‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 解：(1)由茎叶图知，50岁以下的12人中饮食指数低于70的有4人，饮食指数高于70的有8人．‎ ‎50岁以上的18人中，饮食指数低于70的有16人，高于70的只有2人．‎ 在其30位亲属中，50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉为主．‎ ‎(2)列2×2的列联表如下：‎ 主食蔬菜 主食肉类 总计 ‎50岁以下 ‎4‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎50岁以上 ‎16‎ ‎2‎ ‎18‎ 合计 ‎20‎ ‎10‎ ‎30‎ ‎(3)由(2)知，因为K2＝＝10>6.635.‎ 又P(K2≥6.635)＝0.010.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．‎ ‎1．将茎叶图与独立性检验交汇，背景新颖，求解的关键是理解茎叶图提供的数据特征．‎ ‎2．(1)本题求解中常见的错误：①不理解茎叶图反映的数据信息；②对独立性检验思想理解不深刻，作出错误判定．(2)要注意进行独立性检验时，首先提出的假设是两者无关，所以下结论应注意，避免错下结论．‎ ‎　【变式训练】　柴静《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识，对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来，某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析，得出下表数据：‎ x ‎4‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎8‎ y ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎(1)请画出上表数据的散点图；‎ ‎(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋；‎ ‎(3)试根据(2)求出的线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故线性回归方程为＝x＋＝x－2.‎ ‎(3)由回归直线方程可以预测，燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数为7.‎ 热点2　常见概率模型的概率 几 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率是高考的热点，几何概型主要以客观题考查，求解的关键在于找准测度(面积，体积或长度)；相互独立事件，互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列，期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式．‎ ‎　　 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．‎ ‎(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；‎ ‎(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；‎ ‎(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列．‎ 解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.‎ 设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i＝0，1，2，3，4)．则P(Ai)＝C.‎ ‎(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 P(A2)＝C＝.‎ ‎(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3＋A4，且A3与A4互斥，‎ ‎∴P(B)＝P(A3＋A4)＝P(A3)＋P(A4)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎＝C·＋C＝.‎ ‎(3)依题设，ξ的所有可能取值为0，2，4.‎ 且A1与A3互斥，A0与A4互斥．‎ 则P(ξ＝0)＝P(A2)＝，‎ P(ξ＝2)＝P(A1＋A3)＝P(A1)＋P(A3)‎ ‎＝C·＋C×＝，‎ P(ξ＝4)＝P(A0＋A4)＝P(A0)＋P(A4)‎ ‎＝C＋C＝.‎ 所以ξ的分布列是 ξ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ P ‎1．本题4个人中参加甲游戏的人数服从二项分布，由独立重复试验，4人中恰有i人参加甲游戏的概率P＝C，这是本题求解的关键．‎ ‎2．解题中常见的错误是不能分清事件间的关系，选错概率模型，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 特别是在第(3)问中，不能把ξ＝0，2，4的事件转化为相应的互斥事件Ai的概率和．‎ ‎　【变式训练】　(2015·北京卷节选)A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：‎ A组：10，11，12，13，14，15，16；‎ B组：12，13，15，16，17，14，a.‎ 假设所有病人的康复时间相互独立．从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．‎ ‎(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；‎ ‎(2)如果a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率．‎ 解：设事件Ai为“甲是A组的第i个人”，‎ 事件Bi为“乙是B组的第i个人”，i＝1，2，…，7.‎ 由题意可知P(Ai)＝P(Bi)＝，i＝1，2，…，7.‎ ‎(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人”记为事件A，且A＝A5∪A6∪A7.‎ 由互斥事件的概率公式，则 P(A)＝P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＝.‎ ‎(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．‎ 由题意知C＝A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 因此P(C)＝P(A4B1)＋P(A5B1)＋P(A6B1)＋P(A7B1)＋P(A5B2)＋P(A6B2)＋P(A7B2)＋P(A7B3)＋P(A6B6)＋P(A7B6)＝10P(A4B1)＝10P(A4)P(B1)＝.‎ 热点3　离散型随机变量的分布列、均值与方差(满分现场)‎ 离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是数学高考的一大热点，每年均有解答题，属于中档题．复习中应强化应用题目的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概型的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心，在备考中强化解答题的规范性训练．‎ ‎　　 (经典母题)(本小题满分12分)(2016·河北各校联考)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．‎ ‎(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；‎ ‎(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望)．‎ 规范解答：用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”，P(Ak)＝，P(Bk)＝，k＝1，2，3，4，5.‎ ‎(1)P(A)＝P(A‎1A2)＋P(B‎1A2A3)＋P(A1B‎2A3A4)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)‎ ‎＝＋＋ ‎＝. 5分 ‎(2)X的可能取值为2，3，4，5，6分 P(X＝2)＝P(A‎1A2)＋P(B1B2)‎ ‎＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)‎ ‎＝＋＝， 7分 P(X＝3)＝P(B‎1A2A3)＋P(A1B2B3)‎ ‎＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)‎ ‎＝＋＝， 8分 P(X＝4)＝P(A1B‎2A3A4)＋P(B‎1A2B3B4)‎ ‎＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)‎ ‎＝＋＝， 10分 P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝.‎ 故X的分布列为 X ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 P ‎11分 E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝ 12分 ‎【满分规则】　规则1　得步骤分：是得分点的步骤，有则给分，无则没分，步步为“赢”，求得满分 如第(1)问，引进字母表示事件，或用文字斜述正确，得2分；把事件拆分成A＝A‎1A2＋B‎1A2A3＋A1B‎2A3A4，就得2分，计算概率值正确，得1分．第(2)问求出X的四个值的概率，每对一个得1分；列出随机变量X的分布列得1分．‎ 规则2　得关键分：解题过程的关键点，有则给分，无则没分 如第(1)问，写出事件“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”分解为“甲在第1，2局连胜”“甲在第1局输，第2，3局连胜”“甲在第1局胜，第2局输，第3，4局连胜”，正确得2分．第(2)问，求四个概率时，结果错误，即使计算过程有步骤也不得分．‎ 规则3　得计算分：解题过程中计算准确，是得满分的根本保证 如第(1)问、第(2)问中概率值的计算要正确，否则不得分，分布列中计算四个概率的和是否为1，若和不为1，就有概率值出现错误了不得分．‎ ‎【构建模板】　求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤 第一步：确定随机变量的所有可能值．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第二步：求第一个可能值所对应的概率．‎ 第三步：列出离散型随机变量的分布列．‎ 第四步：求均值和方差．‎ 第五步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．‎ ‎1．(1)求解的关键在于理解“甲在4局以内”赢得比赛的含义，进而将事件转化为“三个互斥事件”的概率和．(2)第(2)问中利用对立事件求P(X＝5)的概率，简化了求解过程．‎ ‎2．求解离散型随机变量的分布列与期望，关键要过好“三关”：一是“判断关”，即依题意判断随机变量的所有可能的取值；二是“求概率关”，即利用两个计数原理、排列与组合内容，以及古典概率的概率公式求随机变量取各个值时的概率；三是“应用定义关”，即列出随机变量的分布列，并利用随机变量的数学期望的定义进行计算．‎ ‎【变式训练】　某网站用“10分制”调查一社区人们的治安满意度．现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的治安满意度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(1)若治安满意度不低于9.5分，则称该人的治安满意度为“极安全”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极安全”的概率；‎ ‎(2)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)中任选3人，记X表示抽到“极安全”的人数，求X的分布列、数学期望与方差．‎ 解：(1)设Ai表示所取3人中有i个人是“极安全”，至多有1人是“极安全”记为事件A，则A＝A0＋A1，且i＝0，1，2，3.‎ 所以P(A)＝P(A0)＋P(A1)＝＋＝.‎ ‎(2)由茎叶图可知，16人中任取1人是“极安全”的概率P＝＝，依题意，X～B(3，)，则P(x＝k)＝C()k()3－k，k＝0，1，2，3.‎ 所以P(X＝0)＝()3＝，P(X＝1)＝C··()2＝，‎ P(X＝2)＝C·()2×＝，P(X＝3)＝()3＝.‎ X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ 或E(X)＝np＝.‎ D(X)＝np(1－p)＝3××(1－)＝.‎ 热点4　概率与统计的综合应用 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键，复习时要在这些图表上下功夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的运算．‎ ‎　　 ‎2015年10月18日至27日，第一届全国青年运动会在福州举行，某服务部需从大学生中招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(1)分别求出成绩在第3，4，5组的人数；‎ ‎(2)现决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6人进行面试．‎ ‎①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入面试的概率；‎ ‎②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望．‎ 解：(1)由频率分布直方图知，‎ 第3组的人数为5×0.06×40＝12.‎ 第4组的人数为5×0.04×40＝8.‎ 第5组的人数为5×0.02×40＝4.‎ ‎(2)利用分层抽样，在第3组、第4组、第5组中分别抽取3人，2人，1人．‎ ‎①设“甲或乙进入第二轮面试”为事件A，则 P(A)＝1－＝，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以甲或乙进入第二轮面试的概率为.‎ ‎②X的所有可能取值为0，1，2，‎ P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P E(X)＝0×＋1×＋2×＝＝.‎ 本题将传统的频率分布直方图背景赋予新生的数学期望，立意新颖、构思巧妙．求解离散型随机变量的期望与频率分布直方图交汇题的“两步曲”：一是看图说话，即看懂频率分布直方图中每一个小矩形面积表示这一组的频率；二是活用公式，本题X服从超几何分布，利用其概率公式代入计算．‎ ‎　【变式训练】　(2016·郑州质检)某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X服从正态分布N(80，σ2)(满分为100分)，已知P(X