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第四节 基本不等式
【最新考纲】 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
1．基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0．
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时等号成立．
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．
2．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
3．利用基本不等式求最大、最小值问题
(1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)．
那么当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：“积定和最小”)
(2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)．
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那么当x＝y时，xy有最大值.(简记：“和定积最大”)
4．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤(a，b∈R)．
(4)≥(a，b∈R)．
1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x＋的最小值是2.( )
(2)函数f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4.( )
(3)x>0，y>0是＋≥2的充要条件．( )
(4)若a>0，则a3＋的最小值为2.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2．设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
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A．80 B．77 C．81 D．82
解析：xy≤＝＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立．
答案：C
3．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2
C.＋> D.＋≥2
解析：∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误．对于B，C当a0，b>0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：因为直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，1)，所以＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2 ＝4(当且仅当a＝b＝2时取等号)．
答案：C
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5．一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大．
解析：设矩形的长为x m，宽为y m．则x＋2y＝30，所以S＝xy＝x·(2y)≤＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号．
答案：15
一种方法
基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．
两个变形
基本不等式的变形
1.≥≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)；
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2. ≥≥≥(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．
三点注意
1．使用基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可．
2．在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
3．多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能够保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．
一、选择题
1．已知x>－1，则函数y＝x＋的最小值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
解析：由于x>－1，则x＋1>0，所以y＝x＋＝(x＋1)＋－1≥2 －1＝1，当且仅当x＋1＝，由于x>－1，即当x＝0时，上式取等号．
答案：C
2．(2015·陕西卷)设f(x)＝ln x，00，故>.又f(x)＝ln x(x>0)为增函数，所以f>f()，即q>p.
又r＝(f(a)＋f(b))＝(ln a＋ln b)＝ln ＝p.
答案：B
3．设a>0，b>0.若是3a与32b的等比中项，则＋的最小值为( )
A．8 B．4 C．1 D.
解析：由题意可知3＝3a·32b＝3a＋2b，即a＋2b＝1.
因为a>0，b>0，所以＋＝(a＋2b)＝＋＋4≥2 ＋4＝8，当且仅当＝，即a＝2b＝时取“＝”．
答案：A
4．(2016·郑州外国语学校月考)若a>b>1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg，则( )
A．Rlg＝(lg a＋lg b)＝Q，即R>Q，∴P0)．若m∥n，则ab的最大值为________．
解析：依题意得2a＝1－b，即2a＋b＝1(a>0，b>0)，因此1＝2a＋b≥2，即ab≤，当且仅当2a＝b＝时取等号，因此ab的最大值是.
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答案：
7．已知函数f(x)＝x＋(p为常数，且p>0)，若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p的值为________．
解析：由题意得x－1>0，f(x)＝x－1＋＋1≥2＋1，当且仅当x＝＋1时取等号，所以2＋1＝4，解得p＝.
答案：
8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．
解析：每次都购买x吨，则需要购买次．
∵运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，
∴一年的总运费与总存储费用之和为4×＋4x万元．
∵4×＋4x≥160，当且仅当4x＝时取等号，
∴x＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．
答案：20
9．(2015·山东卷)定义运算“⊗”：x⊗y＝(x，y∈R，xy≠0)．当x>0，y>0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________．
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解析：因为x⊗y＝，所以(2y)⊗x＝.
又x>0，y>0，故x⊗y＋(2y)⊗x＝＋＝≥＝，当且仅当x＝y时，等号成立．
答案：
三、解答题
10．正数x，y满足＋＝1.
(1)求xy的最小值；
(2)求x＋2y的最小值．
解：(1)由1＝＋≥2 得xy≥36，当且仅当＝，即y＝9x＝18时取等号，故xy的最小值为36.
(2)由题意可得，x＋2y＝(x＋2y)＝19＋＋≥19＋2 ＝19＋6，当且仅当＝，即9x2＝2y2时取等号，故x＋2y的最小值为19＋6.
11．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．
解：∵x>0，y>0，2x＋8y－xy＝0，
(1)xy＝2x＋8y≥2，
∴≥8，
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∴xy≥64.故xy的最小值为64.
(2)由2x＋8y＝xy，得：＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)
＝10＋＋≥10＋8＝18.
当且仅当＝时，即x＝12，y＝6时等号成立．
故x＋y的最小值为18.
不等式及其应用
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本章的主要内容是不等式的性质，一元二次不等式及其解法，简单的线性规划问题，基本不等式及其应用．针对不等式具有很强的工具性，应用广泛，解法灵活的特点，应加强不等式基础知识的复习，不等式的基础知识是进行推理和解不等式的理论依据，要弄清不等式性质的条件与结论；一元二次不等式、基本不等式是解决问题的基本工具；加强函数与方程思想在不等式中的应用训练，不等式、函数与方程三者密不可分，相互转化．
强化点1 一元二次不等式的综合应用
(1)已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．
(2)已知函数f(x)＝则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是________．
解析：(1)由于f(x)为R上的奇函数，所以当x＝0时，f(0)＝0；当x0，所以f(－x)＝x2＋4x＝－f(x)，
即f(x)＝－x2－4x，
所以f(x)＝由f(x)>x，可得
或解得x>5或－52时，不等式可化为(x－2)2≥4，解得x≥4；
②当x－20，即>0，
故不等式可化为0，
∴x＋＝(x－1)＋＋1≥4＋1＝5，
当且仅当x－1＝即x＝3时等号成立．
答案：5
8．(2016·石家庄一模)若不等式组表示的区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k的取值范围是________．
解析：如图，作出可行域知，要使可行域为一个锐角三角形及其内部，需要直线y＝kx＋3的斜率在0与1之间，即k∈(0，1)．
答案：(0，1)
9．设0≤α≤π，不等式8x2－(8sin α)x＋cos 2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为________．
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解析：由题意，要使8x2－(8sin α)x＋cos 2α≥0对x∈R恒成立，需Δ＝64sin2α－32cos 2α≤0，
化简得cos 2α≥.
又0≤α≤π，∴0≤2α≤或≤2α≤2π，
解得0≤α≤或≤α≤π.
答案：∪
三、解答题
10．已知不等式>0(a∈R)．
(1)解这个关于x的不等式；
(2)若x＝－a时不等式成立，求a的取值范围．
解：(1)原不等式等价于(ax－1)(x＋1)>0.
①当a＝0时，由－(x＋1)>0，得x0时，不等式化为(x＋1)>0，解得x；
③当a
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