与圆切线性质有关的证明及计算二十四.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 与圆切线性质有关的证明及计算二十四(针对陕西中考第23题)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E.‎ ‎(1)求证：DC＝DE；‎ ‎(2)若tan∠CAB＝，AB＝3，求BD的长．‎ 解：(1)连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，∴∠ACO＋∠DCE＝90°，又∵ED⊥AD，∴∠EDA＝90°，∴∠EAD＋∠E＝90°，∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠EAD，∴∠DCE＝∠E，∴DC＝DE　(2)设BD＝x，则AD＝AB＋BD＝3＋x，OD＝OB＋BD＝1.5＋x，在Rt△EAD中，∵tan∠CAB＝，∴ED＝AD＝(3＋x)，由(1)知，DC＝(3＋x)，在Rt△OCD中，OC2＋CD2＝DO2，则1.52＋[(3＋x)]2＝(1.5＋x)2，解得：x1＝－3(舍去)，x2＝1，故BD＝1‎ ‎2．(导学号　30042281)(2015·铜仁)如图，已知△ABC的边AB是⊙O的切线，切点为点B.AC经过圆心O并与圆相交于点D，C，过点C作直线CE⊥AB，交AB的延长线于点E.‎ ‎(1)求证：CB平分∠ACE；‎ ‎(2)若BE＝3，CE＝4，求⊙O的半径．‎ 解：(1)如图，连接OB，∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB，∵CE⊥AB，∴OB∥CE，∴∠1＝∠3，∵OB＝OC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴CB平分∠ACE　(2)连接BD，∵CE⊥AB，∴∠E＝90°，∴BC＝＝＝5，∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC＝90°，∴∠E＝∠DBC，∴△DBC∽△BEC，∴＝，∴CD＝＝，∴OC＝CD＝，∴⊙O的半径为 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎3．(导学号　30042282)(2016·凉山州)如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，点A是的中点，AE⊥AC于点A，与⊙O及CB的延长线交于点F，E，且＝.‎ ‎(1)求证：△ADC∽△EBA；‎ ‎(2)如果AB＝8，CD＝5，求tan∠CAD的值．‎ 解：(1)∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE.∵＝，∴∠DCA＝∠BAE.∴△ADC∽△EBA　(2)∵点A是的中点，∴＝，∴AB＝AC＝8，∵△ADC∽△EBA，∴∠CAD＝∠AEC，＝，即＝，∴AE＝，∴tan∠CAD＝tan∠AEC＝＝＝ ‎ ‎ ‎4．(导学号　30042283)(2016·达州)如图，已知AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接AC，BC，过点O作OD⊥AC于点D，过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E，连接BD并延长交AE于点F.‎ ‎(1)求证：AE·BC＝AD·AB；‎ ‎(2)若半圆O的直径为10，sin∠BAC＝，求AF的长．‎ 解：(1)∵AB为半圆O的直径，∴∠C＝90°，∵OD⊥AC，∴∠CAB＋∠AOE＝90°，∠ADE＝∠C＝90°，∵AE是切线，∴OA⊥AE，∴∠E＋∠AOE＝90°，∴∠E＝∠CAB，∴△EAD∽△ABC，∴AE∶AB＝AD∶BC，∴AE·BC＝AD·AB　(2)作DM⊥AB于点M，∵半圆O的直径为10，sin∠BAC＝，∴BC＝AB·sin∠BAC＝6，∴AC＝＝8，∵OE⊥AC，∴AD＝AC＝4，OD＝BC＝3，∴sin∠OAD＝＝，∵sin∠OAD＝sin∠MAD＝，∴DM＝，AM＝＝＝，BM＝AB－AM＝，∵DM 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∥AE，∴＝，∴AF＝ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费