高考数学好题速递400题（第301—350题）含答案解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 好题速递301‎ 已知正数满足，则的最大值为 ．‎ 解：‎ 解法一：令，得 则 当且仅当，即时取得等号。‎ 解法二：‎ 令，则 令，则 原式 当且仅当，即时取得等号 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 好题速递302‎ x O y ‎1‎ ‎1f1(x)‎ f1(x)‎ 图1：n=1时 设函数，则方程有 个实数根．‎ 解：令，问题化为观察与图像的交点有几个．由于是偶函数，故是偶函数，只要考虑 时的交点个数．‎ n=1时，的图像是把的图像下移，‎ x O y ‎1‎ ‎1f1(x)‎ f2(x)‎ 图2：n=2时 再把x轴下的图像往上翻而得，，有1个零点，‎ 以零点为界，呈“减增”状态，最后趋于，‎ 如图1，有2个交点；‎ n=2时，的图像是把的图像下移，‎ 再把x轴下的图像往上翻而得，，有2个零点，‎ 以2个零点为界，呈“减增减增”状态，最后趋于，‎ 如图2，有个交点；……‎ n= n≥2时，，且有个零点 以个零点为界，呈“减增减增…减增”状态，最后趋于，故的每1个零点都对应产生2个两函数图像的交点，∴有个交点，再由对称性知x 0）的等差数列，后三项依次成公比为q的等比数列. 若，则q的所有可能的值构成的集合为 . ‎ 解：设，，，，其中，均为正偶数，‎ 则，‎ 整理得，(注意体会这里用“”而不用“”的好处)‎ 所以，即，‎ 所以的所有可能值为24，26，28，‎ 当时，，；‎ 当时，（舍去）；‎ 当时，，，‎ 所以q的所有可能值构成的集合为.‎ 好题速递322‎ 曲线C：与轴的交点关于原点的对称点称为“望点”，以“望点”为圆心，凡是与曲线C有公共点的圆，皆称之为“望圆”，则“望圆”面积的最小值为 ．‎ 解：，令，得，所以望点为，‎ 设望圆的方程为，‎ 由得 当，即时，，所以圆的面积为．‎ 好题速递323‎ 已知数列满足，且，它的前项和为．则 ．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解：，解得 两式相减得 ‎，故，故数列为周期为3的数列 好题速递324‎ 定义在上的函数，当时，，且对任意的满足（常数），则函数在区间上的最小值是（ ）‎ ‎ ‎ 解：ÞÞ，‎ Þ，，‎ 当时有最小值为 好题速递325‎ 已知，向量满足，，，则的最大值为 。‎ 解法一：设，则由已知条件易知和共以为直径的外接圆。‎ 由是同一个点出发的两个向量作点积，且终点连线确定，显然用极化恒等式是一个不错的选择。‎ 故 问题转化为求的最大值，如图 所以 解法二：如解法一画图，设，则 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 在中由余弦定理得 所以，所以 解法三：如图建系，，，‎ 则，，‎ 得 则 而横坐标，所以 好题速递326‎ 在△ABC中，已知BC = 4，AC = 3，(A - B) = ，则△ABC的面积为 ． ‎ 解：在角A中作出A - B，即在BC上取一点D，‎ 使DB = DA，设DB = x，则DC = 4 - x．‎ 在△ACD中，ÐCAD = (A - B) = ，‎ ‎∴，得x = 2．则DA = DC = DB，ÐBAC = 90°，．‎ ‎△ABC的面积为．‎ 好题速递327‎ 若的外接圆是半径为1的圆，且，则的取值范围是 。‎ 解法一：‎ 是同一个点出发的两个向量作点积，且终点连线确定，显然用极化恒等式是一个不错的选择。‎ ‎（其中为中点）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 点在圆上运动，故，即 故 又不与重合，所以，所以 解法二：如图建系设点。，，‎ 因为，所以 解法三：基底角度，一问三不知转基底 由于不与重合，所以 好题速递328‎ 如图，点是以为圆心，1为半径的圆上任意三点，则的最小值是 。‎ 解法一：固定点，极化角度 设，则 解法二：固定点，投影角度 设，则 所以 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故 好题速递329‎ 已知函数，若，，则的取值范围是 。‎ 解：关于对称，由得，即 因为，所以，解得（这里是求定义域，函数没有定义域就没有意义，千万记得定义域优先）‎ 好题速递330‎ 已知，若且，则的取值范围是_______。‎ 解：，即 解法一：不等式角度解题 由基本不等式得，解得 这个解法对不对呢？看似正确，其实这里的最大值6取不到，因为解法中并没有用到的限制条件 这里介绍一种方法，可以来处理有限制条件的问题（类似于极化恒等式的变形）‎ 因为 即，得 因为，故，故 即 解得 ‎【点评】这里要注意以前我们所学的“两个字母一个方程”的问题或者“基本不等式”的问题，在没有其余限制条件时不等式和法都适用，但多了限制条件就不确定是在区域边界还是内部取得最值，故需要验证或者另寻他法了。‎ 解法二：规划角度解题 ‎，即表示圆 所以点所满足的条件为 画出可行域即个圆弧，目标函数为 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故当时，；当时，‎ 但最大最小值都无限接近，取不到，所以 解法三：图像角度解题 很多同学是画出图像，‎ 观察发现因为部分的图像比部分的图像变化快，故当的直线向上平移时，虽然向左变小，向右变大，但显然变得多，故变大，即的中点向右上方运动 因此当，即时，‎ 当，即时，‎ 但最大最小值都无限接近，取不到，所以 好题速递331‎ 设，是夹角为的两个单位向量，若，是以为直角顶点的直角三角形，则 。‎ 解法一：，，‎ 因为，‎ 即 O M N P Q 解法二：反向延长到，使 因为，故由中线等于斜边的一半可得是直角三角形，‎ 即，因为，所以三点共线，故 好题速递332‎ 已知，则的最大值是_______。‎ 解法一：令，，则，目标函数为 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 画出点所在的可行域如图为抛物线一部分上的点，‎ 如图，目标函数与相切时 当且仅当，即时取得 解法二：令，，则，‎ 所以 解法三：三角换元，，则，‎ 令，‎ 故 解法四：令， ，则 则，‎ 点评：本方法用的是不等式中的“极化恒等式”思想，即，这在12月18日每日一题的第一种解法中也有体现。‎ 好题速递333‎ 已知函数是定义在正实数集上的单调函数，且满足对任意x＞0，都有，则= ．‎ 解：必为常数函数，否则存在两个不同数，其对应值均为，与单调函数矛盾．所以可设．则．‎ 将c代入，得，即．‎ ‎∵是单调增函数，当时，成立，‎ ‎∴．则．‎ 好题速递334‎ 设直角的三个顶点都在单位圆上，点，则的最大值是 ．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解：设是以为直角顶点的直角三角形，则 所以 所以 ‎（这里可以理解为三角形两边之和大于第三边，也可以理解为圆外一点（）到圆上一点距离，同时连最小值也可以求出）‎ 当且仅当三点共线且点在第三象限时，‎ 好题速递335‎ ‎★函数，，当时，，且的最大值为2，则 ．‎ 解：因为的最大值为2，所以 由 由 所以 故题目变为对恒成立。‎ 此时注意到，是一个零点 由于对，，故是个偶重零点，故也是的根，‎ 所以，‎ 点评：这又是一个二次函数的好题，解法中用到的零点奇穿偶回法很值得回味。‎ ‎“零点是个守门员，负责正负分界线，奇次零点穿过去，偶次零点弹回来”‎ 好题速递336‎ 已知对任意恒成立，则 ．‎ 解：用两边夹逼的方法，令，解得 故，即 所以对任意恒成立，所以 故 点评：这又是夹逼形式的好题，解法中让不等号两边同时取到，求出临界点的方法要注意。‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 好题速递337‎ 已知非零向量与向量 的夹角为钝角，，当时，取最小值，则 ．‎ O a ‎-2a b b-2a 解法一：由当时，取最小值，可知本题是“神图”的应用，如图所示，设，则 即 故 解法二：‎ 当且仅当时，‎ 所以且，得 故 好题速递338‎ 已知椭圆和双曲线有相同的焦点，且椭圆与双曲线在第一象限的交点为，若，则双曲线的离心率的取值范围是 ．‎ 解：‎ 故 好题速递339‎ 已知函数，，若存在实数使得，且，则实数的取值范围是 ．‎ 解：因为是增函数，且，故，所以原条件等价于 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 在区间上有解，即在上有解 因为的值域为，所以实数的取值范围是 好题速递340‎ 在中，，，若椭圆以为长轴，且过点，则椭圆的离心率是 ．‎ 解：如图，作于，则，‎ 设，则，‎ 所以，所以 设椭圆的方程为，将与代入可得，‎ 故 好题速递341‎ 实数满足，则的最大值为 ．‎ 解：因为，‎ 所以相加得 即 当且仅当同时满足，即或时上式取等号。‎ 点评：本题是三元均值不等式的问题，难点在于每个均值不等式的系数配凑。这里其实是用待定系数法来确定系数。‎ ‎，故 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 因此，解得 好题速递342‎ 已知数列的前项和为，若存在正整数，使得成立，则实数的取值范围是 ．‎ 解：，‎ 因为，‎ 故，（即奇数项为负，偶数项为正）‎ 又因为，‎ 所以这个数列是震荡数列，奇数项恒负且递增，偶数项恒正且递减 所以条件转化为存在正整数，使得 只要，即 好题速递343‎ 已知为实数，且，则的最小值为 ． ‎ 解法一：令，则，且 所以 解法二：齐次化转函数求值域 令，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 好题速递344题 已知是单位圆的内接三角形，是圆的直径，若满足，则 ．‎ 解：如图，因为是圆的直径，所以 同理（其实就是投影，点积转投影记得吗？）‎ 所以 所以，则是直径，所以 好题速递345题 已知正四面体的棱长为，是棱上任意一点（不与重合），且点到面和面的距离分别为，则的最小值为 ．‎ 解：棱长为的正四面体，体高 所以如图作面，则在中，‎ 得 同理 所以 所以 所以 好题速递346题 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 设非零向量满足且，则的取值范围是 ． ‎ 解：由得，且 又，即的终点在以的终点为圆心，1为半径的圆上 就是在上的投影，显然 好题速递347题 已知，若，则的取值范围是 ．‎ 解：‎ 的取值范围问题等价于曲线上的点与点连线的斜率的范围问题．‎ 此时点在上，由图可知：‎ 好题速递348题 若点为的重心，且，则的最大值为 ． ‎ 解：如图，点在以为直径的圆上运动，且由于点为的重心，所以 故点在以为圆心，以长为半径的圆上运动，‎ 问题转化为圆上一点与线段形成的张角问题。‎ 如图，画一个最小圆，即时，其余的都在圆外，根据圆外角小于圆上角，可知当时，最大，即最大 此时由得 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 或二倍角公式 好题速递349题 在中，过中线中点作一直线分别交边，于两点，设，，则的最小值为 ． ‎ 解：因为是中点，所以 又因为为中点，‎ 所以 因为三点共线，所以 所以 当且仅当时等号成立。‎ 好题速递350题 定义函数图象上的点到坐标原点距离的最小值叫作函数的“中心距离”，给出以下四个命题：‎ ‎① 函数的“中心距离”等于；‎ ‎②函数的“中心距离”等于1；‎ ‎③ 若函数与的“中心距离相等”，则函数至少有一个零点；‎ ‎④是其定义域上的奇函数，是它的“中心距离”为0的充分不必要条件。‎ 以上命题是真命题的是 ． ‎ 解：对①，，①正确 对②，，即以为圆心，3为半径的上半圆，中心距离为1，②正确 对③，有反例如，故③错；‎ 对④，有反例，奇函数的定义域可能不包含，如，故④错。‎ 设函数，若在区间 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 内的图象上存在两点，在这两点处的切线相互垂直，求实数的取值范围。‎ 解：，‎ 若存在使得，则必有 由得 由得 由得，所以，得 综上可得 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费