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第十五章 选讲内容
第一节 坐标系和与数方程（选修4-4）
题型153 参数方程化普通方程
2013年
1. (2013陕西文15C） （坐标系与参数方程选做题）圆锥曲线（为参数）的焦点坐标是 .
2. (2013湖南文11） 在平面直角坐标系中，若直线（为参数）和直线 （为参数）平行，则常数的值为________.
2014年
1. （2014江苏21）C．[选修4-4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数），直线与抛物线相交于，两点，求线段的长．
2015年
1.（2015广东文14）在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），则与交点的直角坐标为 ．
1.解析 曲线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为.
由，得，所以与交点的直角坐标为.
评注 1. 考查极坐标方程化为直角坐标方程；2. 考查参数方程化为普通方程；3. 考查两曲线的交点．
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2.（2015陕西文 23）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.
（1）写出圆的直角坐标方程；
（2）为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标.
2.解析 (1)由，得，
从而有，所以.
(2)设，又，
则，
故当时，取得最小值，此时点的坐标为.
2016年
1.（2016江苏21 C）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数），椭圆的参数方程为（为参数），设直线与椭圆相交于两点，求线段的长.
1.解法一（求点）：直线方程化为普通方程为，
椭圆方程化为普通方程为，
联立，解得或，
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因此.
解法二（弦长）：直线方程化为普通方程为，
椭圆方程化为普通方程为，不妨设，，
联立得，消得，恒成立，
故，所以.
解法三（几何意义）：椭圆方程化为普通方程为，
直线恒过点，该点在椭圆上，将直线的参数方程代入椭圆的普
通方程，得，整理得，故，，
因此.
2017年
1.（2017全国1文22）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），
直线的参数方程为.
（1）若，求与的交点坐标；
（2）若上的点到的距离的最大值为，求.
1.解析 （1）若，直线的直角坐标方程为，即.
曲线的直角坐标方程为.
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联立，解得或.
（2）直线，上的点到直线的距离（其中）.
①若，则，解得；
②若，则，解得.
所以的值为或.
2.（2017全国3文22）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为．设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线．
（1）写出的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，
设，为与的交点，求的极径．
2. 解析 （1）直线的直角坐标方程为；直线的直角坐标方程为，
联立，两式相乘可得，，即.
（2）曲线的极坐标方程为，
联立，解得，
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，.
评注 本题属于创新题，要求学生综合掌握直线与圆、极坐标与参数方程板块的多个知识点，并能融汇贯通综合运用，对于学生来说有较大难度.其实，在做选做题时，若果22题偏难，且第一问都存在问题的话，不妨看看23题，如果题目不难，可以选择23题进行解答！
题型154 普通方程化参数方程
2014年
1.（2014辽宁文23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得曲线.
（1）写出的参数方程；
（2）设直线与C的交点为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.
2.（2014新课标Ⅰ文23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线：，直线：（为参数）.
（1）写出曲线的参数方程、直线的普通方程；
（2）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.
题型155 极坐标方程化直角坐标方程
2014年
1. （2014广东文14）（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线和的方程分别为与，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线和交点的直角坐标为 .
2.（2014陕西文15） （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点到直线的距离是 .
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2015年
1.（2015湖南文 12）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线的极坐标方程为，则曲线的直角坐标方程为_____.
1. 解析 曲线的极坐标方程为，，
它的直角坐标方程为，即.
2.（2015江苏21（C））已知圆的极坐标方程为，求圆的半径．
2. 解析 由题意得，
所以，即，
从而，即，故圆的半径为．
3.（2015全国Ⅱ文 23）在直线坐标系中，曲线：（为参数，）
其中.在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：，：.
(1)求与交点的直角坐标；
(2)若与相交于点，与相交于点，求的最大值.
3. 解析 （1）曲线的直角坐标方程为，
曲线的直角坐标方程为．
联立，解得或．
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所以与交点的直角坐标为和．
（2）曲线的极坐标方程为，其中．
因此得到极坐标为，的极坐标为．
所以，
当时，取得最大值，最大值为．
2016年
1.（2016全国丙文23）在直线坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
.
（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（2）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.
1.分析 （1）利用同角三角函数基本关系中的平方关系曲线的参数方程普通方程，利用公式与代入曲线的极坐标方程即可；（2）利用参数方程表示出点的坐标，然后利用点到直线的距离公式建立的三角函数表达式，然后求出最值与相应的点坐标即可.
解析 （1）的普通方程为， 的直角坐标方程为.
（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值，
即为到的距离的最小值，.
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当且仅当时， 取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为
.
2017年
1.（2017全国2卷文22）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．
1.解析 (1)设点P的极坐标为 ，因为，所以点的极坐标为.
把点的坐标代入中得:，即.
两边同时乘以，得，化为直角坐标方程为
（2）解法一：的极坐标方程为 ，所以点的极坐标可设为，.
又点的极坐标为，所以点的直角坐标为，所以.
因为，所以，所以当即时，
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的面积取最大值为.
解法二：是中边上的高，过点作的垂线交圆于点，交于点，
点的极坐标为，则点的直角坐标为，
，为等边三角形，所以，
，（此时B位于位置）.所以的面积取最大值为.
题型156 直角坐标方程化极坐标方程
2014年
1.（2014辽宁文23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得曲线.
（1）写出的参数方程；
（2）设直线与C的交点为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.
2015年
1.（2015全国Ⅰ文23）在直角坐标系 中，直线：，圆：
，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求的极坐标方程.
(2)若直线的极坐标方程为，设与的交点为，求的面积.
1.解析 （1）由：，可得极坐标方程为，
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由：，得极坐标方程为．
（2）由题意可得：.由：，得圆心.
则.
由半径、弦心距及半弦长的关系，可得，
所以．
2016年
1.（2016全国甲文23）在直角坐标系中，圆的方程为.
（1）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；
（2）直线的参数方程是（为参数），与交于两点，，求的斜率.
1.解析（1）整理圆的方程得，
由可知圆的极坐标方程为.
（2）解法一：将直线的参数方程代入圆:化简得，，设两点处的参数分别为，则，
所以，解得，
的斜率.
解法二：设，其中，如图所示，圆心到到的距离
，故.
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题型157 参数方程与极坐标方程的互化
2013年
1．(2013广东文14）已知曲线的极坐标方程，以极点为原点，极轴为轴的正半轴
建立直角坐标系，则曲线的参数方程为 ．
2014年
1.（2014新课标Ⅱ文23）（本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为，.
（1）求的参数方程；
（2）设点在上，在处的切线与直线垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定的坐标.
2016年
1.（2016全国乙文23）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）.
在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
（1）说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程；
（2）直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在上，求.
1. 解析 （1）将化为直角坐标方程为，从而可知其表示圆.
令，，代入得极坐标方程.
（2）将化为直角坐标方程为，.
两式相减可得它们的公共弦所在直线为.
又公共点都在上，故的方程即为公共弦.
又为，，即为，从而可知.
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第二节 不等式选讲（选修4-5）
题型158 含绝对值的不等式
2014年
1.（2014辽宁文24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数，，记的解集为，的解集为.
（1）求；
（2）当时，求证：.
2.（2014新课标Ⅱ文24）（本小题满分10）选修4-5：不等式选讲
设函数.
（1）求证：；
（2）若，求的取值范围.
2015年
1.（2015陕西文 24）已知关于的不等式的解集为.
（1）求实数，的值；
（2）求的最大值.
1.解析 (1)由，得，由题意得，
解得，；
(2)由柯西不等式得：，
当且仅当，即时等号成立，故.
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2.（2015全国Ⅰ文24）已知函数，.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围.
2.解析 （1）当时，，即．
当时，，无解；
当时，，解得；
当时，，解得．
综上所述，当时，的解集为．
（2），，作图，
图像与轴所围成三角形的三个顶点为：
，，，
，即，解得，
所以的取值范围是．
3.(2015江苏21（D）) 解不等式．
3.解析 当时，化简得，解得，故；
当时，化简得，解得，故．
故不等式的解集为．
2016年
1.（2016上海文1）设，则不等式的解集为 .
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1. 解析 由题意，即，则解集为.
2.（2016全国甲文24（1））已知函数，为不等式的解集，
求.
2. 解析 当时，，所以；
当时，恒成立；
当时，，所以.
综上可得，.
3.（2016全国乙文24）已知函数.
（1）在如图所示的图形中画出的图像；
（2）求不等式的解集.
3. 解析 （1）由题意得.其图像如图所示.
（2）当时，，解得或，故；
当时，，解得或，故或；
当时，，解得或，故或.
综上所述，该不等式的解集为.
评注 或者可以由图形观察大致结果，但不能替代解题过程.
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4.（2016全国丙文24）已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）设函数.当时，，求的取值范围.
4. 解析 （1）当时，.解不等式，得.
因此， 的解集为.
（2）当时，，
所以当时，等价于. ①
当时，①等价于，无解；
当时，①等价于，解得.
所以的取值范围是.
2017年
1.（2017全国1文23）已知函数，.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集包含，求的取值范围.
1.解析 （1）当时，，当时，.
当时，由，得，解得；
当时，由，得，解得；
当时，由，得，解得.
综上，当时，的解集为.
（2）因为的解集包含，即在上，恒成立.
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而，所以在上恒成立.
所以，即，解得.
所以的取值范围是.
2.（2017全国3卷文23）已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式的解集非空，求的取值范围．
2.解析 （1）原函数可等价为分段函数，
画出函数图像如图所示.令，解得，故解集为.
（2）原不等式可等价为，解集非空即.
由(1)可知，分别讨论其最大值可得的取值范围为.
评注 本题考查解含有绝对值的不等式、用分离参数法解含参不等式恒成立类问题及一元二次不等式值域的求法，考点比较多，综合性比较强，学生在第二问上可能觉得比较麻烦，缺乏继续完成的勇气，另外本题对运算能力要求比较高，稍不留神就容易算错.
题型159 不等式的证明
2014年
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1.（2014江苏21）D．[选修4-5：不等式选讲]
已知，，求证：．
2.（2014新课标Ⅰ文24）（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲
若，，且.
（1）求的最小值；
（2）是否存在，使得？并说明理由.
2015年
1.（2015全国Ⅱ文 24）设，，，均为正数，且.证明：
(1)若，则；
(2)是的充要条件.
1. 解析（1）因为，，
由题设，，得，因此.
（2）( i)若，则，即.
因为，所以，由（Ⅰ）得.
( ii)若，则，
即.因为，所以，
于是，因此.
综上，是的充要条件.
命题意图 不等式的证明要紧抓不等式的性质，结合其正负性来证明.充要条件的证明体现了数学推理的严谨性，要分充分性和必要性两个方面来证明.
2016年
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1.（2016江苏21 D）设，，，求证：.
1.解析 由可得，故.
2.（2016全国甲文24）已知函数，为不等式的解集.
（1）求；
（2）证明：当时，.
2.解析 （1）当时，，所以；
当时，恒成立；
当时，，所以.
综上可得，.
（2）当时，有，即，
则，则，即.
3.（2016浙江文20）设函数，.
证明：（1）；
（2）.
3. 解析 (1)因为，由于，有，
即，
所以.
（2）由，得，故，
所以.
由（1）得.又因为，所以.
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综上，.
2017年
1.（2017全国2卷文23）已知，，，证明：
（1）；
（2）．
1.解析 （1）
，
当且仅当，即时取等号．
（2）因为，
所以，所以．
题型160 柯西不等式
2017年
1.（2017江苏卷21）已知为实数，且，，证明：．
1.解析 由柯西不等式可得，
因为，，所以，因此．
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