第五章 平面向量
第1节 平面向量的概念、基本定理及坐标运算
题型62 向量的概念及共线向量
1. （2013辽宁文3）已知点，则与向量同方向的单位向量为（ ）.
A. B. C. D.
1.解析 则与其同方向的单位向量.故选A.
题型63 平面向量的线性运算
1.（2013江苏10）设分别是的边上的点，，，
若（为实数），则的值为 .
1.分析 利用平面向量的加、减法的运算法则将用，表示出来，对照已知条件，求出，的值即可.
解析 由题意，
于是.故.
2. （2013四川文12）如图，在平行四边形中，对角线与交于点，，则 .
2.分析 根据向量加法的平行四边形法则及向量数乘的几何意义求解.
解析 由向量加法的平行四边法则，得.又是的中点，所以
，所以，所以.又，所以.
3.（2014福建文10）设为平行四边形对角线的交点，为平行四边形所在平面内任意一点，则等于（ ）.
A. B. C. D.
4.（2014新课标Ⅰ文6）设分别为的三边的中点，则（ ）.
A. B. C. D.
5.（2014浙江文9）设为两个非零向量的夹角，已知对任意实数，的最小值为（ ）.
A．若确定，则唯一确定 B．若确定，则唯一确定
C．若确定，则唯一确定 D．若确定，则唯一确定
6.（2017全国2文4）设非零向量，满足，则（ ）.
A B. C. D.
6.解析 由平方得，即，则.故选A.
7.（2017天津文14）在中，，，.若，，且，则的值为 .
7.解析 解法一：如图所示，以向量，为平面向量的基底，则依题意可得.
又因为，则.
又因为，则
，即得.
解法二：以点为坐标原点，以所在直线为轴建立直角坐标系(如图所示).依题意易得，，，则可得，，于是有，
解得.
题型64 向量共线的应用
1.（2015北京文6）设，是非零向量，“”是“”的（ ）.
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
1.解析 由，若，则，即，
因此.反之，若，并不一定推出，而是，原因在于：
若，则或.所以“”是“”的充分而不必要条件.故选A.
题型65 平面向量基本定理及应用
1．（2013广东文10）设是已知的平面向量且．关于向量的分解，有如下四个命题：
①给定向量，总存在向量，使；
②给定向量和，总存在实数和，使；
③给定向量和正数，总存在单位向量，使.
④给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使.
上述命题中的向量、和，在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数
A． 1 B． 2 C． 3 D．4
1.分析 利用向量的平行四边形法则或三角形法则、平面向量基本定理进行判断.
解析 对于①，若向量确定，因为是确定的，故总存在向量，满足，
即，故正确；
对于②，因为和不共线，由平面向量基本定理知，总存在唯一的一对实数，满足，故正确；
对于③，如果，则以为三边长可以构成一个三角形，如果和正数确定，则一定存在单位向量和实数满足，故正确；
对于④，如果给定的正数和不能满足“为三边长可以构成一个三角形”这时单位向量和就不存在，故错误.故选C.
2.（2016四川文9） 已知正的边长为，平面内的动点，满足，，则的最大值是（ ）.
A. B. C. D.
2. B解析 正三角形的对称中心为，易得，.
以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示.
则.
设，由已知，得.
又，所以，所以.
因此.
它表示圆上的点与点距离平方的，
所以.故选.
题型66 向量的坐标运算
1.（2014广东文3）已知向量，则（ ）.
A. B. C. D.
2.（2014北京文3）已知向量，，则（ ）.
A. B. C. D.
2. 解析 由知，所以.故选A.
3.（2014湖南文10）在平面直角坐标系中，为原点，，，，动点满足,则的取值范围是（ ）.
A. B.
C. D.
4.（2014陕西文18）（本小题满分12分）在直角坐标系中，已知点，点在三边围成的区域（含边界）上，且.
（1）若，求；
（2）用表示，并求的最大值.
5.（2015全国1文2） 已知点，向量，则向量（ ）.
A. B. C. D.
5.解析 由题意可得，
.故选A.
6.（2015年湖南文9） 已知点，，在圆上运动，且.若点的坐标为
，则的最大值为（ ）.
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
6.解析 解法一: 由题意，为直径，所以，
当点为时，取得最大值.故选B.
解法二 :由题意得，为圆的直径，故可设，
所以，而，
当且仅当“”时“”，取所以的最大值为.故选B.
7.（2015年江苏6）已知向量，，若，则的值为 ．
7.解析 由题意，
从而，解得，故．
评注 也可以将用与线性表示，
如．
题型67 向量平行（共线）的坐标表示
1. (2013陕西文2）已知向量，若，则实数等于（ ）.
A. B. C. 或 D.
1.解析 由.故选C.
2.（2015四川文2）设向量与向量共线，则实数（ ）.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
2.解析 由向量平行的性质，得，解得.故选B.
3.（2016全国甲文13）已知向量，向量，且，则_________.
3. 解析 因为，所以，解得.
4.（2017山东文11）已知向量，，若，则 .
4.解析 由，得，解得.
第2节 平面向量的数量积
题型68 平面向量的数量积
1. （2013湖北文7）已知点，，，，则向量在
方向上的投影为（ ）.
A． B． C． D．
1.分析 首先求出的坐标，然后根据投影的定义进行计算.
解析 由已知得，因此在方向上的投影为.故选A.
2．(2013福建文10）在四边形则该四边形的面积为（ ）.
A． B． C． D．
2.分析 先利用向量的数量积证明四边形的对角线垂直，再求面积.
解析 因为，所以，
所以.故选C.
3. (2013湖南文8）已知是单位向量，.若向量满足 则的最大值为（ ）.
A. B. C. D.
3.分析 将所给向量式两边平方后利用向量数量积的运算律求解.
解析 因为是单位向量，所以.又，所以，所以.
所以.
所以.所以.
所以.
所以.所以.
所以.所以的最大值为.故选C.
4. (2013天津文12）在平行四边形中，，
，为的中点.若， 则的长
为 .
4.分析 用表示与，然后进行向量的数量积计算.
解析 由已知得
所以
所以
5.（2013浙江文17） 设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于________.
5.分析 为了便于计算可先求的范围，再求的最值.
解析 根据题意，得
.
因为，所以，所以.故的最大值为.
6. (2013安徽文13）若非零向量满足，则与夹角的余弦值为 .
6.解析 由两边平方，得所以.
又所以.
7. （2013山东文15）在平面直角坐标系中，已知，．若
，则实数的值为 ．
7.分析 利用向量垂直的充要条件，列方程求解.
解析 因为，所以，所以.又
，所以.所以.
8. (2013重庆文14） 在为边，为对角线的矩形中，，
则实数 .
8.分析 画出矩形草图，利用向量加减运算及数量积运算直接求解.
解析 如图所示，由于，所以.
在矩形中，由得，所以，即，解得.
9.（2014大纲文6）已知为单位向量，其夹角为，则（ ）.
A． B．0 C．1 D．2
10.（2014新课标Ⅱ文4）设向量满足，，则（ ）.
A. B. C. D.
11. （2014山东文7）已知向量. 若向量的夹角为，则实数（ ）.
A. B. C. D.
12. （2014安徽文10）设为非零向量，，两组向量和均由2个和2个排列而成，若所有可能取值中的最小值为，则与的夹角为（ ）.
A. B. C. D.
13. 分析 本题考查向量的数量积的最值.
解析 由如下三种可能：
① ；
② ；
③ .
易知，当时，，，
此时，
因此最小值为.
当时，
得，此时，不满足题意，故舍去.
综上所述，若最小值为，则与的夹角.故选B.
14.（2014四川文10）已知为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ）.
A. B. C. D.
15.（2014重庆文12）已知向量_________.
16.（2014江西文12）已知单位向量的夹角为，且，若向量，则 .
17.（2014陕西文13）设，向量，
若，则_______.
18.（2014四川文14）向量，，，且与的夹角等于与的夹角，则____________.
19．（2014湖北文12）若向量，，， 则 .
20.（2014江苏12）如图所示，在平行四边形中，已知，，，，则的值是 ．
21. （2014天津文13）已知菱形的边长为，，点，分别在边，上，，.若，则的值为________.
22.（2015全国2文4）向量,，则（ ）.
A. B. C. D.
22.解析 由向量的坐标表示方法知，，.故有.故选C.
23.（2015福建文7）设向量，，．若，则实数的值等于（ ）.
A． B． C． D． [来源:Z.xx.
23.解析 由已知可得，因为，则，即，解得.故选A.
24.（2015广东文9） 在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，
，，则（ ）.
A． B． C． D．
24.解析 因为四边形是平行四边形，由平行四边形法则可得，所以.故选A.
评注 本题考查1.平面向量的加法运算；2.平面向量数量积的坐标运算．
25.（2015重庆文7）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为
（ ）.
A. B. C. D.
25.解析 因为，所以，即，
所以，所以与的夹角为．故选C．
26.（2015陕西文8）对任意的平面向量，，下列关系式中不恒成立的是（ ）.
A. B.
C. D.
26.解析 因为，所以A选项正确；
当与方向相反时，B选项不成立，所以B选项错误；
向量平方等于向量模的平方，所以C选项正确；
，所以D选项正确.故选B.
27.（2015年湖南文9） 已知点，，在圆上运动，且.
若点的坐标为，则的最大值为（ ）.
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
27.解析 解法一: 由题意，为直径，所以
，当点为时，取得最大值.故选B.
解法二 :由题意得，为圆的直径，
故可设，
所以，
而，
当且仅当“”时取“”，所以的最大值为.故选B.
28.（2015安徽文15）是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，
，则下列结论中正确的是 （写出所有正确结论的序号）.
①为单位向量；②为单位向量；③；④；⑤.
28.解析 由题意作图，如图所示.
因为等边三角形的边长为2，，
所以，得.故①正确；
因为，所以，
得.故②错误，④正确；
由，，为等边三角形，可得与的夹角为.故③错误；
由.
所以，故⑤正确.
综上可知，正确的编号是①④⑤.
评注 1. 考查平面向量的基本概念；2. 考查平面向量的性质.
29.（2015湖北文11）.已知向量，，则 .
29 .解析 因为，所以即，
.
30.（2015山东文13）过点作圆的两条切线，切点分别为
则 .
30.解析 根据题意，作出图形，如图所示.
由平面几何知识，得.
由切线长定理，得.
在中，，所以.
可得.所以.
31.（2015天津文13）在等腰梯形中，已知，， ，
，点和点分别在线段和上，且，，
则的值为 ．
31.解析 在等腰梯形中，由，，得，， ，
所以
.
32.（2015浙江文13） 已知，是平面单位向量，且．若平面向量满足
，则 ．
32.解析 设，，由，得，即.
又，得，即，故.
过点作直线，如图所示，因为，，
据平面向量数量积的几何意义知，在，上的投影均为，
所以.故.
33.（2016北京文9）已知向量，，则与夹角的大小为_________.
33. 解析 由已知可得，.
所以.
34.（2016全国丙文3）已知向量，，则（ ）.
A. B. C. D.
34. A 解析 因为，，，
所以.
由，所以.故选A.
35.（2016全国乙文13）设向量，，且，则 .
35. 解析 由题意，解得.
36. （2016山东文13）已知向量，.若，则实数的值为________.
36. 解析 由题意可得，
，解得.
37.（2016天津文7）已知是边长为1的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）.
A. B. C. D.
37.B 解析 由题意作图，如图所示.则.故选B.
38.（2016上海文12）如图所示，已知，，，是曲线上一个动点，则的取值范围是 .
38.解析 由题意设，故，
由线性规划的有关知识知.故填.
评注 也可以设，，则，.利用三角有关知识求解.
39.（2016浙江文15）已知平面向量，，，，.若为平面单位向量，则的最大值是________.
39.解析 由已知得，所以.
不妨取，，设，
则
，取等号时与同号.
所以（其中，，取为锐角）.显然.易知当时，取最大值1，此时为锐角，，同为正，因此上述不等式中等号能同时取到.故所求最大值为.
40.（2016江苏13）如图所示，在中，是的中点，，是上两个三等分点，，，则的值是 .
40. 解析 解法一（基底法）：令，，则，，，则，，，，，，故，，因此，.故.
解法二（建系法）：可以考虑以为原点，所在直线为轴，的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设，，则，，.
则，，，，，.由题意，，因此，，故.
评注 特别地，可以假定，建立特殊的直角坐标系.这类问题以前也遇到过，比如下面一题.
在平面四边形中，点，分别是边，的中点，且，，.若，则 .
解析 解法一（配凑）：由题意得，，
从而，平方整理得.
（或）.
故
.故填.
解法二：（建系）建立如图所示的平面直角坐标系，
不妨设，，从而，，.
由题意，从而，
即通过，求解，
①②得，即④，
而③即为⑤，
⑤④得，即.故填.
可见，强制建系归根结底转化为恰当的代数（强烈的目标意识）处理，而合理的建系会对运算起到简化作用.
41.（2017全国1文13）已知向量，.若向量与垂直.则 .
解析 由题得，因为与，所以，解得.
42.（2017全国3文13）已知向量，，且，则 .
解析 因为，所以，即，解得.
评注 考查向量的坐标运算，属于基础题型，公式套用即可，没有难度.
43.（2017浙江10）如图所示，已知平面四边形，，，，与交于点，记 ，，，则（ ）.
A． B． C． D．
43.解析 如图所示，动态研究问题:，．此时有，，，且，．
故.
44.（2017浙江15）已知向量，满足，，则的最小值是 ，最大值是 .
44.解析 解法一：如图所示，和是以为邻边的平行四边形的两条对角线，则，是以为圆心的单位圆上的一动点，构造2个全等的平行四边形，平行四边形．所以．
易知当，B，C三点共线时，最小，此时；
当时，最大，此时．
解法二:
(是向量，的夹角).
所以当时，取得最小值4；当时，取得最大值.
45.（2017江苏12）如图所示，在同一个平面内，向量，，的模分别为，，，与的夹角为，且，与的夹角为．若， 则 ．
45.解析 解法一：由题意 （*）
而由，得，，
．
将（*）式化简为
式①加式②，得．故填．
解法二（坐标法）：如图所示，以所在的直线为轴，过且垂直于的直线为轴
建立平面直角坐标系，由题意结合解法一可得，，，由
，得，即，解得，
故．故填．
解法三（解三角形）：由，可得，，如图所示，根据向
量的分解，易得，即，即，
解得，所以．
题型69 向量与三角形四心——暂无
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