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2016—2017学年度下学期期末考试试题
高二数学(理科)
命题：殷裕民 审题：佟胤霖
满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知复数在复平面对应的点在第四象限，则实数的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
2．已知随机变量服从正态分布， ，则（ ）
A. 0.16 B. 0.32 C. 0.68 D. 0.84
3．已知为实数,若复数为纯虚数,则的值为( )
A. 1 B. 0 C. D.
4．若，则的值为( )
A. 2 B. 0 C. －1 D. －2
5．如图，由曲线直线和轴围成的封闭图形的面积是（ ）
A. B. C. D.
6.已知某一随机变量x的概率分布如下，且=5.9，则a的值为（ ）
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2-8
9
p
0.5
b-0.1
b
A.5 B. 6 C.7 D. 8
7.如图，用K、A1、A2三类不同的元件连成一个系统.当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( )
A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576
8.定义在R上的可导函数f(x),f ′(x)是其导函数.则下列结论中错误的是( )
A. 若f(x)是偶函数,则f ′(x)必是奇函数 B. 若f(x)是奇函数,则f ′(x)必是偶函数
C. 若f ′(x)是偶函数,则f(x)必是奇函数 D. 若f ′(x)是奇函数,则f(x)必是偶函数
9下列说法：
①分类变量与的随机变量越大，说明“与有关系”的可信度越大.
②以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是和0.3.
③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为中， ，则.
④如果两个变量与之间不存在着线性关系，那么根据它们的一组数据不能写出一个线性方程
正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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10.来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名，执行奥运会的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作，每个场地由两名来自不同国家的裁判组成，则不同的安排方案总数有
A．种 B．种
C．种 D．种
11.设函数在上存在导数，有，在上，若，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
12若曲线和上分别存在点，使得是以原点为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点轴上，则实数的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 (共90分)
二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分）
13.函数在处的切线方程为_______．
14．已知随机变量ξ～B（36，p），且E（ξ）=12，则D（4ξ+3）=_________.
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15将4个不同的小球装入4个不同的盒子，则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率是 .
16.研究问题：“已知关于的不等式的解集为（1，2），解关于的不等式”，有如下解法：由，令，则，所以不等式的解集为。类比上述解法，已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 .
三、解答题（共6题，17题10分，18~22每题12分，总计70分）
17.近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数（，简称）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照大小分为六级， 为优； 为良； 为轻度污染； 为中度污染； 为重度污染；大于300为严重污染．环保部门记录了2017年某月哈尔滨市10天的的茎叶图如下：
（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（）的天数；（按这个月总共30天计算）
（2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究，求抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率；
（3）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为，求的概率分布列和数学期望.
18.已知某商品的价格（元）与需求量（件）之间的关系有如下一组数据：
14
16
18
20
22
12
10
7
5
3
（1）求,;
（2）求出回归直线方程
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（3）计算相关系数r的值，并说明回归模型拟合程度的好坏。
（参考公式： ，）
参考数据：
当n-2=3，,
19.已知函数
（1）若函数F(x)=+ax2在上为减函数，求的取值范围；
（2）当时，，当时，方程-=0有两个不等的实根，求实数的取值范围；
20.已知函数.
(Ⅰ)当时，求的解集；
(Ⅱ)若的解集包含集合，求实数的取值范围.
21.已知直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.直线过点
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.
（1）若直线与曲线交于两点，求的值；
（2）求曲线的内接矩形的周长的最大值.
22.已知函数， ，其中
（1）设函数，求函数的单调区间；
（2）若存在，使得成立，求的取值范围.
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2017高二数学（理）答案
1【答案】C
2【答案】A
3【答案】C
4【答案】C
5【答案】D
6【答案】B
7【答案】B
8.【答案】C
9【答案】C
10【答案】A
11【答案】B
12【答案】B
13【答案】y=-4x+3
14【答案】128
15【答案】
16【答案】
17【答案】（1）18（2） (3)
试题解析：（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，
故该样本中空气质量优良的频率为，从而估计该月空气质量优良的天数为
(2)由题意可知，10天中有6天是优良，其中2天优，所以
（3）由（1）估计某天空气质量优良的概率为， 的所有可能取值为0,1,2,3
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， ，
，
故的分布列为：
显然， .
18答：(1)18,7.4;(2)y=-1.15x+28.1;(3)r=0.994>0.878,拟合好；
19【答案】（1）a>=3 （2）
【解析】试题分析：
(1)函数为减函数，则导函数 恒成立，据此可得；
(2)利用题意构造新函数，结合题意和新函数的性质可得.
试题解析：
(1) 恒成立，
(2) =在上有两个根
…………
令
时，， 在上单调递增
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时，， 在上单调递减
处有极大值也是最大值， …
，…
20试题解析：解：(1)当时，，
，
上述不等式可化为或或
解得或或
∴或或，
∴原不等式的解集为
(2)∵的解集包含，
∴当时，不等式恒成立，
即在上恒成立，
∴，
即，∴，
∴在上恒成立，
∴，
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∴，
∴的取值范围是.
21【答案】（1）；（2）.
试题解析：（1）已知曲线的标准方程为 ，则其左焦点为，则，将直线的参数方程与曲线的方程 联立，得，则.
（2）由曲线的方程为 ，可设曲线上的动点，则以为顶点的内接矩形周长为，因此该内接矩形周长的最大值为.
21【答案】（1）函数在上单调递增；（2）.
【解析】试题分析：（1）求函数的导数，讨论的关系由导数的正负即可找到单调区间；
（2）若存在，使得成立，即存在，使得，只需函数在上的最小值小于零即可.
试题解析：
（1），
①当时，即时，在上，在上
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所以在上单调递减，在上单调递增；
②当，即时，在上，
所以，函数在上单调递增.
（2）若存在，使得成立，即存在，使得，即函数在上的最小值小于零.
由（1）可知：
①当，即时， ， 的上单调递减，
所以的最小值为，
由可得，
因为，所以.
②当，即时， 在上单调递增，
所以最小值为，由可得.
③当，即时，可得的最小值为，
因为，所以， ，故，不合题意
综上可得所求的范围是.
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