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2016-2017学年下期期末联考
高二理科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟.
第I卷(共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.对两个变量和进行回归分析,得到一组样本数据:,…,则下列说法中不正确的是( )
A.由样本数据得到的回归方程必过样本中心
B.残差平方和越小的模型,拟合的效果越好
C.若变量和之间的相关系数为,则变量和之间具有线性相关关系
D.用相关指数来刻画回归效果,越小,说明模型的拟合效果越好
2.若复数满足,则的虚部是( )
A. B. C. D.
3.若,则,,已知,则( )
A. B. C. D.
4.命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是( )
A.使用了“三段论”,但大前提错误 B.使用了“三段论”,但小前提错误
C.使用了归纳推理 D.使用了类比推理
5.被除所得的余数是( )
A. B. C. D.
6.五名应届毕业生报考三所高校,每人报且仅报一所院校,则不同的报名方法的种数是( )
A. B. C. D.
7.设随机变量,若,则的值为( )
A. B. C. D.
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8.在区间上任取实数,在区间上任取实数,使函数有两个相异零点的概率是( )
A. B. C. D.
9.为了落实中央提出的精准扶贫政策,某市人力资源和社会保障局派人到仙水县大马
镇西坡村包扶户贫困户,要求每户都有且只有人包扶,每人至少包扶户,则不同的包扶方案种数为( )
A. B. C. D.
10.箱中装有标号分别为的六个球(除标号外完全相同),从箱中一次摸出两个球,记下号码并放回,若两球的号码之积是的倍数,则获奖.现有人参与摸球,恰好有人获奖的概率是 ( )
A. B. C. D.
11.已知数列…,则此数列的第项是( )
A. B. C. D.
12.已知函数,令,若在定义域内有两个不同的极值点,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22题～23题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.曲线在处的切线平行于直线,则点坐标为 .
14.已知,则展开式中的系数为 .
15.甲射击命中目标的概率是,乙射击命中目标的概率是,丙射击命中目标的概率是.现在三人同时射击目标,则目标被击中的概率为 .
16.袋中有个大小相同的球,其中标号为的有个,标号为的有个.现从袋中任取一球,表示所取球的标号.若,则的值为 .
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三、解答题(本大题共6小题,满分70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
已知函数,用反证法证明方程没有负数根.
18.(本小题满分12分)
用这六个数字,可以组成多少个满足下列条件的整数？
(Ⅰ)可以组成多少个无重复数字的四位数？
(Ⅱ)可以组成多少个恰有两个相同数字的四位数？
19.(本小题满分12分)某公司为了解广告投入对销售收益的影响,在若干地区各投入 万元广告费用,并将各地的销售收益(单位:万元)绘制成如图所示的频率分布直方图.由于工作人员操作失误,横轴的数据丢失,但可以确定横轴是从开始计数的.
广告投入/万元
1
2
3
4
5
销售收益/万元
2
3
2
5
7
(Ⅰ)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；
(Ⅱ)该公司按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到上表:
表中的数据显示与之间存在线性相关关系,求关于的回归方程；
(Ⅲ)若广告投入万元时,实际销售收益为.万元,求残差.
附:
男大学生
女大学生
不关注“星闻”
关注“星闻”
20.(本小题满分12分)
社会公众人物的言行一定程度上影响着年轻人的人生观、价值观.某媒体机构为了解大学生对影视、歌星以及著名主持人方面的新闻(简称:“星闻”)的关注情况,随机调查了某大学的位大学生,得到信息如右表:
(Ⅰ)从所抽取的人内关注“星闻”的大学生中,再抽取三人做进一步调查,求这三人性别不全相同的概率；
(Ⅱ)是否有以上的把握认为“关注‘星闻’与性别有关”,并说明理由；
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(Ⅲ)把以上的频率视为概率,若从该大学随机抽取位男大学生,设这人中关注“星闻”的人数为,求的分布列及数学期望.
附:.
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
21.(本小题满分12分)已知.
(Ⅰ)求函数的最小值；
(Ⅱ)求证:对一切,都有成立 .
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时,请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线,曲线.
(Ⅰ)求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
(Ⅱ)已知直线,求曲线上的点到直线的最短距离.
23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知.
(Ⅰ)求证:；
(Ⅱ)若不等式对一切实数恒成立,求实数的取值范围.
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高二理科数学参考答案
一、选择题
1-5 DBCAB 6-10 DCACB 11-12 DA
二、填空题
13. ； 14. ； 15. ； 16. .
三、解答题
17.证明:假设方程有负数根,设为,
则有,且. ………………2分.
,.
解上述不等式,得,这与假设且矛盾. ………………10分
故方程没有负数根. ………………12分
18.解:(Ⅰ)首位不能为,有种选法；再从其余的五个数字中任选三个排在其余三个位置,
有种方法；
由分步乘法计数原理得可以组成的四位数有个. ………………5分
(Ⅱ)分两种情况进行讨论；
第一种:数字重复:,
第二种:其它数字重复:
①有时:个,②无时:个,
所以,共有(个). ………………12分
19.解:(Ⅰ)设各小长方形的宽度为,由频率直方图各小长方形的面积总和为,可知,
故. ………………
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2分
(Ⅱ)由题意,可知,
, ……5分
根据公式,可求得,
所以关于的回归方程为. ………………8分
(Ⅲ)当时,销售收益预测值(万元),又实际销售收益为万元,
所以残差 . ………………12分
20.解:(Ⅰ)由已知,知所求概率． ………………3分
(Ⅱ)由于． ………………5分
故有以上的把握认为“关注‘星闻’与性别有关”. ………………6分
(Ⅲ)由题意,可得任意一名男大学生关注“星闻”的概率为,
不关注“星闻”的概率为. ………………7分
所有可能取值为.
；；；；
. ………………
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10分
的分布列为
………………11分
因为,所以. ………………12分
21.解:(I)函数的定义域为,. ………………1分
当时,,为增函数；当时,,为减函数
所以函数的最小值为. ………………5分
（Ⅱ）问题等价于证明 ………………6分
由(I)可知,的最小值为,当且仅当时取到. ………………8分
令,,则, ………………9分
易知,当且仅当取到,所以.
从而对一切,都有成立. ………………12分
22.解:(Ⅰ)曲线,
曲线. ………………
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5分
(Ⅱ)设曲线上任意一点的坐标为,则点到直线的距离为,
其中,当且仅当时等号成立.
即曲线上的点到直线的最短距离为. ………………10分
23.解:(Ⅰ)证明:由柯西不等式得,
,的取值范围是. ………………5分
(Ⅱ)由柯西不等式得.
若不等式对一切实数恒成立,
则,其解集为,
即实数的取值范围为. ………………10分
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