浙江省台州市2015-2016学年高二下期末数学试卷含答案解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2015-2016学年浙江省台州市高二（下）期末数学试卷 一、选择题：本大题共14小题，每小题3分，共42分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎ ‎1．设i为虚数单位，若2+ai=b﹣3i，a，b∈R，则a+bi=（　　）‎ A．2+3i B．﹣3+2i C．3﹣2i D．﹣3﹣2i ‎2． =（　　）‎ A．10 B．15 C．60 D．20‎ ‎3．设空间向量=（1，2，1），=（2，2，3），则•=（　　）‎ A．（2，4，3） B．（3，4，4） C．9 D．﹣5‎ ‎4．函数y=的导数为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．用反证法证明“凸四边形的四个内角中至少有一个不小于90°”时，首先要作出的假设是（　　）‎ A．四个内角都大于90° B．四个内角中有一个大于90°‎ C．四个内角都小于90° D．四个内角中有一个小于90°‎ ‎6．若=21，则n的值为（　　）‎ A．8 B．7 C．6 D．5‎ ‎7．有6位身高互不相同的学生与一位老师排成一排拍照，现老师排在最中间，学生从中间到两边都按身高从高到低排列，则所有的排列方法种数为（　　）‎ A．26 B． C． D．‎ ‎8．在空间直角坐标系中， =（1，0，0），=（0，1，0），=（0，0，1），则与，，所成角都相等的单位向量为（　　）‎ A．（1，1，1） B．（，，）‎ C．（，，） D．（，，）或（﹣，﹣，﹣）‎ ‎9．在（1+x+x2）（1﹣x）10展开式中，x4的系数为（　　）‎ A．+ B．-‎ C．++ D．--‎ ‎10．在空间直角坐标系中，A（1，1，﹣2），B（1，2，﹣3），C（﹣1，3，0），D（x，y，z）（x，y，z∈R），若四点A，B，C，D共面，则（　　）‎ A．2x+y+z=1 B．x+y+z=0 C．x﹣y+z=﹣4 D．x+y﹣z=0‎ ‎11．将1，2，3，4，5，6这六个数字组成一个没有重复数字的六位数，若1和2相邻，且3和4不相邻，则这样六位数的个数为（　　）‎ A．288 B．144 C．72 D．36‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎12．设f（x）是定义在正整数集上的函数，且当f（k）≥2k（k≥2，k∈N*）时，总有f（k﹣1）≥2k﹣1成立，则下列命题为真命题的是（　　）‎ A．若f（1）≥2，则f（n）≥2n B．若f（4）＜16，则f（n）＜2n C．若f（4）≥16，则当n≥4时，f（n）≥2n D．若f（1）＜2，则f（n）＜2n ‎13．已知a，b为正实数，若直线y=x+a与曲线y=ex﹣b相切（其中e为自然对数的底数），则的取值范围为（　　）‎ A．（0，） B．（0，1） C．（0，+∞） D．[1，+∞）‎ ‎14．已知实数a，b，c∈（0，1），设+， +， +这三个数的最大值为M，则M的最小值为（　　）‎ A．5 B．3+2 C．3﹣2 D．不存在 ‎　‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分 ‎15．设i为虚数单位，若ω=﹣+i，则|ω|=　　　　　　．‎ ‎16．现有两本相同的数学书，两本相同的英语书（记a，b分别表示数学书和英语书），从中取出两本书送给小朋友，则所有不同的选法为　　　　　　（用a，b表示）‎ ‎17．设a≥0，若P=+，Q=+，则P　　　　　　Q（请用“＞”，“＜““=“符号填）‎ ‎18．设函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R），当x=时，f（x）取极小值0，则实数b=　　　　　　．‎ ‎19．在60°的二面角α﹣l﹣β的棱l上有两点A，B，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，AC⊥l．BD⊥l，若AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为　　　　　　．‎ ‎20．计算Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn，可以采用以下方法：构造等式：Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn=（1+x）n，两边对x求导，得Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+…+nCnnxn﹣1=n（1+x）n﹣1，在上式中令x=1，得Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n﹣1．类比上述计算方法，计算Cn1+22Cn2+32Cn3+…+n2Cnn=　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎21．有5名同学参加3门兴趣特长类选修课程的学习．‎ ‎（1）若要求每位同学只能选一门课程，求不同选课方法种数；‎ ‎（2）若要求每位同学只能选一门课程，其中甲乙两人选同一门课程，求不同选课方法种数．‎ ‎22．已知a∈R，且在（﹣）n的展开式中，第5项与第6项的二项式系数最大．‎ ‎（1）若a=1，求展开式中的常数项；‎ ‎（2）若展开式中x3的系数为63，求a的值．‎ ‎23．已知数列{an}的前n项和为Sn，a2=14，且an=（+）Sn﹣2n﹣1（n∈N*）‎ ‎（1）求，，；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（2）由（1）猜想数列{}的通项公式，并用数学归纳法证明．‎ ‎24．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=BC=2CD=2，AD=，PE=2BE．‎ ‎（1）求证：平面PAD⊥平面PCD；‎ ‎（2）若二面角P﹣AC﹣E的大小为45°，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．‎ ‎25．设a，b∈R，函数f（x）=ax+．g（x）=x2+b，‎ ‎（1）若a=﹣3，b=0，求函数h（x）=f（x）•g（x）在区间（0，1]上的最值；‎ ‎（2）若函数m（x）=f（x）+g（x）在区间（0，1]上单调递减，求实数a的最大值；‎ ‎（3）若对任意实数a∈（﹣∞，﹣1），关于x的方程f（x）=g（x）有三个不同的解，求实数b的取值范围．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2015-2016学年浙江省台州市高二（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共14小题，每小题3分，共42分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1．设i为虚数单位，若2+ai=b﹣3i，a，b∈R，则a+bi=（　　）‎ A．2+3i B．﹣3+2i C．3﹣2i D．﹣3﹣2i ‎【考点】复数相等的充要条件．‎ ‎【分析】由已知条件再根据复数相等的充要条件即可得到a，b的值，则a+bi的答案可求．‎ ‎【解答】解：由2+ai=b﹣3i，a，b∈R，‎ 再根据复数相等的充要条件得：a=﹣3，b=2．‎ 则a+bi=﹣3+2i．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2． =（　　）‎ A．10 B．15 C．60 D．20‎ ‎【考点】排列及排列数公式．‎ ‎【分析】根据排列公式计算即可．‎ ‎【解答】解： =5×4×3=60，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．设空间向量=（1，2，1），=（2，2，3），则•=（　　）‎ A．（2，4，3） B．（3，4，4） C．9 D．﹣5‎ ‎【考点】空间向量的数量积运算．‎ ‎【分析】由已知利用向量数量积公式直接求解．‎ ‎【解答】解：∵空间向量=（1，2，1），=（2，2，3），‎ ‎∴•=1×2+2×2+1×3=9．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．函数y=的导数为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】直接利用导数的运算法则求解即可．‎ ‎【解答】解：函数y=的导数为：y′=．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．用反证法证明“凸四边形的四个内角中至少有一个不小于90°”时，首先要作出的假设是（　　）‎ A．四个内角都大于90° B．四个内角中有一个大于90°‎ C．四个内角都小于90° D．四个内角中有一个小于90°‎ ‎【考点】数学归纳法．‎ ‎【分析】运用反证法证明命题时，首先必须对结论否定，“至少有一个”的否定是“没有一个”，即可得到假设．‎ ‎【解答】解：用反证法证明“凸四边形的四个内角中至少有一个不小于90°”时，‎ 首先要作出的假设是“凸四边形的四个内角中没有一个不小于90°”，‎ 即为“凸四边形的四个内角都小于90°”．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．若C+C=21，则n的值为（　　）‎ A．8 B．7 C．6 D．5‎ ‎【考点】组合及组合数公式．‎ ‎【分析】利用组合数公式求解求解．‎ ‎【解答】解：∵C+C=21，‎ ‎∴+=21，‎ 由n∈N*，‎ 解得n=6．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．有6位身高互不相同的学生与一位老师排成一排拍照，现老师排在最中间，学生从中间到两边都按身高从高到低排列，则所有的排列方法种数为（　　）‎ A．26 B．A C．A D．C ‎【考点】计数原理的应用．‎ ‎【分析】先排老师，再选3个排在左边，右边的就确定，问题得以解决．‎ ‎【解答】解：老师排在最中间，只需排好左右两边，先排左边，右边的顺序就确定了，有C63种排法 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．在空间直角坐标系中， =（1，0，0），=（0，1，0），=（0，0，1），则与，，所成角都相等的单位向量为（　　）‎ A．（1，1，1） B．（，，）‎ C．（，，） D．（，，）或（﹣，﹣，﹣）‎ ‎【考点】空间向量的数量积运算．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【分析】设满足题意的向量为（x，y，z），由题意得到关于x，y，z的方程解之．‎ ‎【解答】解：设所求的单位向量为=（x，y，z），则由与，，所成角都相等得到 ‎，所以x=y=z，且x2+y2+z2=1，所以x=y=z=或；‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎9．在（1+x+x2）（1﹣x）10展开式中，x4的系数为（　　）‎ A．C+C B．C﹣C C．C+C+C D．C﹣C﹣C ‎【考点】二项式系数的性质．‎ ‎【分析】先将多项式化简，转化为二项式系数的和差，利用二项展开式的通项公式求出各项系数即可．‎ ‎【解答】解：∵（1+x+x2）（1﹣x）10=（1﹣x3）（1﹣x）9‎ ‎∴（1+x+x2）（1﹣x）10展开式中含x4的系数为 ‎（1﹣x）9的含x4的系数加上其含x的系数 ‎∵（1﹣x）9展开式的通项为Tr+1=C9r（﹣x）r 令r=4，1分别得展开式含x4，x项的系数为C94，C91，‎ 故（1+x+x2）（1﹣x）10展开式中含x4的系数为C94+C91，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．在空间直角坐标系中，A（1，1，﹣2），B（1，2，﹣3），C（﹣1，3，0），D（x，y，z）（x，y，z∈R），若四点A，B，C，D共面，则（　　）‎ A．2x+y+z=1 B．x+y+z=0 C．x﹣y+z=﹣4 D．x+y﹣z=0‎ ‎【考点】空间向量的基本定理及其意义；空间中的点的坐标．‎ ‎【分析】利用空间向量共面的基本定理，列出关系式，化简求解即可．‎ ‎【解答】解：∵A（1，1，﹣2），B（1，2，﹣3），C（﹣1，3，0），D（x，y，z）（x，y，z∈R），‎ ‎∴=（0，1，﹣1），=（﹣2，2，2），=（x﹣1，y﹣1，z+2），‎ ‎∵四点A，B，C，D共面，‎ ‎∴存在实数λ，μ使得， =λ+μ，‎ ‎∴（x﹣1，y﹣1，z+2）=λ（0，1，﹣1）+μ（﹣2，2，2），‎ ‎∴，解得2x+y+z=1，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．将1，2，3，4，5，6这六个数字组成一个没有重复数字的六位数，若1和2相邻，且3和4不相邻，则这样六位数的个数为（　　）‎ A．288 B．144 C．72 D．36‎ ‎【考点】排列、组合及简单计数问题．‎ ‎【分析】由题意知1与2相邻，相邻用捆绑法，3和4不相邻，利用插空法，可得结论．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解：先把1和2捆绑在一起，看做一个复合元素再和5，6全排，形成了4个空，将3，4插入其中，‎ 故有A33A22A42=144个．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．设f（x）是定义在正整数集上的函数，且当f（k）≥2k（k≥2，k∈N*）时，总有f（k﹣1）≥2k﹣1成立，则下列命题为真命题的是（　　）‎ A．若f（1）≥2，则f（n）≥2n B．若f（4）＜16，则f（n）＜2n C．若f（4）≥16，则当n≥4时，f（n）≥2n D．若f（1）＜2，则f（n）＜2n ‎【考点】反证法．‎ ‎【分析】根据条件的递推关系，利用反证法进行判断即可．‎ ‎【解答】解：若f（n）＜2n假设f（n）＜2n，不成立，则f（n）≥2n，‎ 根据递推条件得f（n﹣1）≥2n﹣1成立，…f（2）≥22，f（1）≥2成立，与f（1）＜2，矛盾，‎ 故假设不成立，‎ 故若f（1）＜2，则f（n）＜2n成立，即D是真命题，‎ 故选：D ‎　‎ ‎13．已知a，b为正实数，若直线y=x+a与曲线y=ex﹣b相切（其中e为自然对数的底数），则的取值范围为（　　）‎ A．（0，） B．（0，1） C．（0，+∞） D．[1，+∞）‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】设切点为（m，n），求得曲线对应函数的导数，可得切线的斜率，由切线方程，可得m，n的方程，化简可得b=1﹣a，代入所求式子，令t=3﹣a，t∈（2，3），可得==t+﹣6，运用对勾函数的单调性，可得所求范围．‎ ‎【解答】解：设切点为（m，n），‎ 由y=ex﹣b的导数为y′=ex﹣b，‎ 直线y=x+a与曲线y=ex﹣b相切，‎ 可得em﹣b=1，n=m+a=em﹣b，‎ 即有m=b=1﹣a，‎ 即a+b=1，（a，b∈（0，1）），‎ 则==，‎ 令t=3﹣a，t∈（2，3），即a=3﹣t，‎ 可得==t+﹣6，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由t+的导数为1﹣，‎ 由2＜t＜3，可得1﹣＜0，‎ 则t+在（2，3）递减，‎ 可得t+∈（6，），‎ 则的取值范围为（0，）．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎14．已知实数a，b，c∈（0，1），设+， +， +这三个数的最大值为M，则M的最小值为（　　）‎ A．5 B．3+2 C．3﹣2 D．不存在 ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】由题意可得+≤M， +≤M， +≤M，由不等式的可加性和乘1法和基本不等式，可得最小值．‎ ‎【解答】解：由题意可得+≤M， +≤M， +≤M，‎ 即有3M≥+++++=（+）+（+）+（+），‎ 由0＜a＜1，可得+=[a+（1﹣a）]（+）=3++‎ ‎≥3+2=3+2．当且仅当a=（1﹣a），即a=2﹣时，取得最小值3+2；‎ 同理可得+在b=2﹣时，取得最小值3+2；‎ ‎+在c=2﹣时，取得最小值3+2．‎ 则3M≥3（3+2）．即M≥3+2．‎ 可得M的最小值为3+2．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分 ‎15．设i为虚数单位，若ω=﹣+i，则|ω|=　1　．‎ ‎【考点】复数求模．‎ ‎【分析】直接由复数求模公式计算得答案．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解：由ω=﹣+i，‎ 则|ω|=．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎16．现有两本相同的数学书，两本相同的英语书（记a，b分别表示数学书和英语书），从中取出两本书送给小朋友，则所有不同的选法为　aa，ab，bb　（用a，b表示）‎ ‎【考点】排列、组合及简单计数问题．‎ ‎【分析】由题意可知，所有的排列为aa，ab，bb，问题得以解决．‎ ‎【解答】解：现有两本相同的数学书，两本相同的英语书（记a，b分别表示数学书和英语书），从中取出两本书送给小朋友，则所有不同的选法为 aa，ab，bb，‎ 故答案为：aa，ab，bb ‎　‎ ‎17．设a≥0，若P=+，Q=+，则P　＜　Q（请用“＞”，“＜““=“符号填）‎ ‎【考点】不等式比较大小．‎ ‎【分析】平方作差即可得出．‎ ‎【解答】解：∵Q2﹣P2=2a+8﹣2﹣=2（﹣＞0，‎ ‎∴Q2＞P2，‎ ‎∵a≥0，∴P，Q＞0．‎ ‎∴Q＞P．‎ 故答案为：＜．‎ ‎　‎ ‎18．设函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R），当x=时，f（x）取极小值0，则实数b=　　．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】根据函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R），当x=时，f（x）取极小值0，得到f′（）=+a=0，f（）=+a+b，即可求出b．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=x3+ax2+b，∴f′（x）=3x2+2ax，‎ ‎∵函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R），当x=时，f（x）取极小值0，‎ ‎∴f′（）=+a=0，f（）=+a+b，‎ ‎∴a=﹣2，b=．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎19．在60°的二面角α﹣l﹣β的棱l上有两点A，B，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，AC⊥l．BD⊥l，若AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为　2　．‎ ‎【考点】与二面角有关的立体几何综合题．‎ ‎【分析】利用已知条件确定＜＞120°，利用=，通过向量的数量积的运算求出CD的距离．‎ ‎【解答】解：由已知，可得AC⊥AB，BD⊥AB，‎ ‎∵二面角的大小为60°，‎ 则＜，＞=60°．‎ ‎∴＜＞=120°，‎ ‎∴=‎ ‎=+++2+2+2‎ ‎=36+16+64+2×6×8×cos120°=68．‎ ‎∴=2．‎ 故答案为：2‎ ‎　‎ ‎20．计算Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn，可以采用以下方法：构造等式：Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn=（1+x）n，两边对x求导，得Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+…+nCnnxn﹣1=n（1+x）n﹣1，在上式中令x=1，得Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n﹣1．类比上述计算方法，计算Cn1+22Cn2+32Cn3+…+n2Cnn=　n（n+1）•2n﹣2　．‎ ‎【考点】二项式定理的应用．‎ ‎【分析】构造等式：Cn1x+2Cn2x2+3Cn3x3+…+nCnnxn=n（1+x）n﹣1，两边对x求导，两边同乘以x，再两边求导后赋值即可．‎ ‎【解答】解：构造等式：Cn1x+2Cn2x2+3Cn3x3+…+nCnnxn=n（1+x）n﹣1，‎ 两边对x求导，得Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+…+nCnnxn﹣1=n（1+x）n﹣1，‎ 两边同乘以x，得xCn1+2Cn2x2+3Cn3x3+…+nCnnxn=nx（1+x）n﹣1，‎ 再两边求导，得Cn1+22Cn2x2+32Cn3x3+…+n2Cnnxn=n[（1+x）n﹣1+（n﹣1）x（1+x）n﹣2]‎ 令x=1，得Cn1+22Cn2x2+32Cn3x3+…+n2Cnnxn=n（n+1）•2n﹣2，‎ 故答案为：n（n+1）•2n﹣2．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎21．有5名同学参加3门兴趣特长类选修课程的学习．‎ ‎（1）若要求每位同学只能选一门课程，求不同选课方法种数；‎ ‎（2）若要求每位同学只能选一门课程，其中甲乙两人选同一门课程，求不同选课方法种数．‎ ‎【考点】排列、组合及简单计数问题．‎ ‎【分析】（1）每位同学有3种选课方法，由分步计数原理可得，‎ ‎（2）3门课程让甲乙先选一门，再剩下的3人每位同学有3种选课方法，由分步计数原理可得．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得每位同学有3种选课方法，由分步计数原理，得一共有35=243种，‎ ‎（2）3门课程让甲乙先选一门，再剩下的3人每位同学有3种选课方法，得一共有C3133=81种 ‎　‎ ‎22．已知a∈R，且在（﹣）n的展开式中，第5项与第6项的二项式系数最大．‎ ‎（1）若a=1，求展开式中的常数项；‎ ‎（2）若展开式中x3的系数为63，求a的值．‎ ‎【考点】二项式定理的应用；二项式系数的性质．‎ ‎【分析】（1）由题意可得=最大，∴n=9，再根据a=1，通项公式 Tr+1=••（﹣1）r•，令x得幂指数等于0，求得r的值，可得展开式的常数项．‎ ‎（2）展开式中的通项公式中，令x的幂指数等于3，求得r=4，利用通项公式可得展开式中x3的系数，再根据次系数为 63，求得a的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵在（﹣）n的展开式中，第5项与第6项的二项式系数最大，∴=最大，∴n=9，‎ a=1，根据展开式中的通项公式 Tr+1=••（﹣1）r•，令9﹣=0，求得r=6，‎ 故展开式的常数项为•=．‎ ‎（2）展开式中的通项公式 Tr+1=••（﹣a）r• 中，令9﹣=3，‎ 求得r=4，故展开式中x3的系数为••（﹣a）4=63，求得a=±2．‎ ‎　‎ ‎23．已知数列{an}的前n项和为Sn，a2=14，且an=（+）Sn﹣2n﹣1（n∈N*）‎ ‎（1）求，，；‎ ‎（2）由（1）猜想数列{}的通项公式，并用数学归纳法证明．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【考点】数学归纳法；数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】（1）可令n=1，2，3，代入已知等式，结合a1=S1；an=sn﹣sn﹣1（n＞1），计算即可得到所求值；‎ ‎（2）猜想可得数列{}的通项公式=n2（n∈N*）．运用数学归纳法证明．验证当n=1时，等式成立；再假设n=k（k∈N*），=k2成立，证明当n=k+1时，结合假设和ak+1=Sk+1﹣Sk，化简整理，即可得证．‎ ‎【解答】解：（1）an=（+）Sn﹣2n﹣1（n∈N*），‎ 可得n=1时，a1=S1=（+1）S1﹣1，‎ 解得S1=2，即有=1；‎ n=2时，a2=S2﹣S1=（+）S2﹣2=14，‎ 解得S2=16， =4；‎ n=3时，a3=S3﹣S2=（+）S3﹣22，‎ 解得S3=72， =9；‎ ‎（2）由（1）猜想可得数列{}的通项公式为=n2（n∈N*）．‎ 下面运用数学归纳法证明．‎ ‎①当n=1时，由（1）可得=1成立；‎ ‎②假设n=k（k∈N*），=k2成立，‎ 当n=k+1时，ak+1=Sk+1﹣Sk=（+）Sk+1﹣2k+1﹣1，‎ 即有（﹣）Sk+1=Sk﹣2k=2k•k2﹣2k=（k2﹣1）•2k，‎ 则Sk+1=（k+1）（k﹣1）•2k，‎ 当k=1时，上式显然成立；‎ 当k＞1时，Sk+1=2（k+1）2•2k=（k+1）2•2k+1．‎ 即=（k+1）2，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 则当n=k+1时，结论也成立．‎ 由①②可得对一切n∈N*， =n2成立．‎ ‎　‎ ‎24．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=BC=2CD=2，AD=，PE=2BE．‎ ‎（1）求证：平面PAD⊥平面PCD；‎ ‎（2）若二面角P﹣AC﹣E的大小为45°，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）推导出PC⊥AD，从而AD⊥平面PCD，由此能证明平面PAD⊥平面PCD．‎ ‎（Ⅱ）取AB的中点F，以C为坐标原点，CF为x轴，CD为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PA与平面EAC所成角的正弦值．‎ ‎【解答】证明：（1）∵PC⊥平面ABC，AD⊂平面ABCD，‎ ‎∴PC⊥AD，‎ 又CD⊥AD，∴AD⊥平面PCD，‎ 又AD⊂平面PAD，‎ ‎∴平面PAD⊥平面PCD．‎ 解：（Ⅱ）取AB的中点F，连结CF，则CF⊥AB，‎ 如图，以C为坐标原点，CF为x轴，CD为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则P（0，0，a），（a＞0），E（，﹣，），‎ ‎=（），=（0，0，a），=（，﹣，），‎ 设=（x，y，z）是平面PAC的一个法向量，‎ 则，取x=1，得=（1，﹣，0），‎ 设平面EAC的法向量=（a，b，c），‎ 则，取a=1，得=（1，﹣，﹣），‎ ‎∵二面角P﹣AC﹣E的大小为45°，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴cos45°=|cos＜＞|===，‎ 解得a=2，此时=（1，﹣，﹣2），‎ ‎∴=（），‎ 设直线PA与平面EAC所成角为θ，‎ 则sinθ=|cos＜＞|===．‎ ‎∴直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．‎ ‎　‎ ‎25．设a，b∈R，函数f（x）=ax+．g（x）=x2+b，‎ ‎（1）若a=﹣3，b=0，求函数h（x）=f（x）•g（x）在区间（0，1]上的最值；‎ ‎（2）若函数m（x）=f（x）+g（x）在区间（0，1]上单调递减，求实数a的最大值；‎ ‎（3）若对任意实数a∈（﹣∞，﹣1），关于x的方程f（x）=g（x）有三个不同的解，求实数b的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】（1）将a，b的值代入h（x），求出h（x）的导数，从而求出h（x）的最值；‎ ‎（2）问题转化为a≤﹣2x，在x∈（0，1]时恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可；‎ ‎（3）问题转化为a＜﹣1时，只需y=ax﹣b与函数F（x）=x2﹣的图象都有3个交点，结合函数的单调性以及函数的图象判断即可．‎ ‎【解答】解：（1）a=﹣3，b=0时，h（x）=﹣3x3+x（x≠0），‎ ‎∴h′（x）=﹣9x2+1，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由h′（x）≤0得：x≤﹣或x≥，‎ 由h′（x）≥0得﹣≤x≤，‎ ‎∴h（x）在（0，]递增，在[，1）递减，‎ 又x→0时，h（x）→0，h（）=，h（1）=﹣2，‎ ‎∴h（x）在（0，1]上的最大值是h（）=，‎ 在（0，1]上的最小值是h（1）=﹣2；‎ ‎（2）m（x）=ax++x2+b，m′（x）=a﹣+2x，‎ 由题意x∈（0，1]时，m′（x）≤0恒成立，‎ 即a≤﹣2x，在x∈（0，1]时恒成立，‎ 又﹣2x在x∈（0，1]递减，‎ ‎∴﹣2x在（0，1]上的最小值是﹣1，‎ ‎∴a≤﹣1，即a的最大值是﹣1；‎ ‎（3）原问题转化为：若对任意实数a∈（﹣∞，﹣1），关于x的方程x2﹣=ax﹣b有三个不同的解，求b的范围，‎ 即a＜﹣1时，只需y=ax﹣b与函数F（x）=x2﹣的图象都有3个交点，‎ ‎∵F′（x）=2x+=，‎ 由F′（x）＞0，得x＞﹣且x≠0，‎ 由F′（x）＜0，解得：x＜﹣，‎ ‎∴F（x）在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，0），（0，+∞）递增，‎ 如图示：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，‎ a＜﹣1时，只需y=ax﹣b与函数F（x）（x＞0）有1个交点，‎ ‎∴直线y=ax﹣b和F（x）（x＜0）有2个交点，‎ a=﹣1时，F′（x）=2x+==﹣1，解得：x=﹣1，‎ 此时，切线方程是y=﹣x+1，‎ 即当b=﹣1，a=﹣1时，直线y=ax﹣b和F（x）=x2﹣（x＜0）的图象相切，‎ ‎∴当﹣b≥1时，即b≤﹣1时，‎ ‎∴当﹣b≥1即b≤﹣1时，‎ 对任意a∈（﹣∞，﹣1），直线y=ax﹣b与函数F（x）的图象恒有3个交点，‎ 若对任意实数a∈（﹣∞，﹣1），关于x的方程f（x）=g（x）有三个不同的解．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2016年8月27日 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费