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2016-2017学年度高二第二学期期末质量检查
理科数学
本试卷共22题，共150分，共6页，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务. 已知：①食物投掷地点有远、近两处； ②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处。则不同的搜寻方案有（ ）
A．40种 B．70种 C．80种 D．100种
2.使得的展开式中含有常数项的最小的n是（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
3.如图，将一个各面都凃了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值E(X)=（ ）
A. B. C. D.
4.设随机变量服从正态分布N(3，4)，若，则实数a的值为（ ）
A. B. C. D．
5.已知，其中 为虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
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6.设有下面四个命题
若复数满足，则；
若复数满足，则；
若复数满足，则；
若复数，则.
其中的真命题为（ ）
A. B. C. D.
7.在底面ABCD为平行四边形的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，M是AC与BD的交点，若=， =， =，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
8.已知函数是偶函数，当时，，则曲线在点处切线的斜率为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
9.曲线：在点A处的切线l恰好经过坐标原点，则曲线C直线l，y轴围成的图形面积为（ ）
A． B． C． D．
10.已知双曲线上一点C，过双曲线中心的直线交双曲线于A,B两点，记直线AC,BC的斜率分别为，当最小时，双曲线离心率为
A ． B． C D . 2
11.已知函数若对于任意两个不等实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
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A. B. C. D.
12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列，…，其中第一项是，接下来的两项是，，在接下来的三项式，，，依次类推，求满足如下条件的最小整数：且该数列的前项和为的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）
A．110 B．220 C．330 D．440
第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.如图，在直角坐标系中，将直线与直线及轴所围成的图形（阴影部分）绕轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积．据此类比：将曲线（）与直线及轴所围成的图形绕轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积= ．
14.计算，可以采用以下方法：构造等式：
，两边对x求导，
得，在上式中令，
得．类比上述计算方法，
计算_________.
15.对于函数f（x）给出定义：
设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是函数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．
某同学经过探究发现：任何一个三次函数f（x）=ax3+bx2
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+cx+d（a≠0）都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数，请你根据上面探究结果，计算
= ．
16.如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知AB=2， •=﹣3，设AD=a，BC=b，CD=c，则的最小值为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（70分）
17.（12分）
已知命题p：x∈A，且A={x|a﹣1＜x＜a+1}，命题q：x∈B，且B={x|y=}．
（Ⅰ）若A∪B=R，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．
18.（12分）
为了开一家汽车租赁公司，小王调查了市面上两种车型的出租情况，他随机抽取了某租赁公司的这两种车型各100辆，分别统计了每辆车在某一周内的出租天数，得到下表的统计数据：
Ａ型车
出租天数
1
2
3
4
5
6
7
车辆数
5
10
30
35
15
3
2
Ｂ型车
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出租天数
1
2
3
4
5
6
7
车辆数
14
20
20
16
15
10
5
以这200辆车的出租频率代替每辆车的出租概率，完成下列问题：
（Ⅰ）根据上述统计数据，估计该公司一辆Ａ型车，一辆Ｂ型车一周内合计出租天数恰好为４天的概率；
（Ⅱ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，在不考虑其他因素的情况下，运用所学的统计学知识，你会建议小王选择购买哪种车型的车，请说明选择的依据．
19.（12分）
如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，AB=2，AC=4，AA1=3．D是线段BC的中点．
（1）求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；
（2）求二面角B1﹣A1D﹣C1的大小的余弦值．
20.（12分）
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已知椭圆：，四点，，，中恰有三点在椭圆上．
（1）求的方程；
（2）设直线不经过点且与相交于、两点，若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点．
21.（12分）
已知函数．
（Ⅰ）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；
（Ⅲ）设函数，若在上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围．
22.（10分）选修4-4极坐标与参数方程
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已知直线l：（其中t为参数，α为倾斜角）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=．
（1）求C的直角坐标方程，并求C的焦点F的直角坐标；
（2）已知点P（1，0），若直线l与C相交于A，B两点，且=2，求△FAB的面积
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理科数学答题卷
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13. 14.
15. 16.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（70分）
17.（12分）
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18.（12分）
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19.（12分）
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20.（12分）
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21.（12分）
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22.（10分）
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理科数学参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
B
A
C
A
C
B
D
B
C
D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13. 14. 15. 2016 16. 2
17.（Ⅰ） 由题意知，B={x|x2﹣3x+2≥0}={x|x≤1或x≥2}
∵A∪B=R，且
∴
∴1≤a≤2
即所求实数的取值范围是
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知 B={x|x≤1或x≥2}，且
∵是的充分条件，
∴A⊆B
∴a+1≤1或a﹣1≥2
∴a≤0或a≥3
即所求实数a的取值范围是{a|a≤0或a≥3}
18.（Ⅰ）设事件表示一辆A型车在一周内出租的天数恰好为i天;
事件表示一辆B型车在一周内出租的天数恰好为j天;
其中
则估计该公司一辆A型车,一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为:
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估计该公司一辆A型车,一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率是．
（Ⅱ）设X为A型车出租的天数,则X的分布列为
X
1
2
3
4
5
6
7
P
0.05
0.10
0.30
0.35
0.15
0.03
0.02
设Y为B型车出租的天数,则Y的分布列为
Y
1
2
3
4
5
6
7
P
0.14
0.20
0.20
0.16
0.15
0.10
0.05
E(X)=1×0.05+2×0.10+3×0.30+4×0.35+5×0.15+6×0.03+7×0.02=3.62,
E(Y)=1×0.14+2×0.20+3×0.20+4×0.16+5×0.15+6×0.10+7×0.05=3.48,
一辆A型车一周的平均出租天数为3.62, 一辆B型车一周的平均出租天数为3.48,所以选择购买A型车.
19.（1）因为在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC
所以分别以AB、AC、AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），A1（0，0，3），B1（2，0，3），C1（0，4，3），
因为D是BC的中点，所以D（1，2，0），…
因为，设平面A1C1D的法向量，
则，即，取，
所以平面A1C1D的法向量，而，
所以，
所以直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值为；…
（2），，
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设平面B1A1D的法向量，
则，即，
取，平面B1A1D的法向量，
所以，
二面角B1﹣A1D﹣C1的大小的余弦值．…
20.（1）根据椭圆对称性，必过、
又横坐标为1，椭圆必不过，所以过三点
将代入椭圆方程得
，解得，
∴椭圆的方程为：．
（2）当斜率不存在时，设
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得，此时过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．
当斜率存在时，设
联立，整理得
，
则
又
，此时，存在使得成立．
∴直线的方程为
当时，
所以过定点．
21.（I）当p=2时，函数，f（1）=2﹣2﹣2ln1=0.，
曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=2+2﹣2=2．
从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=2（x﹣1）
即y=2x﹣2．
（II）．
令h（x）=px2﹣2x+p，
要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，只需h（x）≥0在（0，+∞）内恒成立．
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由题意p＞0，h（x）=px2﹣2x+p的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，
∴，只需，
即p≥1时，h（x）≥0，f'（x）≥0
∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，正实数p的取值范围是上是减函数，
∴x=e时，g（x）min=2；x=1时，g（x）max=2e，
即g（x）∈，
当p＜0时，h（x）=px2﹣2x+p，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在y轴的左侧，且h（0）＜0，
所以f（x）在x∈内是减函数．
当p=0时，h（x）=﹣2x，因为x∈，所以h（x）＜0，
，此时，f（x）在x∈内是减函数．
∴当p≤0时，f（x）在上单调递减⇒f（x）max=f（1）=0＜2，不合题意；
当0＜p＜1时，由，所以．
又由（2）知当p=1时，f（x）在上是增函数，
∴，不合题意；
当p≥1时，由（2）知f（x）在上是增函数，f（1）=0＜2，又g（x）在上是减函数，
故只需f（x）max＞g（x）min，x∈，而，g（x）min=2，即，解得
综上所述，实数p的取值范围是．
22.（1）原方程变形为ρ2sin2θ=ρcosθ，
∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴C的直角坐标方程为y2=x，其焦点为．
（2）把l的方程代入y2=x得t2sin2α﹣tcosα﹣1=0，
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则，①
，
即|t1﹣t2|=2|t1t2|，
平方得，②
把①代入②得，∴sin2α=1，
∵α是直线l的倾斜角，∴，
∴l的普通方程为x=1，且|AB|=2，
点F到AB的距离d=1﹣=
∴△FAB的面积为S=|AB|×d==．
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