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课后训练
1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝－6，S18－S15＝18，则S18等于( )．
A．36 B．18 C．72 D．9
2．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于( )．
A．22 B．21 C．19 D．18
3．(大纲全国高考，理4)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝( )．
A．8 B．7 C．6 D．5
4．等差数列{an}中，a10＜0，a11＞0，a11＞|a10|，Sn为数列{an}的前n项和，则使Sn＞0的最小值为( )．
A．21 B．20 C．10 D．11
5．(湖南高考，理12)设Sn是等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，a4＝7，则S5＝__________.
6．数列{an}的前n项和Sn＝3n－2n2，则当n≥2时，na1，nan，Sn的大小关系为__________．
7．已知{an}为等差数列，Sn是{an}的前n项和，S7＝7，S15＝75.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的前n项和．
8．数列{an}的前n项和Sn＝100n－n2(n∈N＋)．
(1)求证：{an}是等差数列；
(2)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和．
在一直线上共插13面小旗，相邻两面之间距离为10m，某人在第一面小旗处，要把小旗全部集中到某一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路程最短，应集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是多少？
参考答案
1. 答案：A
解析：∵S3，S6－S3，…，S18－S15成等差数列，∴S18＝S3＋(S6－
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S3)＋(S9－S6)＋…＋(S18－S15)＝＝36.
2. 答案：D
解析：由题意得5(a1＋an)＝180，∴a1＋an＝36，
由，
∴n＝13，S13＝13a7＝234.
∴a7＝18.
3. 答案：D
解析：∵Sk＋2－Sk＝24，∴ak＋1＋ak＋2＝24，
∴a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝24，
∴2a1＋(2k＋1)d＝24.
又a1＝1，d＝2，∴k＝5.
4. 答案：B
解析：由a10＜0，a11＞0知d＞0，由a11＞|a10|得2a1＋19d＞0，又，∴当n－1≥19，即n≥20时，Sn＞0，∴使Sn＞0的最小值为20.
5. 答案：25
解析：∵a1＝1，a4＝7，∴.
∴.
6. 答案：na1＞Sn＞nan
解析：∵an＝Sn－Sn－1＝－4n＋5为递减数列，
∴a1＞an，∴nan＜Sn＝＜na1.
7. (1)证明：设数列的公差为d，由题意得，
∵S7＝7，S15＝75，∴解得
∴.
∴，∴数列为等差数列．
(2)解：由(1)知数列的首项为1，公差为，∴其前n项和.
8. (1)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(100n－n2)－[100(n－1)－(n－1)2]
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＝101－2n.
又∵a1＝S1＝100×1－12＝99＝101－2×1，
∴数列{an}的通项公式为an＝101－2n(n∈N＋)．
又an＋1－an＝－2为常数，
∴数列{an}是首项a1＝99，公差d＝－2的等差数列．
(2)解：令an＝101－2n≥0得n≤50.5.
∵n∈N＋，∴n≤50(n∈N＋)．
①当1≤n≤50时，an＞0，此时bn＝|an|＝an，
∴{bn}的前n项和S′n＝100n－n2.
②当n≥51时，an＜0，此时bn＝|an|＝－an，
∵b51＋b52＋…＋bn＝－(a51＋a52＋…＋an)＝－(Sn－S50)＝S50－Sn，
∴数列{bn}的前n项和为S′n＝S50＋(S50－Sn)＝2S50－Sn＝2×2 500－(100n－n2)＝5 000－100n＋n2.
由①②得数列{bn}的前n项和为
9. 解：设将小旗集中到第x面小旗处，则从第1面小旗到第x面小旗处，共走路程为10(x－1)，然后回到第2面处再到第x面处是20(x－2)，……，从第x面处到第(x＋1)面处往返的路程为20，从第x面处到第(x＋2)面处往返的路程为20×2，…….
总的路程：
S＝10(x－1)＋20(x－2)＋20(x－3)＋…＋20×2＋20×1＋20＋20×2＋…＋20×(13－x)
＝10(x－1)＋20×＋20×
＝10[(x－1)＋(x－2)(x－1)＋(13－x)(14－x)]
＝10(2x2－29x＋183)＝.
由于x∈N＋，∴当x＝7时，Smin＝780 m.
答：应集中到第7面小旗上，最短路程为780 m.
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