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广安市2017年春高二期末试题
数学（理工类）
一、选择题(每小题5分,共12小题60分。每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1. ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据排列数公式，所以，故选择A。
2. 已知随机变量服从正态分布,若，则（ ）
A. 0.477 B. 0.625 C. 0.954 D. 0.977
【答案】C
【解析】试题分析：根据题意，由于随机变量服从正态分布,若，则可知1-0.023-0.023=0.954，故可知答案为C.
考点：正态分布
点评：主要是考查了正态分布的概率的计算，利用对称性来解得。属于基础题。
3. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）
A. 60种 B. 70种 C. 75种 D. 105种
【答案】C
【解析】试题分析：因,故应选C．
考点：排列数组合数公式及运用．
4. 利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，利用列联表，由计算可得，参照附表，得到的正确结论是（ ）
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A. 有以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
B. 有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
C. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
【答案】B
【解析】解：计算K2≈8.806>7.879，
对照表中数据得出有0.005的几率说明这两个变量之间的关系是不可信的，
即有1−0.005=99.5%的把握说明两个变量之间有关系，
本题选择B选项....
5. 用数学归纳法证明,则当时，左端应在n=k的基础上加( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】当时，左边=，
当时，左边=，
所以观察可知，增加的项为，故选择D。
6. 曲线在点处的切线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】试题分析：，则，则所求切线方程为.
考点：导数几何意义．
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【方法点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．
7. 已知某人每天早晨乘坐的某一班公共汽车的准时到站的概率为，则他在3天乘车中，此班车恰有2天准时到站的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意，恰有2天准时到站的概率为，故选择B。
8. 设，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据微积分定理，，，，所以，故选择D。
9. 若，则的值为( )
A. 2 B. 0 C. －1 D. －2
【答案】C
【解析】令，则原式为，
令，则原式为，所以，故选择C。
10. 甲、乙两人从1，2，…，15这15个数中，依次任取一个数(不放回)．则在已知甲取到的数是5的倍数的情况下，甲所取的数大于乙所取的数的概率是 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设事件A=“甲取到的数是5的倍数”，B=“甲所取的数大于乙所取的数”，又因为本题为古典概型概率问题，所以根据条件概率可知，，故选择D。...
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点睛：计算条件概率时，可以按以下步骤进行：第一步，判断是否为条件概率，即是否有“已知”，“在…前提下”等字眼；第二步，计算概率，有两种思路，一是缩减基本事件空间计算条件概率，即，二是条件概率计算公式。
11. 节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元；节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量服从如下表所示的分布：
若进这种鲜花500束，则利润的均值为（ ）
A. 754元 B. 720元 C. 706元 D. 690元
【答案】C
【解析】根据分布列可知，节日期间这种鲜花需求量的均值为，若进500束鲜花，利润应为，故选择C。
点睛：解本题的关键是理解题意，即根据分布列计算出节日期间这种鲜花的需求量的平均值，即数学期望，然后比较数学期望与进货量的大小，不超过期望的部分每束的利润为2.5元，超过期望的部分，每束的利润为-0.9元，于是可以求出利润的均值。
12. 设函数是奇函数的导函数，，当时， ，则使得成立的的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】试题分析：根据已知条件可构造函数，则为偶函数，由可知可求得导函数，因为当时，，所以，则当时，，所以在区间上有
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，在区间上有，又，可知的解集应该为，所以本题的正确选项为B.
考点：导函数的运用，函数的奇偶性.
【思路点睛】若直接解不等式，因不知道的单调性，所以较难求解，根据条件可构造一个新函数，这样结合为奇函数便可得到的单调区间及零点，从而得到函数值分别为正数与负数的区间，进而便可求得的取值范围．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在答题卡上相应的横线上）
13. 设是虚数单位，则=________
【答案】
【解析】。
14. 的展开式中的系数为__________.
【答案】5
【解析】，展开式中的可以由一个与两个相乘得到，或者由两个与一个相乘得到，或者由三个相乘得到，因此项的系数为：。
15. 从中，可猜想第个等式为__________.
【答案】
【解析】1=12，
2+3+4=32，
3+4+5+6+7+=52，
观察可知，等式左边第n行有n个数，且第n行的第一个数为n，每行最后一个数是以1为首项，3为公差的等差数列，等式右边为(2n-1)2，所以猜想第n个等式为：。
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点睛：解决归纳推理问题的关键是仔细研究给出的部分对象，通过观察出的规律，把问题转化为其他数学知识的问题进行解决。如解决含递推公式的归纳推理问题，一般是先解决题中的递推关系式求出一些特殊的对象，然后再根据这些特殊对象与序号之间的一一对应关系，观察出规律，最后根据规律即可得出一般性结论。
16. 假设某次数学测试共有20道选择题，每个选择题都给了4个选项（其中有且仅有一个选项是正确的）.评分标准规定：每题只选1项，答对得5分，否则得0分.某考生每道题都给出了答案，并且会做其中的12道题，其他试题随机答题，则他的得分的方差=_______....
【答案】
【解析】此题考查离散型随机变量的分布列知识和二项分布知识；设剩下的8题答对的个数是，则得分；且,所以，所以;
三、解答题(本大题共6小题，共70分。解答时在答题卡上相应题号下应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～23题为选考题，考生根据要求作答)
17. 已知的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为32.
（1）求；
（2）求展开式中二项式系数最大的项.
【答案】（1） （2）
【解析】试题分析：（1）采用赋值法，令得二项展开式中各项系数和为，二项式系数和为，根据题意，所以即，；（2）根据二项展开式的性质可知，当n=5时，展开式为6项，中间两项第3项，第4项的二项式系数最大，根据通项公式，分别为，，再计算就可以得到二项式系数最大的两项。
试题解析：（1）令，则展开式的各项系数和为，又展开式的各项二项式系数和为，所以，即，解得.
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（2）由（1）可知：，所以展开式的中间两项二项式系数最大，即
18. 已知函数．
（1）求函数的单调区间．
（2）若对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调增区间 单调减区间 （2）
【解析】试题分析：（1）对函数求导，令，解不等式，即得到递增区间，令，解不等式，即得递减区间；（2）若对恒成立，即对恒成立，所以问题转化为求成立即可，即求函数在区间上的最小值，根据第（1）问单调性，易求出函数在上的最小值，于是可以求出的取值范围。
试题解析：（1）令，解得或，
令，解得：.
故函数的单调增区间为，单调减区间为.
（2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
∴，
∵对恒成立，
∴，即，∴
19. 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次.某同学在A处的命中率0.25，在B处的命中率为0.8,该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分.
（1）求该同学投篮3次的概率；
（2）求随机变量的数学期望.
【答案】（1） （2）
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【解析】试题分析：（1）由于规定每人最多投3次，且若前两次得分之和超过3分即停止，所以若该同学投篮3次，则说明该同学投篮情况可以分为两类，第一类是：第1次投中，第2次不中，第3次投中或不中，第二类是第1次不中，第2次中或不中，第3次中或不中，所以概率为，或者还可以转化为若前2次都投中，则不需要投第3次，所以根据对立事件概率可以求投篮3次的概率；（2）根据题意，随机变量X的所有可能取值为0，2，3，4，5，若得0分，则说明3次投篮均未投中，若得2分，则说明第1次未投中，第2，3次中一次，若得3分，则说明第1次投中，第2，3次未投中，若得4分，则说明第1次未投中，第2，3次全投中，若得5分，则说明前两次均投中或第1次和第3次投中，第2次未投中，于是可以求相应概率，写出分布列，于是求出数学期望。
试题解析：（1）...
（2）;
;
;
;
随机变量的分布列为
0
2
3
4
5
0.03
0.24
0.01
0.48
0.24
∴
点睛：求离散型随机变量分布列常见的三种类型：
类型一：由统计数据得到离散型随机变量分布列；
类型二：由古典概型求出离散型随机变量分布列，超几何分布列的求解即为该类型题目；
类型三：有互斥事件、独立事件的概率求出离散型随机变量的分布列。
20. 如图，在三棱锥中， 平面， ，，
为的中点．
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（1）求证：⊥平面；
（2）若动点满足∥平面，问：当时，平面与平面所成的锐二面角是否为定值？若是，求出该锐二面角的余弦值；若不是，说明理由．
【答案】（1）见解析（2）是定值，该锐二面角的余弦值为...
【解析】试题分析：（1）欲证明直线AB垂直于平面COD，根据线面垂直判定定理，应证明AB垂直于平面COD内的两条相交直线，根据已知OA=OB且D为AB中点，所以ABOD，又因为平面，所以易知ABOC，由于OD OC=O，于是根据线面垂直判定定理，得证⊥平面；（2）由第（1）问易知，OA，OB，OC两两互相垂直，故以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系（如图），由已知可得
，由∥平面，故设．根据，求出E点坐标，
设平面的法向量为，求出，又平面的法向量为，于是可以求出 ，得到平面与平面所成的锐二面角的值。
试题解析：（1）在三棱锥中， 平面，
．
又，为的中点，
∴ ．
∵，∴⊥平面．
（2）∵，， ．
由平面，故以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系（如图），由已知可得
．
由∥平面，故设．
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由，得，
故，即．
设平面的法向量为，由，，得
令，得．
又平面的法向量为，
所以．
故平面与平面所成的锐二面角定值，该锐二面角的余弦值为．
21. 已知 其中 。
（1）若 与 的图像在交点（2， ）处的切线互相垂直，求的值；
（2）若 是函数 的一个极值点， 和1是 的两个零点，且，求 .
【答案】（1） （2）n=3
【解析】试题分析：（1）若 与 的图像在交点（2， ）处的切线互相垂直，则可知，于是可以求出的值；（2）
，则，又，于是可以求出的值，然后根据函数的单调性及函数零点存在性定理来确定函数零点所在的区间，从而确定n的取值。
试题解析：（1），
由题知，即 解得
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（2）=，
由题知，即 解得=6，=－1 ...
∴=6－（－），=
∵＞0，由＞0，解得0＜＜2；由＜0，解得＞2
∴在（0,2）上单调递增，在（2，+∞）单调递减，
故至多有两个零点，其中∈（0,2），∈（2, +∞）=
又＞=0，=6（－1）＞0，=6（－2）＜0
∴∈（3,4），故=3
点睛：函数零点问题是考查频率较高的问题，尤其是零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。
22. （选修4-4：坐标系与参数方程选做）
已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在极坐标系（以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴）中，曲线的方程为，曲线交于两点．
（1）若且定点，求+的值；
（2）若成等比数列，求的值．
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）曲线的极坐标方程可化为，即，当时，方程为，将直线的参数方程带入抛物线，得到关于的一元二次方程，根据直线参数方程标准形式的几何意义，，于是可以求出的值；（2）将曲线的参数方程带入抛物线，得到方程，根据直线参数方程标准形式的几何意义，，，，于是
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，于是有，整理得，于是可以求出的值。
试题解析：（1）∵曲线的方程为，
∴曲线的直角坐标方程为，又已知，
∴曲线的直角坐标方程为，将曲线的参数方程（为参数）与联立得，由于，
所以设方程两根为，∴，，∴.
（2）将曲线的参数方程（为参数）与联立得
，由于，所以设方程两根为，∴，，且，
又,,成等比数列，
∴，∴，∴，
即，∴，∴，
解得，又，
∴，∴当,,成等比数列时，的值为
23. （选修4-5：不等式选讲选做）
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
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【解析】试题分析：（1）先将函数转化为分段函数，不等式等价于，根据分段函数可以转化为，于是得到不等式的解集；（2）根据的取值分类讨论，当时，不等式为，对任意恒成立，当时，不等式转化为对任意恒成立，而，所以，即得出的取值范围。...
（1）∵，∴由得，
∴，解得，∴不等式的解集为
（2）①当时，不等式恒成立，此时.
②当时，问题等价于不等式对任意恒成立，
∵.当，或时，，
∴，解得，
综上，知实数的取值范围是.
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