河南省XX中学2018届高三8月开学考试数学试卷（理）含答案.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017-2018学年高三8月第一次月考 数学（理）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知复数（其中是虚数单位），那么的共轭复数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 展开式中第3项的二项式系数为（ ）‎ A．6 B．-6 C． 24 D． -24‎ ‎4.命题“，”的否定是（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎5.某单位共有职工150名，其中高级职称45人，中级职称90人，初级职称15人，现采用分层抽样方法从中抽取容量为30的样本，则各职称人数分别为（ ）‎ A．9,18,3 B． 10,15,5 C. 10,17,3 D．9,16,5‎ ‎6.把边长为1的正方形沿对角线折起，使得平面平面，形成三棱锥的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为（ ）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ ‎ A． B． C. D．‎ ‎7.已知平面上的单位向量与的起点均为坐标原点，它们的夹角为，平面区域由所有满足的点组成，其中，那么平面区域的面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.函数，给出下列四个命题：‎ ‎①在区间上是减函数；②直线是函数图像的一条对称轴；③函数的图像可由函数的图像向左平移个单位得到；④若，则的值域是，其中，正确的命题的序号是（ ）‎ A．①② B．②③ C. ①④ D．③④‎ ‎9.已知，则的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.若圆与双曲线的一条渐近线相切，则此双曲线的离心率为（ ）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A． B． C. 2 D．‎ ‎11.对于使成立的所有常数中，我们把的最小值叫做的上确界，若正数且，则的上确界为（ ）‎ A． B． C. D．-4‎ ‎12.对于函数和，设，，若存在，使得，则称和互为“零点相邻函数”，若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.椭圆：的左焦点为，若关于直线的对称点是椭圆上的点，则椭圆的离心率为 ．‎ ‎14.连掷两次骰子得到的点数分别为和，若记向量与向量的夹角为，则为锐角的概率是 ．‎ ‎15.某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如表：‎ 货物 体积（升/件）‎ 重量（公斤/件）‎ 利润（元/件）‎ 甲 ‎20‎ ‎10‎ ‎8‎ 乙 ‎10‎ ‎20‎ ‎10‎ 运输限制 ‎110‎ ‎100‎ 在最合理的安排下，获得的最大利润的值为 ．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎16.已知分别为内角的对边，，且，则面积的最大值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 设数列的前项和为，， .‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）是否存在正整数，使得？若存在，求出值；若不存在，说明理由.‎ ‎18. 一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为，，，，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图）.‎ ‎（1）求的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；‎ ‎（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在内的小球个数为，求的分布列和数学期望.（以直方图中的频率作为概率）‎ ‎19. 如图，已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰为的中点，且.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求到平面的距离；‎ ‎（3）求二面角的平面角的余弦值.‎ ‎20. 已知抛物线：，焦点，为坐标原点，直线（不垂直轴）过点且与抛物线交于两点，直线与的斜率之积为.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）若为线段的中点，射线交抛物线于点，求证：.‎ ‎21. 设，.‎ ‎（1）若，求的单调区间；‎ ‎（2）讨论在区间上的极值点个数；‎ ‎（3）是否存在，使得在区间上与轴相切？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知曲线：，：，：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，设与交于点.‎ ‎（1）求点的极坐标；‎ ‎（2）若直线过点，且与曲线交于两不同的点，求的最小值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 设函数.‎ ‎（1）当时，求函数的定义域；‎ ‎（2）若函数的定义域为，试求的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 CAABA DDADA AD 二、填空题 13. 14. 15.62 16. ‎ 三、解答题 ‎17．（1），，‎ 所以时，‎ 两式相减得：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 即，也即，‎ 所以是等差数列，‎ 所以．‎ ‎（2），‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以 所以，所以 即当时，．‎ ‎18．【解】（Ⅰ）由题意，得，解得；‎ 又由最高矩形中点的的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20（克），‎ 而个样本小球重量的平均值为：（克）‎ 故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为克；‎ ‎（Ⅱ）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在内的概率为，‎ 则.的可能取值为、、、，‎ ‎，，‎ ‎，. ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 的分布列为：‎ ‎.‎ ‎（或者）‎ ‎19．解：（1）∵A1在底面ABC上的射影为AC的中点D，‎ ‎∴平面A1ACC1⊥平面ABC，‎ ‎∵BC⊥AC且平面A1ACC1∩平面ABC=AC，‎ ‎∴BC⊥平面A1ACC1，‎ ‎∴BC⊥AC1，‎ ‎∵AC1⊥BA1且BC∩BA1=B，‎ ‎∴AC1⊥平面A1BC。‎ ‎（2）如图所示，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，‎ ‎∵AC1⊥平面A1BC，‎ ‎∴AC1⊥A‎1C，‎ ‎∴四边形A1ACC1是菱形，‎ ‎∵D是AC的中点，‎ ‎∴∠A1AD=60°，‎ ‎∴A（2，0，0），A1（1，0，），B（0，2，0）， C1（-1，0，），‎ ‎∴=（1，0，），=（-2，2，0），‎ 设平面A1AB的法向量=（x，y，z），‎ ‎∴，‎ 令z=1，‎ ‎∴=（，，1），‎ ‎∵=（2，0，0），‎ ‎∴，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴C1到平面A1AB的距离是 ‎（3）平面A1AB的法向量=（，，1），平面A1BC的法向量=（-3，0，），‎ ‎∴，‎ 设二面角A-A1B-C的平面角为θ，θ为锐角，‎ ‎∴，‎ ‎∴二面角A-A1B-C的余弦值为 ‎20．I）解：∵直线AB过点F且与抛物线C交于A，B两点，，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB（不垂直x轴）的方程可设为．‎ ‎∴，．‎ ‎∵直线OA与OB的斜率之积为﹣p，‎ ‎∴．∴，得 x1x2=4．‎ 由，化为，‎ 其中△=（k2p+2p）2﹣k2p2k2＞0‎ ‎∴x1+x2=，x1x2=．‎ ‎∴p=4，抛物线C：y2=8x． ‎ ‎（Ⅱ）证明：设M（x0，y0），P（x3，y3），∵M为线段AB的中点，‎ ‎∴，．‎ ‎∴直线OD的斜率为．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 直线OD的方程为代入抛物线C：y2=8x的方程，‎ 得．∴．‎ ‎∵k2＞0，∴‎ ‎21.解：（1）当时：，（）‎ 故 当时：，当时：，当时：．‎ 故的减区间为：，增区间为 ‎（2）‎ 令，故,,‎ 显然，又当时：．当时：．‎ 故，，．‎ 故在区间上单调递增，‎ 注意到：当时，，故在上的零点个数由的符号决定． ……5分 ‎①当，即：或时：在区间上无零点，即无极值点．‎ ‎②当，即：时：在区间上有唯一零点，即有唯一极值点．‎ 综上：当或时：在上无极值点．‎ 当时：在上有唯一极值点． ‎ ‎（3）假设存在，使得在区间上与轴相切，则必与轴相切于极值点处，‎ 由（2）可知：．不妨设极值点为，则有：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎…（*）同时成立． ‎ 联立得：，即代入（*）可得．‎ 令，．‎ 则，，当 时 （2）．‎ 故在上单调递减．又， ．‎ 故在上存在唯一零点．‎ 即当时，单调递增．当时，单调递减．‎ 因为，．‎ 故在上无零点，在上有唯一零点． ‎ 由观察易得，故，即：．‎ 综上可得：存在唯一的使得在区间上与轴相切． ‎ 请考上在第22、23三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.‎ ‎22．解：（I）由解得点的直角坐标为因此点的极坐标为 ‎（II）设直线的参数方程为为参数），代入曲线的直角坐标方程并整理得设点对应的参数分别为则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时，，有最小值 ‎23. (1)当时,.由可得,‎ 或或,解得或 即函数的定义域为 ‎ ‎(2)依题可知恒成立,即恒成立,‎ 而当且仅当即时取等号,所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费