【人教版】八年级上小专题（5）构造全等三角形的方法技巧同步练习及答案.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 小专题(五)　构造全等三角形的方法技巧 ‎(本专题部分习题有难度，请根据实际情况选做)‎ 方法1　利用补形构造全等三角形 ‎1．已知：如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，AE平分∠BAC，BE⊥AE，求证：BE＝AD.‎ 方法2　利用“截长补短法”构造全等三角形 ‎2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B，试判断AB，AC，CD三者之间的数量关系，并说明理由．(想一想，你会几种方法)‎ ‎3．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD，CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并加以证明．‎ ‎4．如图，AD∥BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，E是DC的中点．问：AD，BC，AB之间有何关系？并说明理由．‎ ‎5.(德州中考)问题背景：‎ 如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°.E，F分别是BC，CD 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 上的点．且∠EAF＝60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．‎ ‎(1)小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G.使DG＝BE.连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是________________；‎ ‎(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．‎ 方法3　利用“倍长中线法”构造全等三角形 ‎6．已知△ABC中，AB＝4 cm，BC＝6 cm，BD是AC边上的中线，求BD的取值范围．‎ ‎7．已知：如图，AD，AE分别是△ABC和△ABD的中线，且BA＝BD.求证：AE＝AC.‎ ‎8．如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE＝2AM.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 小专题(五)　构造全等三角形的方法技巧 1． 延长AC、BE交于点F，∵∠ACB＝90°，BE⊥AE，‎ ‎∴∠CAD＋∠CDA＝90°，∠EDB＋∠EBD＝90°.‎ ‎∵∠CDA＝∠EDB，‎ ‎∴∠CAD＝∠EBD，即∠CAD＝∠CBF.‎ 在△ADC和△BFC中， ‎∴△ADC≌△BFC.∴AD＝BF.‎ 在△AEF和△AEB中， ‎∴△AEF≌△AEB.∴BE＝EF，即BE＝BF.‎ ‎∴BE＝AD.　‎ 2. AB＝AC＋CD.‎ 理由如下：方法1：在AB上截取AE＝AC，连接DE ‎.易证△AED≌△ACD(SAS)，∴ED＝CD，∠AED＝∠C.‎ ‎∵∠AED＝∠B＋∠EDB，∴∠C＝∠AED＝∠B＋∠EDB.‎ 又∵∠C＝2∠B，‎ ‎∴∠B＝∠EDB.∴BE＝DE.‎ ‎∴AB＝AE＋BE＝AC＋DE＝AC＋CD.‎ 方法2：延长AC到点F，使CF＝CD，连接DF.‎ ‎∵CF＝CD，∴∠CDF＝∠F.‎ ‎∵∠ACB＝∠CDF＋∠F，∴∠ACB＝2∠F.‎ 又∵∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠F.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 又∵∠BAD＝∠FAD，AD＝AD，‎ ‎∴△ABD≌△AFD(AAS)．‎ ‎∴AB＝AF.∴AB＝AF＝AC＋CF＝AC＋CD.　‎ 2. 证明：在BC上截取BF＝BE，连接OF.‎ ‎∵BD平分∠ABC，‎ ‎∴∠EBO＝∠FBO.‎ ‎∴△EBO≌△FBO.‎ ‎∴∠EOB＝∠FOB.‎ ‎∵∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，‎ ‎∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－(180°－∠A)＝120°.‎ ‎∴∠EOB＝∠DOC＝60°.‎ ‎∴∠BOF＝60°，∠FOC＝∠DOC＝60°.‎ ‎∵CE平分∠DCB，‎ ‎∴∠DCO＝∠FCO.‎ ‎∴△DCO≌△FCO.‎ ‎∴CD＝CF.∴BC＝BF＋CF＝BE＋CD.　‎ 3. AB＝AD＋BC.理由：作EF⊥AB于F，连接BE.‎ ‎∵AE平分∠BAD，DC⊥AD，EF⊥AB，‎ ‎∴EF＝DE.‎ ‎∵DE＝CE，∴EC＝EF.‎ ‎∴Rt△BFE≌Rt△BCE(HL)．∴BF＝BC ‎.同理可证：AF＝AD.‎ ‎∴AD＋BC＝AF＋BF＝AB，即AB＝AD＋BC.　‎ 4. ‎(1)EF＝BE＋DF　(2)EF＝BE＋DF仍然成立．证明：延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，‎ ‎∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠ADG＝180°，‎ ‎∴∠B＝∠ADG.在△ABE和△ADG中， ‎∴△ABE≌△ADG(SAS)．∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG.‎ ‎∵∠EAF＝∠BAD，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF.∴∠EAF＝∠GAF.‎ 在△AEF和△AGF中， ‎∴△AEF≌△AGF(SAS)．∴EF＝FG.‎ ‎∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF.‎ 2. 延长BD至E，使DE＝BD.连接CE.‎ ‎∵BD是AC边上的中线，∴AD＝CD.‎ ‎∵∠BDA＝∠EDC，∴△BDA≌△EDC(SAS)．∴CE＝AB.‎ 在△CBE中，BC－CE