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[学业水平训练]
1．等比数列{an}的公比q＝－，a1＝，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数数列 D．摆动数列
解析：选D.因为等比数列{an}的公比为q＝－，a1＝，故a2＜0，a3＞0，所以数列{an}是摆动数列．
2．等比数列{an}中，a9＋a10＝a(a≠0)，a19＋a20＝b，则a99＋a100等于( )
A. B．()9
C. D．()10
解析：选A.＝＝q10＝，
∴a99＋a100＝(a9＋a10)q90＝a×()9＝.
3．(2014·曲阜高二期中)等比数列{an}中，a2＋a3＝6，a2a3＝8，则q＝( )
A．2 B.
C．2或 D．－2或－
解析：选C.由已知得a2，a3为x2－6x＋8＝0的两个根，解得两根为2或4，
当a2＝2，a3＝4时，q＝2，
当a2＝4，a3＝2时，q＝.
4．在1与100之间插入n个正数，使这n＋2个数成等比数列，则插入的n个数的积为( )
A．10n B．n10
C．100n D．n100
解析：选A.设这n＋2个数为a1，a2，…，an＋2，则插入的n个数的积为a2·a3…an＋1＝(a1an＋2)＝(100)＝10n.
5．已知等比数列{an}各项均为正数，且a1，a3，a2成等差数列，则等于( )
A. B.
C. D.或
解析：选B.由题意，得a3＝a1＋a2，即a1q2＝a1＋a1q，
∴q2＝1＋q，解得q＝.
又∵{an}各项均为正数，∴q＞0，即q＝.
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∴＝＝＝.
6．已知{an}是等比数列，且a3a5a7a9a11＝243，则的值为________．
解析：∵a3a5a7a9a11＝a＝243，∴a7＝3，
∴＝＝a7＝3.
答案：3
7．设各项为正数的等比数列{an}中，公比q＝2，且a1·a2·a3…a30＝230，则a3·a6·a9…a30＝________．
解析：∵a1·a2·a3…a30＝230，
∴aq1＋2＋3＋…＋29＝aq，
∴a1＝2－，∴a1q＝2，
∴a3·a6·a9…a30＝a(q3)
＝(2－×22)10×(23)45＝220.
答案：220
8．一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB，然后每3 min自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后________min，该病毒占据64 MB(1 MB＝210 KB)内存．
解析：由题意可得每3 min病毒占的内存容易构成一个等比数列，令病毒占据64 MB时自身复制了n次，即2×2n＝64×210＝216，解得n＝15，从而复制的时间为15×3＝45(min)．
答案：45
9．实数等比数列{an}中，a3＋a7＋a11＝28，a2·a7·a12＝512，求q.
解：法一：由条件得
由②得a＝512，即a7＝8.
将其代入①得2q8－5q4＋2＝0.
解之得q4＝或q4＝2，即q＝± 或q＝±.
法二：∵a3a11＝a2a12＝a，∴a＝512，
即a7＝8.于是有
即a3和a11是方程x2－20x＋64＝0的两根．
解此方程得x＝4或x＝16.
因此或
又∵a11＝a3·q11－3＝a3·q8，
∴q＝±()＝±4＝±或q＝±()＝±.
10．(2014·广州高二检测)已知{an}是等比数列，首项a1＝1，公比为q(q≠0，q≠1)且bn
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＝an＋1－an.
(1)判断数列{bn}是否为等比数列．并说明理由；
(2)求数列{bn}的通项公式．
解：(1)因为{an}是等比数列，首项a1＝1，公比为q，所以an＝a1qn－1＝qn－1，
＝＝q，所以{bn}是以q－1为首项，q为公比的等比数列．
(2)由(1)知，bn＝b1qn－1＝(q－1)qn－1.
[高考水平训练]
1．公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝( )
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：选D.∵{an}为等差数列，2a3－a＋2a11＝0，
∴4a7－a＝0，∴a7＝4，a7＝0(舍去)∴b7＝a7＝4.
∵{bn}是等比数列，∴b6b8＝b＝42＝16.
2．(2014·湖北省武汉市高考适应训练)已知函数f(x)＝2x－1(x∈R)．规定：给定一个实数x0，赋值x1＝f(x0)，若x1≤257，则继续赋值x2＝f(x1)；若x2≤257，则继续赋值x3＝f(x2)；…以此类推．若xn－1≤257，则xn＝f(xn－1)，否则停止赋值．已知赋值k(k∈N＋)次后该过程停止，则x0的取值范围是________．
解析：依题意得xn＝2xn－1－1，则xn－1＝2(xn－1－1)，
于是xn－1＝2n(x0－1)，即xn＝2n(x0－1)＋1.
依题意有，即，
即，由此解得28－k＋1＜x0≤29－k＋1，
即x0的取值范围是(28－k＋1，29－k＋1]．
答案：(28－k＋1，29－k＋1]
3．数列{an}中，a＝4an，a1＝1，an＞0，求其通项公式．
解：∵an＞0，对a＝4an，两边取对数，得2log2an＋1＝log2an＋2.
令bn＝log2an，则2bn＋1＝bn＋2，即2(bn＋1－2)＝bn－2.
令Cn＝bn－2，则Cn＋1＝Cn，且a1＝1，∴b1＝0，C1＝－2，
∴{Cn}为等比数列．∴Cn＝－2()n－1＝－()n－2.
∴bn＝2－()n－2，an＝22－()n－2.
4．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＞0，且第2项，第5项，第14项分别是一个等比数列的第2项，第3项，第4项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，Sn为数列{bn}的前n项和，是否存在最大的整数t，使得对任意的n均有Sn＞成立？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
解：(1)由题意，(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2，整理得2a1d＝d2，又a1＝1，d＞0，∴d
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＝2，an＝2n－1.
(2)bn＝＝＞0，所以数列{Sn}是递增数列，S1＝b1＝为Sn的最小值， 故＞，t＜9，又t为整数，所以适合条件的t的最大值为8.
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