第二十一章一元二次方程单元测试
一、单选题（共10题；共30分）
1、上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元. 下列所列方程中正确的是（）
A、168（1+a）2=128 B、168（1-a%）2=128
C、168（1-2a%）=128 D、168（1-a2%）=128
2、在俄罗斯民间流着这样一道数学趣题：甲、乙两人合养了若干头羊，而每头羊的卖价又恰与羊的头数相等，全部卖完后，两人按下面的方法分钱：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该找补给乙多少元？（ ）
A、1元 B、2元 C、3元 D、4元
3、已知关于x的方程(m+3)x2+x+m2+2m-3=0的一根为0，另一根不为0，则m的值为（ ）
A、1 B、-3 C、1或-3 D、以上均不对
4、用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（ ）
A、(2x－2)(3x－4) =0 ∴2－2x=0或3x－4=0 B、(x+3)(x－1)=1 ∴x+3=0或x－1=1
C、(x－2)(x－3)=2×3 ∴x－2=2或x－3=3 D、x(x+2)=0 ∴x+2=0
5、已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足，则m的值是
A、3或﹣1 B、3 C、1 D、﹣3或1
6、方程x2=9的解是（ ）
A、x1=x2=3 B、x1=x2=9 C、x1=3，x2=﹣3 D、x1=9，x2=﹣9
7、如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+2k=0有两个实数根，那么实数k的取值范围是（ ）
A、k≤ B、k C、k D、k
8、已知x=2是方程x2﹣6x+m=0的根，则该方程的另一根为（ ）
A、2 B、3 C、4 D、8
9、若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A、k＞1 B、k≠0 C、k＜1 D、k＜1且k≠0
10、（2017•黔东南州）已知一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1 ， x2 ， 则 + 的值为（ ）
A、2 B、﹣1 C、 D、﹣2
二、填空题（共8题；共25分）
11、（2015•凉山州）已知实数m，n满足3m2+6m﹣5=0，3n2+6n﹣5=0，且m≠n，则=________ ．
12、校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形实验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横个开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m2 ， 小道的宽应是 ________ 米．
13、已知x为实数，且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3=0，那么x2+3x=________ .
14、某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，那么根据题意可列关于x的方程是________
15、关于x的一元二次方程x2+3x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________
16、方程3x2﹣2x﹣1=0的一次项系数是________，常数项是________．
17、关于x的方程kx2﹣4x+3=0有实数根，k的取值范围________．
18、关于x的方程x2﹣4x+k=0有两个相等的实数根，则实数k的值为________．
三、解答题（共5题；共35分）
19、已知关于x的方程（a-1）+2x+a-1=0．
（1）若该方程有一根为2，求a的值及方程的另一根；
（2）当a为何值时，方程仅有一个根？求出此时a的值及方程的根．
20、某商场进价为每件40元的商品，按每件50元出售时，每天可卖出500件.如果这种商品每件涨价1元，那么平均每天少卖出10件.当要求售价不高于每件70元时，要想每天获得8000元的利润，那么该商品每件应涨价多少元？
21、已知关于x的方程mx2﹣（m+3）x+3=0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）如果方程的两个实数根都是整数，且有一根大于1，求满足条件的整数m的值．
22、解方程：﹣x2﹣2x=2x+1
23、（2016•新疆）周口体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？
四、综合题（共1题；共10分）
24、已知关于x的方程x(x－k)＝2－k的一个根为2．(1)求k的值；(2)求方程2y(2k－y)＝1的解．
答案解析
一、单选题
1、【答案】 B
【考点】一元二次方程的应用
【解析】当商品第一次降价a%时，其售价为168-168a%=168（1-a%)；
当商品第二次降价a%后，其售价为168（1-a%)-168（1-a%)a%=168（1-a%)2．
∴168（1-a%)2=128．故选B．
2、【答案】 B
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】先设甲、乙两人合养了n头羊，两人先分了x次，每人每次10元，最后一次甲先拿了10元，乙拿了2y（0＜2y＜10，2y是整数)元，当甲找给乙钱后，甲乙都得到了（5+y)元，甲给了乙10-（5+y)=5-y元，再根据2y是奇数和偶数两种情况进行讨论即可．【解答】设甲、乙两人合养了n头羊，两人先分了x次，每人每次10元，最后一次甲先拿了10元，乙拿了2y（0＜2y＜10，2y是整数)元，当甲找给乙钱后，甲乙都得到了（5+y)元，甲给了乙10-（5+y)=5-y元，
∴有n2=20x+10+2y，
∵（20x+10)个位为0，2y是完全平方数的个位数，2y=1，4，5，6，9，
若2y是奇数，则2y=1，5，或9，
∴20x+10+2y=20x+11，20x+15或20x+19，
∵20x+11、20x+15、20x+19除以4的余数都是3，它们不是完全平方数，
∴2y是偶数，2y=4或6，y=2或3．
若y=2，n2=20x+14=2（10x+7)，右边不是完全平方数
∴y=3，
∴甲应该找给乙5-3=2（元)钱．
故选：B．【点评】本题考查的是一元二次方程的整数根与有理根，解答此题的关键是根据题意设出相应的未知数，得出关于n、x、y的方程，再分类讨论
3、【答案】 A
【考点】一元二次方程的解，根与系数的关系
【解析】【分析】首先将根为0代入方程解得m的值，然后利用根的判别式进行判断m的范围，再根据二次项系数不能为0，从而得到所求的m的值．【解答】∵关于x的方程（m+3)x2+x+m2+2m-3=0的一根为0，
∴（m+3)×02+0+m2+2m-3=0，
即m2+2m-3=0，
解得：m=1或-3．
又关于x的方程的另一根不为0，
所以△＞0，
即1-4（m+3)（m2+2m-3)＞0，
解得：m∈（-∞，+∞)，当m=-3时，m+3=0，此方程不可能有两根，
故选A．【点评】本题主要考查根与系数的关系、一元二次方程的解和根的判别式的综合运用，关键是求到m的取值范围
4、【答案】 A
【考点】解一元二次方程-因式分解法
【解析】【分析】根据因式分解法解一元二次方程的一般步骤依次分析各项即可判断.
【解答】A.(2x－2)(3x－4)=0，∴2－2x=0或3x－4=0，本选项正确；
B.(x+3)(x－1)=1，展开得，x2－x+3x－3－1=0，整理得，x2+2x－4=0，故错误；
C.(x－2)(x－3)=2×3，展开得，x2－3x－2x+6－6=0，整理得，x2－5x=0，x(x－5)=0，所以 x=0 或者 x-5=0 ，故错误；
D.x(x+2)=0，∴x=0 或者 x+2=0，故错误；
故选A.
【点评】熟练掌握各种解方程的一般方法是学习数学的基础，因而此类问题在中考中比较常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般.
5、【答案】 B
【考点】解一元二次方程-因式分解法，根的判别式，根与系数的关系
【解析】【分析】∵α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，
∴根据一元二次方程根与系数的关系，得α+β=﹣（2m+3），αβ=m2。
∵，即，∴，即m2﹣2m﹣3=0。
解得，m=3或m=﹣1。
又∵由方程x2+（2m+3）x+m2=0根的判别式解得，
∴m=﹣1不合题意，舍去。
∴m=3。故选B。
6、【答案】 C
【考点】解一元二次方程-直接开平方法
【解析】【解答】解：x2=9，
两边开平方，得x1=3，x2=﹣3．
故选C．
【分析】利用直接开平方法求解即可．
7、【答案】 A
【考点】根的判别式
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2k=0有两个实数根，
∴△=（﹣6）2﹣4×1×2k=36﹣8k≥0，
解得：k≤ ．
故选A．
【分析】由方程有两个实数根结合根的判别式，得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
8、【答案】 C
【考点】根与系数的关系
【解析】【解答】解：设关于x的方程x2﹣6x+m=0的另一个根是t，
由根与系数的关系得出：t+2=6，
则t=4．
故选：C．
【分析】设出方程的另一个跟，直接利用根与系数的关系求得答案即可．
9、【答案】 D
【考点】根的判别式
【解析】【解答】解：∵方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根， ∴△=（﹣6）2﹣4×k×9＞0，
解得：k＜1，
又∵k≠0，
∴k＜1且k≠0，
故选：D．
【分析】由方程有两个不相等的实数根得出∴△=（﹣6）2﹣4×k×9＞0，解之得出k的范围，结合一元二次方程的定义可得答案．
10、【答案】D
【考点】根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2=2，x1x2=﹣1， 所以 + = = =﹣2．
故选D．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1x2=﹣1，利用通分得到 + = ，然后利用整体代入的方法计算
二、填空题
11、【答案】
【考点】一元二次方程的解，根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m≠n时，则m，n是方程3x2+6x﹣5=0的两个不相等的根，∴m+n=﹣2，mn=﹣ ．
∴原式====﹣ ，
故答案为：﹣ ．
【分析】由m≠n时，得到m，n是方程3x2+6x﹣5=0的两个不等的根，根据根与系数的关系进行求解．
12、【答案】 2
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】解：设道路的宽为xm，依题意有
（32﹣x）（20﹣x）=540，
整理，得x2﹣52x+100=0，
∴（x﹣50）（x﹣2）=0，
∴x1=2，x2=50（不合题意，舍去），
答：小道的宽应是2m．
故答案为：2．
【分析】设道路的宽为xm，将4块草地平移为一个长方形，长为（32﹣x）m，宽为（20﹣x）m．根据长方形面积公式即可求出道路的宽．
13、【答案】1
【考点】解一元二次方程-因式分解法
【解析】【解答】解：设x2+3x=y，
方程变形得：y2+2y﹣3=0，即（y﹣1）（y+3）=0，
解得：y=1或y=﹣3，即x2+3x=1或x2+3x=﹣3（无解），
故答案为：1．
【分析】设x2+3x=y，方程变形后，求出解得到y的值，即可确定出x2+3x的值．
14、【答案】 289（1﹣x）2=256
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】解：根据题意可得两次降价后售价为289（1﹣x）2 ，
即方程为289（1﹣x）2=256．
故答案为：289（1﹣x）2=256．
【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可参照增长率问题进行计算，如果设平均每次降价的百分率为x，可以用x表示两次降价后的售价，然后根据已知条件列出方程．
15、【答案】
【考点】根的判别式
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2+3x﹣m=0有两个不相等的实数根，
∴△=32﹣4（﹣m）＞0，
∴
故答案为
【分析】根据一元二次方程x2+3x﹣m=0有两个不相等的实数根可得△=32﹣4（﹣m）＞0，求出m的取值范围即可．
16、【答案】 ﹣2；﹣1
【考点】一元二次方程的定义
【解析】【解答】解：方程3x2﹣2x﹣1=0的一次项系数是﹣2，常数项是﹣1，
故答案为：﹣2；﹣1．
【分析】根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；b叫做一次项系数，c叫做常数项可得答案．
17、【答案】 k≤
【考点】根的判别式
【解析】【解答】解：当k=0，方程变形为﹣4x+3=0，此一元一次方程的解为x= ；当k≠0，△=16﹣4k
×3≥0，解得k≤ ，且k≠0时，方程有两个实数根，
综上所述实数k的取值范围为k≤ ．
故答案为：k≤ ．
【分析】分类讨论：当k=0，方程变形为﹣4x+3=0，此一元一次方程有解；当k≠0，△=16﹣4k×3≥0，方程有两个实数解，得到k≤ 且k≠0，然后综合两种情况即可得到实数k的取值范围．
18、【答案】4
【考点】根的判别式
【解析】【解答】解：∵方程x2﹣4x+k=0有两个相等的实数根， ∴△=（﹣4）2﹣4k=0，
即﹣4k=﹣16，
k=4
故本题答案为：4．
【分析】若一元二次方程有两等根，则根的判别式△=b2﹣4ac=0，建立关于k的方程，求出k的取值．
三、解答题
19、【答案】 （1）将x＝2代入方程 ， 得 ， 解得：a＝ ．
将a＝代入原方程得 ， 解得：x1＝ ， x2＝2．
∴a＝ ， 方程的另一根为.
（2）①当a＝1时，方程为2x＝0，解得：x＝0.
②当a≠1时，由b2－4ac＝0得4－4(a－1)2＝0，解得：a＝2或0．
当a＝2时， 原方程为：x2＋2x＋1＝0，解得：x1＝x2＝－1；
当a＝0时， 原方程为：－x2＋2x－1＝0，解得：x1＝x2＝1．
综上所述，当a＝1，0，2时，方程仅有一个根，分别为0，1，－1.
【考点】一元二次方程的解，根的判别式
【解析】【分析】（1）把x=2代入方程，求出a的值，再把a代入原方程，进一步解方程即可；
（2）分两种情况探讨：①当a=1时，为一元一次方程；②当a≠1时，利用b2－4ac＝0求出a的值，再代入解方程即可．
20、【答案】 解：设售价应提高x元，依题意得
（10+x）（500-10x）=8000，
解这个方程，得x1=10，x2=30，
∵售价不高于70元，所以x=30不符合题意，
答：该商品每件应涨价10元．
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】一个商品原利润为50-40=10元，提价x元，现在利润为(10+x)元；根据题意，销售量为500-10x，由一个商品的利润×销售量=总利润，列方程求解．
21、【答案】 （1）证明：∵m≠0，
∴方程mx2﹣（m+3）x+3=0（m≠0）是关于x的一元二次方程，
∴△=（m+3）2﹣4×m×3
=（m﹣3）2 ，
∵（m﹣3）2≥0，即△≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵x=，
∴x1=1，x2=，
∵方程的两个实数根都是整数，且有一根大于1，
∴为大于1的整数，
∵m为整数，
∴m=1．
【考点】根的判别式
【解析】【分析】（1）先计算判别式得到△=（m+3）2﹣4×m×3=（m﹣3）2 ， 利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）利用公式法可求出x1=1，x2= ， 然后利用整除性即可得到m的值．
22、【答案】 解：方程整理得：x2+4x+1=0，
这里a=1，b=4，c=1，
∵△=16﹣4=12，
∴x==﹣2±；
【考点】解一元二次方程-公式法
【解析】【分析】方程整理后，利用公式法求出解即可；
23、【答案】 解：设要邀请x支球队参加比赛，由题意，得
x（x﹣1）=28，
解得：x1=8，x2=﹣7（舍去）．
答：应邀请8支球队参加比赛
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】设要邀请x支球队参加比赛，则比赛的总场数为 x（x﹣1）场，与总场数为28场建立方程求出其解即可．本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时单循环形式比赛规则的总场数为等量关系建立方程是关键．
四、综合题
24、【答案】 （1）解：将x＝2代入所给的方程中得：
，解得 ；
（2）解：将 代入方程2y(2k－y)＝1中得方程2y(4－y)＝1，整理得 ∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【考点】解一元二次方程-公式法
【解析】【分析】先根据2是所给方程的一个根求出k的值，将k的值代入（2）中可得到关于y的一元二次方程，整理成一般形式以后利用公式法解方程．
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