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期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均由四个备选答案，其中有且只有一个正确，请将各题正确答案的代号填入到答题卷相应的答题栏中
1．一元二次方程3x2﹣8x﹣10=0中的一次项系数为（ ）
A．3 B．8 C．﹣8 D．﹣10
2．如果﹣2是方程x2﹣m=0的一个根，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣4 C．3 D．4
3．下列正多边形中，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（ ）
A．正方形 B．正五边形 C．正六边形 D．正八边形
4．将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为（ ）
A．y=x2﹣1 B．y=x2+1 C．y=（x﹣1）2 D．y=（x+1）2
5．电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，下列方程正确的是（ ）
A．x（x+1）=81 B．1+x+x2=81 C．1+x+x（x+1）=81 D．1+（x+1）2=81
6．一元二次方程x2+x﹣6=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实根 D．无法确定
7．如图，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，若AE⊥BC，∠ADC=65°，则∠ABC的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
8．对于抛物线y=ax2﹣4ax+3a下列说法：①对称轴为x=2；②抛物线与x轴两交点的坐标分别为（1，0），（3，0）；③顶点坐标为（2，﹣a）；④若a＜0，当x＞2时，函数y随x的增大而增大，其中正确的结论有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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9．如图，矩形ABCD的两边BC、CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A（﹣1，2），将矩形ABCD沿x轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为A1，经过第二次翻滚点A对应点记为A2…依此类推，经过5次翻滚后点A对应点A5的坐标为（ ）
A． C．
10．如图，等边△ABC的边长为3，F为BC边上的动点，FD⊥AB于D，FE⊥AC于E，则DE的长为（ ）
A．随F点运动，其值不变
B．随F点运动而变化，最大值为
C．随F点运动而变化，最小值为
D．随F点运动而变化，最小值为
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．x2﹣6x+（______）=（x﹣______）2
12．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象的顶点坐标是______．
13．若m、n是方程x2+6x﹣5=0的两根，则3m+3n﹣2mn=______．
14．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），该抛物线的对称轴为直线x=﹣1，若点C（﹣，y1），D（﹣，y2），E（，y3）均为函数图象上的点，则y1，y2，y3的大小关系为______．
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15．已知点C为线段AB上一点，且AC2=BCAB，则=______．
16．在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，将△ABC绕点A旋转60°到△ADE的位置，点C的对应点为E，连接CD，若AC=BC=1，则CD的长为______．
三、解答题（共72分）
17．选择适当方法解方程：2x2﹣x﹣3=0．
18．已知关于x的方程x2﹣4x+1﹣p2=0．
（1）若p=2，求原方程的根；
（2）求证：无论p为何值，方程总有两个不相等的实数根．
19．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（2，﹣）
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当y＜0时，x的取值范围是______（直接写出结果）
20．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（1，﹣1），B（3，1），将线段AB绕点O逆时针旋转90°到对应线段CD（点A与点C对应，点B与D对应）．
（1）请在图中画出线段CD；
（2）请直接写出点A、B的对应点坐标C（______，______），D（______，______）；
（3）在x轴上求作一点P，使△PCD的周长最小，并直接写出点P的坐标（______，______）．
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21．如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，以AD为腰作等腰△ADE，AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接CE．
（1）求证：BD=CE；
（2）已知BC=8，∠BAC=∠DAE=30°，若△DCE的面积为1，求线段BD的长．
22．某宾馆有50个房间可供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间的定价增加x元（x为10的整数倍），此时入住的房间数为y间，宾馆每天的利润为w元．
（1）直接写出y（间）与x（元）之间的函数关系；
（2）如何定价才能使宾馆每天的利润w（元）最大？
（3）若宾馆每天的利润为10800元，则每个房间每天的定价为多少元？
23．如图，在正方形ABCD中，将正方形的边AD绕点A顺时针旋转到AE，连接BE、DE，过点A作AF⊥BE于F，交直线DE于P．
（1）如图①，若∠DAE=40°，求∠P的度数；
（2）如图②，若90°＜∠DAE＜180°，其它条件不变，试探究线段AP、DP、EP之间的数量关系，并说明理由；
（3）继续旋转线段AD，若旋转角180°＜∠DAE＜270°，则线段AP、DP、EP之间的数量关系为______（直接写出结果）
24．在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+4x+4a（0＜a＜2）
（1）当C1与x轴有唯一一个交点时，求此时C1的解析式；
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（2）如图①，若A（1，yA），B（0，yB），C（﹣1，yC）三点均在C1上，连BC作AE∥BC交抛物线C1于E，求点E到y轴的距离；
（3）若a=1，将抛物线C1先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到抛物线C2，如图②，抛物线C2与x轴相交于点M、N（M点在N点的左边），抛物线的对称轴交x轴于点F，过点F的直线l与抛物线C2相交于P，Q（P在第四象限）且S△FMQ=2S△FNP，求直线l的解析式．
2015-2016学年湖北省武汉市黄陂区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均由四个备选答案，其中有且只有一个正确，请将各题正确答案的代号填入到答题卷相应的答题栏中
1．一元二次方程3x2﹣8x﹣10=0中的一次项系数为（ ）
A．3 B．8 C．﹣8 D．﹣10
【考点】一元二次方程的一般形式．
【分析】找出方程的一次项系数即可．
【解答】解：一元二次方程3x2﹣8x﹣10=0中的一次项系数为﹣8，
故选C
2．如果﹣2是方程x2﹣m=0的一个根，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣4 C．3 D．4
【考点】一元二次方程的解．
【分析】把x=﹣2代入方程，得到关于m的一元一次方程，可以求出m的值．
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【解答】解：∵x=﹣2是方程的根，
∴x=﹣2代入方程有：
4﹣m=0，
解得：m=4．
故选D．
3．下列正多边形中，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（ ）
A．正方形 B．正五边形 C．正六边形 D．正八边形
【考点】旋转对称图形．
【分析】求出各个选项图形的最小旋转角度，即可做出判断．
【解答】解：A、正方形的最小旋转角度为90°，故本选项错误；
B、正五边形的最小旋转角度为=72°，故本选项正确；
C、正六边形的最小旋转角度为=60°，故本选项错误；
D、正八边形的最小旋转角度为=45°，故本选项错误；
故选B．
4．将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为（ ）
A．y=x2﹣1 B．y=x2+1 C．y=（x﹣1）2 D．y=（x+1）2
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】直接根据上加下减的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为：y=x2﹣1．
故选A．
5．电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，下列方程正确的是（ ）
A．x（x+1）=81 B．1+x+x2=81 C．1+x+x（x+1）=81 D．1+（x+1）2=81
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
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【分析】首先设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了x台电脑，这（x+1）台电脑又感染给了x（1+x）台电脑．利用等量关系：经过两轮感染后就会有81台电脑被感染得出即可．
【解答】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑．
根据题意，得：1+x+x（1+x）=81，
故选：C．
6．一元二次方程x2+x﹣6=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实根 D．无法确定
【考点】根的判别式．
【分析】由根的判别式△=b2﹣4ac，即可判定一元二次方程x2+x﹣6=0的根的情况．
【解答】解：∵△=b2﹣4ac=12﹣4×1×（﹣6）=25＞0，
∴有两个不相等的实根．
故选C．
7．如图，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，若AE⊥BC，∠ADC=65°，则∠ABC的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【考点】旋转的性质．
【分析】先根据旋转的性质得AD=AC，∠BAE=∠CAD，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠CAD=50°，则∠BAE=50°，然后利用互余计算∠ABC的度数．
【解答】解：∵△ABC绕点A旋转到△AED的位置，
∴AD=AC，∠BAE=∠CAD，
∵AD=AC，
∴∠ACD=∠ADC=65°，
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∴∠CAD=180°﹣65°﹣65°=50°，
∴∠BAE=50°，
∵AE⊥BC，
∴∠ABC=90°﹣∠BAE=40°．
故选B．
8．对于抛物线y=ax2﹣4ax+3a下列说法：①对称轴为x=2；②抛物线与x轴两交点的坐标分别为（1，0），（3，0）；③顶点坐标为（2，﹣a）；④若a＜0，当x＞2时，函数y随x的增大而增大，其中正确的结论有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据对称轴公式x=﹣，进行计算即可；令y=0，求得方程ax2﹣4ax+3a=0的解即可；根据顶点坐标公式计算即可；由a＜0，得出对称轴的左侧，函数y随x的增大而增大．
【解答】解：对称轴x=﹣=﹣=2，故①正确；
令y=0，得ax2﹣4ax+3a=0，解得x=1或3，
∴抛物线与x轴两交点的坐标分别为（1，0），（3，0），故②正确；
==﹣1，
∴顶点坐标为（2，﹣1），故③错误；
当a＜0，当x＜2时，函数y随x的增大而增大，故④错误，
故选B．
9．如图，矩形ABCD的两边BC、CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A（﹣1，2），将矩形ABCD沿x轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为A1，经过第二次翻滚点A对应点记为A2…依此类推，经过5次翻滚后点A对应点A5的坐标为（ ）
A． C．
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【考点】规律型：点的坐标．
【分析】根据题意可以画出相应的图形，然后观察图形即可得到经过5次翻滚后点A对应点A5的坐标，从而解答本题．
【解答】解：如下图所示：
由题意可得上图，经过5次翻滚后点A对应点A5的坐标对应上图中的坐标，故A5的坐标为：（8，1）．
故选项A错误，选项B错误，选项C错误，选项D正确．
故选D．
10．如图，等边△ABC的边长为3，F为BC边上的动点，FD⊥AB于D，FE⊥AC于E，则DE的长为（ ）
A．随F点运动，其值不变
B．随F点运动而变化，最大值为
C．随F点运动而变化，最小值为
D．随F点运动而变化，最小值为
【考点】等边三角形的性质．
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【分析】作AG⊥BC于G，根据等边三角形的性质得出∠B=60°，解直角三角形求得AG=，根据S△ABF+S△ACF=S△ABC即可得出DF+EF=AG=，再根据三角形三边关系即可求解．
【解答】解：作AG⊥BC于G，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴AG=AB=，
∵S△ABF+S△ACF=S△ABC，
∴ABDF+ACEF=BCAG，
∵AB=AC=BC=2，
∴DF+EF=AG=，
∵△DEF中，DE＜DF+EF，
∴DE的长随F点运动而变化，最小值为．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．x2﹣6x+（ 9 ）=（x﹣ 3 ）2
【考点】完全平方式．
【分析】先根据乘积二倍项确定出后一个数为3，再根据完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2即可解答．
【解答】解：∵（x﹣3）2=x2﹣6x+32=x2﹣6x+9，
故答案为：9，3．
12．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象的顶点坐标是 （1，﹣4） ．
【考点】二次函数的性质．
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【分析】已知二次函数y=x2﹣2x﹣3为一般式，运用配方法转化为顶点式，可求顶点坐标．
【解答】解：∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣4）．
13．若m、n是方程x2+6x﹣5=0的两根，则3m+3n﹣2mn= ﹣8 ．
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系直接得到（m+n）、mn的值，然后将其代入所求的代数式进行求值．
【解答】解：∵m、n是方程x2+6x﹣5=0的两根，
∴m+n=﹣6，mn=﹣5，
∴3m+3n﹣2mn=3（m+n）﹣2mn=3×（﹣6）﹣2×（﹣5）=﹣8．
故答案是：﹣8．
14．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），该抛物线的对称轴为直线x=﹣1，若点C（﹣，y1），D（﹣，y2），E（，y3）均为函数图象上的点，则y1，y2，y3的大小关系为 y3＜y1＜y2 ．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】由于抛物线开口向上，对称轴是直线x=﹣1，然后利用两点离对称轴的远近比较函数值的大小．
【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=﹣1，开口向下，
∴离对称轴近的点的函数值大，
∵|﹣+1|＜|﹣+1|＜|+1|
∴y3＜y1＜y2．
故答案为y3＜y1＜y2．
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15．已知点C为线段AB上一点，且AC2=BCAB，则= ．
【考点】黄金分割．
【分析】根据黄金分割的概念得到点C为线段AB的黄金分割点，根据黄金比值得到答案．
【解答】解：∵点C为线段AB上一点，AC2=BCAB，
∴点C为线段AB的黄金分割点，
∴=，
故答案为：．
16．在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，将△ABC绕点A旋转60°到△ADE的位置，点C的对应点为E，连接CD，若AC=BC=1，则CD的长为 或 ．
【考点】旋转的性质．
【分析】分类讨论：当△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE的位置，如图1，作CH⊥ED于H，连结CE，根据旋转的性质得∠EAC=60°，∠AED=∠ACB=90°，AE=ED=AC=1，则可判断△AEC为等边三角形，所以∠AEC=60°，EC=CA=1，易得∠DEC=30°，然后在Rt△CEH中，利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出CH=CE=，EH=CH=，所以DH=ED﹣EH=1﹣，于是在Rt△CHD中，利用勾股定理可计算出CD；当△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE的位置，如图2，连结CE，作DH⊥CE于H，同样可证明△AEC为等边三角形得到∠AEC=60°，EC=CA=1，则∠DEC=150°，所以∠DEH=30°，利用含30度的直角三角形三边的关系在Rt△DEH中可计算出DH=DE=，EH=DH=，则CH=CE+EH=1+，然后在Rt△CHD中，利用勾股定理计算CD．
【解答】解：当△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE的位置，如图1，作CH⊥ED于H，连结CE，
则∠EAC=60°，∠AED=∠ACB=90°，AE=ED=AC=1，
∴△AEC为等边三角形，
∴∠AEC=60°，EC=CA=1，
∴∠DEC=30°，
在Rt△CEH中，CH=CE=，EH=CH=，
∴DH=ED﹣EH=1﹣，
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在Rt△CHD中，CD===；
当△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE的位置，如图2，连结CE，作DH⊥CE于H，
则∠EAC=60°，∠AED=∠ACB=90°，AE=ED=AC=1，
∴△AEC为等边三角形，
∴∠AEC=60°，EC=CA=1，
∴∠DEC=150°，
∴∠DEH=30°，
在Rt△DEH中，DH=DE=，EH=DH=，
∴CH=CE+EH=1+，
在Rt△CHD中，CD===，
纵上所述，CD的长为或=．
故答案为或=．
三、解答题（共72分）
17．选择适当方法解方程：2x2﹣x﹣3=0．
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【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】利用因式分解法解方程．
【解答】解：2x2﹣x﹣3=0，
（2x﹣3）（x+1）=0，
2x﹣3=0或x+1=0，
所以x1=，x2=﹣1．
18．已知关于x的方程x2﹣4x+1﹣p2=0．
（1）若p=2，求原方程的根；
（2）求证：无论p为何值，方程总有两个不相等的实数根．
【考点】根的判别式；一元二次方程的解．
【分析】（1）把p=2代入方程，解方程即可；
（2）利用根的判别式判定即可．
【解答】解：（1）若p=2，原方程为x2﹣4x﹣3=0，
解得：x1=2+，x2=2﹣；
（2）△=（﹣4）2﹣4×1×（1﹣p2）=4p2+12，
∵p2≥0，
∴4p2+12＞0，
∴无论p为何值，方程总有两个不相等的实数根．
19．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（2，﹣）
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当y＜0时，x的取值范围是 ﹣1＜x＜3 （直接写出结果）
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【分析】（1）已知抛物线上三点坐标，代入一般式，列三元一次方程组，求a、b、c的值，确定抛物线解析式，再求抛物线与y轴交点的纵坐标．
（2）根据抛物线的性质和与x轴的交点坐标求得即可．
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【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（2，﹣）代入抛物线解析式，得
解得
∴该函数的解析式为：y=x2﹣x﹣．
（2）由抛物线开口向上，交点为A（﹣1，0），B（3，0）可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；
故答案为﹣1＜x＜3．
20．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（1，﹣1），B（3，1），将线段AB绕点O逆时针旋转90°到对应线段CD（点A与点C对应，点B与D对应）．
（1）请在图中画出线段CD；
（2）请直接写出点A、B的对应点坐标C（ 1 ， 1 ），D（ ﹣1 ， 4 ）；
（3）在x轴上求作一点P，使△PCD的周长最小，并直接写出点P的坐标（ 0.5 ， 0 ）．
【考点】作图-旋转变换；轴对称-最短路线问题．
【分析】（1）利用网格特征和旋转的性质画出A点和B点的对应点；
（2）根据第一、二象限内点的坐标特征写出C点和D点坐标；
（3）A点与C点关于x轴对称，连结DA交x轴于点P，利用两点之间线段最短和判断此时△PCD的周长最小，于是可得到满足条件的P点坐标．
【解答】解：（1）如图，CD为所作；
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（2）C（1，1），D（﹣1，4）；
（3）P（0.5，0）．
故答案为1，1；﹣1，4；0.5，0．
21．如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，以AD为腰作等腰△ADE，AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接CE．
（1）求证：BD=CE；
（2）已知BC=8，∠BAC=∠DAE=30°，若△DCE的面积为1，求线段BD的长．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）易证∠BAD=∠EAC，即可证明△ABD≌△ACE，即可得到结论；
（2）过D作DF⊥EC交EC的延长线于F，由△ABD≌△ACE，得到∠ACE=∠B，根据∠BAC=30°，于是得到∠B+∠ACB=150°，等量代换得到∠BCE=∠ACB+∠ACE=150°，由邻补角的性质得到∠DCF=30°，根据直角三角形的性质得到DF=CD=（BC﹣BD）=（8﹣BD），根据△DCE的面积为1，列方程即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD=∠EAC，
在△ABD和△ACE中，
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，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE；
（2）过D作DF⊥EC交EC的延长线于F，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ACE=∠B，
∵∠BAC=30°，
∴∠B+∠ACB=150°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=150°，
∴∠DCF=30°，
∴DF=CD=（BC﹣BD）=（8﹣BD），
∵CE=BD，
∴DF=4﹣CE，
∵△DCE的面积为1，
∴DFCE=CFBD=（8﹣BD）BD=1，
解得：BD=4﹣，BD=4+（不合题意，舍去）．
22．某宾馆有50个房间可供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间的定价增加x元（x为10的整数倍），此时入住的房间数为y间，宾馆每天的利润为w元．
（1）直接写出y（间）与x（元）之间的函数关系；
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（2）如何定价才能使宾馆每天的利润w（元）最大？
（3）若宾馆每天的利润为10800元，则每个房间每天的定价为多少元？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）用一共有的房间减去房价增长减少的房间数即可；
（2）利用房间数乘每一间房间的利润即可得到函数解析式，配方法求得最大值即可．
（3）令w=10800，得到一元二次方程求解即可．
【解答】解：（1）y=50﹣x（0≤x≤100，且x是10的整数倍）；
（2）w=（50﹣x）（180+x﹣20）
=﹣x2+34x+8000；
=﹣（x﹣170）2+10890
∴当x=170时，w最大为10890．
∴当定价为170元时利润最大．
（3）令w=﹣（x﹣170）2+10890=10800
解得：x=200或x=140．
答：若宾馆每天的利润为10800元，则每个房间每天的定价为200或140元．
23．如图，在正方形ABCD中，将正方形的边AD绕点A顺时针旋转到AE，连接BE、DE，过点A作AF⊥BE于F，交直线DE于P．
（1）如图①，若∠DAE=40°，求∠P的度数；
（2）如图②，若90°＜∠DAE＜180°，其它条件不变，试探究线段AP、DP、EP之间的数量关系，并说明理由；
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（3）继续旋转线段AD，若旋转角180°＜∠DAE＜270°，则线段AP、DP、EP之间的数量关系为 PE=PD+PA （直接写出结果）
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）根据正方形的性质得到AD=AB，∠BAD=90°，由AD绕点A顺时针旋转到AE，得到AD=AE，根据等腰三角形的性质得到∠ADE=∠AED=70°，∠BAE=50°，∠FAE=∠FAB=25°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）如图2，过A作AQ⊥DE于Q，于是得到∠PAQ=∠BAQ+∠FAB，根据等腰三角形的性质得到∠FAE=∠BAF，由外角的性质得到∠APQ=∠EAF+∠AEP于是得到∠APQ=∠PAQ=45°，求出PQ=AP，由于PE+PQ=PD﹣PQ，即PE+AP=PD﹣AP，于是得到结论；
（3）如图3，过A作AQ⊥DE于Q，则∠AQP=90°，由AD=AE，得到DQ=EQ，∠AEQ=∠ADQ，同理得到∠3=∠FAB，根据外角的性质得到∠APQ=∠3﹣∠AEQ=∠3﹣∠ADQ，等量代换得到∠2=90°﹣∠1﹣∠ADP=90°﹣（90°﹣∠3）﹣∠AEP=∠3﹣∠AEP，求得∠2=∠APQ=45°，于是得到PQ=AP，然后由PD+PQ=PE﹣PQ，即可得到结论：PE=PD+PA．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，
∵AD绕点A顺时针旋转到AE，
∴AD=AE，
∵∠DAE=40°，
∴∠ADE=∠AED=70°，∠BAE=50°，
∵AF⊥BE，
∴∠FAE=∠FAB=25°，
∴∠P=∠AED﹣∠PAE=45°；
（2）如图2，过A作AQ⊥DE于Q，则∠PAQ=∠BAQ+∠FAB，
∵AE=AB，AF⊥BE，
∴∠FAE=∠BAF，
∴∠APQ=∠EAF+∠AEP，
∵∠BAD=∠AQP=90°，
∴∠BAQ=∠ADQ，
∵AE=AD，
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∴∠ADQ=∠AEP，
∴∠BAQ=∠AEP，
∴∠APQ=∠PAQ=45°，
∴PQ=AP，
∴PE+PQ=PD﹣PQ，
即PE+AP=PD﹣AP，
∴PD=AP+PE；
（3）如图3，过A作AQ⊥DE于Q，则∠AQP=90°，
∵AD=AE，
∴DQ=EQ，∠AEQ=∠ADQ，
∵AE=AB，AF⊥BE，
∴∠3=∠FAB，
∵∠APQ=∠3﹣∠AEQ=∠3﹣∠ADQ，
∵∠1+∠FAB=∠FAB+∠ABF=90°，
∴∠1=∠ABF=∠AEF，
∴∠2=90°﹣∠1﹣∠ADP=90°﹣（90°﹣∠3）﹣∠AEP=∠3﹣∠AEP，
∴∠2=∠APQ=45°，
∴PQ=AP，
∴PD+PQ=PE﹣PQ，
即PD+PA=PE﹣PA，
∴PE=PD+PA．
故答案为：PE=PD+PA．
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24．在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+4x+4a（0＜a＜2）
（1）当C1与x轴有唯一一个交点时，求此时C1的解析式；
（2）如图①，若A（1，yA），B（0，yB），C（﹣1，yC）三点均在C1上，连BC作AE∥BC交抛物线C1于E，求点E到y轴的距离；
（3）若a=1，将抛物线C1先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到抛物线C2，如图②，抛物线C2与x轴相交于点M、N（M点在N点的左边），抛物线的对称轴交x轴于点F，过点F的直线l与抛物线C2相交于P，Q（P在第四象限）且S△FMQ=2S△FNP，求直线l的解析式．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据△的意义和抛物线与x轴的交点问题得△=42﹣4a4a=0，然后解方程求出满足条件的a的值，从而得到此时C1的解析式；
（2）先用a表示出A（1，5a+4），B（0，4a），C（﹣1，5a﹣4），再利用待定系数法得到直线BC的解析式为y=（4﹣a）x+4a，根据两直线平行问题，AE的解析式可设为y=（4﹣a）x+n，则把A（1，5a+4）代入得n=6a，所以直线AE的解析式为y=（4﹣a）x+6a，通过解方程组可得E点和A点坐标，消去y得x2+x﹣2=0，然后解方程求出x即可得到E点的横坐标，从而得到点E到y轴的距离；
（3）作QA⊥x轴于A，PB⊥x轴于B，如图，当a=1时，y=（x+2）2，则抛物线C1的顶点坐标为（﹣2，0），利用抛物线的几何变换得到抛物线C2的解析式为y=（x﹣1）2﹣2，即y=x2﹣2x﹣1，F（1，0），利用抛物线的对称性得FM=FN，再利用三角形面积公式可得QA=2PB，利用平行线分线段成比例定理得FA=2BF，设P（t，t2
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﹣2t﹣1），则BF=t﹣1，AF=2（t﹣1），则OA=2（t﹣1）﹣1=2t﹣3，所以Q[3﹣2t，（3﹣2t）2﹣2（3﹣2t）﹣1]，然后利用AQ=2PB得到（3﹣2t）2﹣2（3﹣2t）﹣1=﹣2（t2﹣2t﹣1），解得t1=0（舍去），t2=2，于是得到P（2，﹣1），Q（﹣1，2），最后利用待定系数法确定直线l的解析式．
【解答】解：（1）根据题意得△=42﹣4a4a=0，解得a1=1，a2=﹣1，
而0＜a＜2，
所以a=1，
所以此时C1的解析式为y=x2+4x+4；
（2）根据题意得A（1，5a+4），B（0，4a），C（﹣1，5a﹣4），
设直线BC的解析式为y=kx+4a，
把C（﹣1，5a﹣4）代入得﹣k+4a=5a﹣4，解得k=4﹣a，
∴直线BC的解析式为y=（4﹣a）x+4a，
∵BC∥AE，
∴AE的解析式可设为y=（4﹣a）x+n，
把A（1，5a+4）代入得4﹣a+n=5a+4，解得n=6a，
∴直线AE的解析式为y=（4﹣a）x+6a，
方程组消去y得x2+x﹣2=0，解得x1=1，x2=﹣2，
∴E点的横坐标为﹣2，
∴点E到y轴的距离为2；
（3）作QA⊥x轴于A，PB⊥x轴于B，如图，
当a=1时，y=x2+4x+4=（x+2）2，抛物线C1的顶点坐标为（﹣2，0），把点（﹣2，0）先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到对应点的坐标为（1，﹣2），
所以抛物线C2的解析式为y=（x﹣1）2﹣2，即y=x2﹣2x﹣1，则抛物线的对称轴为直线x=1，所以F（1，0）
∵抛物线C2与x轴相交于点M、N（M点在N点的左边），
∴FM=FN，
∵S△FMQ=2S△FNP，
∴QA=2PB，
∵AQ∥PB，
∴==2，即FA=2BF，
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设P（t，t2﹣2t﹣1），则BF=t﹣1，
∴AF=2（t﹣1），
∴OA=2（t﹣1）﹣1=2t﹣3，
∴Q[3﹣2t，（3﹣2t）2﹣2（3﹣2t）﹣1]
∴（3﹣2t）2﹣2（3﹣2t）﹣1=﹣2（t2﹣2t﹣1），
整理得t2﹣2t=0，解得t1=0（舍去），t2=2，
∴P（2，﹣1），Q（﹣1，2），
设直线PQ的解析式为y=px+q，
把P（2，﹣1），Q（﹣1，2）代入得，解得，
∴直线l的解析式为y=﹣x+1．
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