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2017～2018学年高三上期第一次周考
数 学 试 题（理）
第Ⅰ卷（选择题 共80分）
一、选择题（本题共16道小题，每小题5分，共80分）
1. 已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|x2+2x≤0}，则A∩B=（ ）
A．{x|0＜x＜2} B．{x|0≤x＜2} C．{x|﹣1＜x＜0} D．{x|﹣1＜x≤0}
2. 命题“∀n∈N*，∃x∈R，使得n2＜x”的否定形式是（ ）
A．∀n∈N*，∃x∈R，使得n2≥x
B．∀n∈N*，∀x∈R，使n2≥x
C．∃n∈N*，∃x∈R，使得n2≥x
D．∃n∈N*，∀x∈R，使得n2≥x
3. 下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy=0，则x≠0”
B．“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题
C．命题“∃x∈R，使得2x2﹣1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有2x2﹣1＜0”
D．命题“若cosx=cosy，则x=y”的逆否命题为真命题
4. 已知集合P={y|y2﹣y﹣2＞0}，Q={x|x2+ax+b≤0}，若P∪Q=R，则P∩Q=（2，3]，则a+b=（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1
5. 已知命题甲：a+b≠4，命题乙：a≠1且b≠3，则命题甲是命题乙的（ ）
A．充分必要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
6. 设f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（﹣2，1]上的图象，则f（2017）+f（2018）=（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
7. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=，称为狄利克雷函数，则关于函数f（x）有以下四个命题：
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①f（f（x））=1；
②函数f（x）是偶函数；
③任意一个非零有理数T，f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立；
④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三
角形．其中真命题的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8. 已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a
9. 设偶函数f（x）满足f（x）=2﹣x﹣4（x≤0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（ ）
A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜﹣2或x＞2}
C．{x|x＜0或x＞4} D．{x|x＜0或x＞6}
10. 已知函数f（x）=是R上的减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．[，） B．[，） C．（ ，） D．（，1）
11. 若实数x，y满足|x﹣1|﹣ln=0，则y关于x的函数图象的大致形状是（ ）
A． B． C． D．
12. 曲线C：y=ex同曲线C在x=0处的切线及直线x=2所围成的封闭图形的面积为（ ）
A．e+1 B．e﹣1 C．e2﹣1 D．e2﹣5
13. 已知函数与的图象上存在关于轴对称的
点，则的取值范围是（ ）
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A. B. C. D.
14. 已知函数f（x）=．则f（）+f（）+…+f（）=（ ）
A．2017 B．2016 C．4034 D．4032
15. 设f（x）是定义在R上的偶函数，对x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2），且当x∈[﹣2，0]时，
f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）恰
有3个不同的实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C．（2，3） D．
16. 设函数f（x）在R上存在导函数f′（x），对于任意的实数x，都有f（x）=4x2﹣f（﹣x），
当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）+＜4x，若f（m+1）≤f（﹣m）+4m+2，则实数m的取值范围是（ ）
A．[﹣，+∞） B．[﹣，+∞） C．[﹣1，+∞） D．[﹣2，+∞）
第Ⅱ卷（非选择题 共70分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
17. 已知则= ．
18. 已知，试求y=[f（x）]2+f（x2）的值域 ．
19. 若实数a满足x+lgx=2，实数b满足x+10x=2，函数f（x）=，则关
于x的方程f（x）=x解的个数为 .
20. ①方程x2+（a﹣3）x+a=0有一个正根，一个负根，则a＜0；
②函数是偶函数，但不是奇函数；
③函数f（x+1）的定义域是[﹣1，3]，则f（x2）的定义域是[0，2]；
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④一条曲线y=|3﹣x2|和直线y=a（a∈R）的公共点个数是m，则m的值不可能是1．
正确命题的序号是 .
三、解答题
21.（10分） 已知函数f（x）=ax﹣（a，b∈N*），f（1）=且f（2）＜2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）判断并证明函数y=f（x）在区间（﹣1，+∞）上的单调性．
22. （12分）已知函数f（x）=
（1）求函数f（x）的零点；
（2）若实数t满足f（log2t）+f（log2）＜2f（2），求f（t）的取值范围．
23. （14分）已知函数f（x）=﹣lnx（∈R）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）设g（x）=f（x）+2x，若g（x）在[1，e]上不单调且仅在x=e处取得最大值，求的
取值范围．
24. （14分）已知函数f（x）=lnx﹣有两个零点x1、x2．
（1）求k的取值范围；
（2）求证：x1+x2＞．
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2017～2018学年高三上期第一次周考数学（理）参考答案
一、选择题
1.D 2.D 3.B 4.A 5.B 6.C 7.A 8.C 9.C 10.B
11.B 12.D 13.C 14.D 15.A 16.A
二、填空题
17.0 18.[1，13]
19.2 20.①④
三、解答题
21.（10分） 解：（Ⅰ）∵，，由，
∴，又∵a，b∈N*，∴b=1，a=1；
（Ⅱ）由（1）得，函数在（﹣1，+∞）单调递增．
证明：任取x1，x2且﹣1＜x1＜x2，
=，
∵﹣1＜x1＜x2，∴，
∴，即f（x1）＜f（x2），
故函数在（﹣1，+∞）上单调递增．
22.（12分）解：（1）当x＜0时，解得：x=ln=﹣ln3，
当x≥0时，解得：x=ln3，
故函数f（x）的零点为±ln3；
（2）当x＞0时，﹣x＜0，
此时f（﹣x）﹣f（x）===0，
故函数f（x）为偶函数，又∵x≥0时，f（x）=为增函数，
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∴f（log2t）+f（log2）＜2f（2）时，2f（log2t）＜2f（2），
即|log2t|＜2，﹣2＜log2t＜2，∴t∈（，4）
故f（t）∈（，）
23.（14分）解：（Ⅰ）f′（x）=x﹣=（x＞0）
若a≤0，则f′（x）≥0，所以此时只有递增区间（0，+∞）
若a＞0，当f′（x）＞0时，得x＞，当f′（x）＜0时，得0＜x＜，
所以此时递增区间为：（，+∞），递减区间为：（0，）
（Ⅱ）g′（x）=x﹣+2=（x＞0），设h（x）=x2+2x﹣a（x＞0）
若g（x）在[1，e]上不单调，则h（1）h（e）＜0，∴（3﹣a）（e2+2e﹣a）＜0
∴3＜a＜e2+2e，同时g（x）仅在x=e处取得最大值，
∴只要g（e）＞g（1）即可得出：a＜+2e﹣
∴a的范围：（3， +2e﹣）
24.（14分）解：（1）函数f（x）=lnx﹣有2个零点，即函数g（x）=xlnx的图象与直线y=k
有2个交点，g′（x）=lnx+1，令g′（x）＞0，解得：x＞，
令g′（x）＜0，解得：0＜x＜，
∴g（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，
x=是极小值点，g（）=﹣，
又x→0时，g（x）→0，x→+∞时，g（x）→+∞，g（1）=0，
g（x）的大致图象如图示：由图象得：﹣＜k＜0.
（2）证明：不妨设x1＜x2，由（1）得：0＜x1＜＜x2＜1，
令h（x）=g（x）﹣g（﹣x）=xlnx﹣（﹣x）ln（﹣x），
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h′（x）=lnx+1-（﹣x）×（﹣x）-1×(-1)+ ln（﹣x）= lnx+1，令h′（x）=0，x=
当0＜x＜时，h′（x）＜0，h（x）在（0，）递减，h（）=0，
∴h（x1）＞0，即g（x1）＞g（﹣x1），g（x2）＞g（﹣x1），x2，﹣x1∈（，+∞），
g（x）在（，+∞）递增，∴x2＞﹣x1，故x1+x2＞．
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