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重庆市铜梁高2018级2017年9月高三月考考试
数学（理）试卷
考试范围：集合简易逻辑，函数概念，表示，解析式，定义域，值域，函数的性质，指对函数，函数图象，函数与方程；
考试时间：120分钟；命题人：朱文平 审题人：王伦
注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。2．请将答案正确填写在答题卡上。
第I卷（选择题）
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1.已知全集U=R，A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x≥1}，则A∪（∁UB）=（ ）
A．（0，+∞） B．（﹣∞，1） C．（﹣∞，2） D．（0，1）
2.已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=（ ）
A．{1} B．{4} C．{1，3} D．{1，4}
3.在△ABC中，“＞0”是“△ABC为锐角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4.下列说法错误的是（ ）
A．命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”
B．“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件
C．若p且q为假命题，则p、q均为假命题
D．命题p：“∃x∈R使得x2+x+1＜0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”
5.已知0＜a＜1，则a2、2a、log2a的大小关系是（ ）
A．a2＞2a＞log2a B．2a＞a2＞log2a C．log2a＞a2＞2a D．2a＞log2a＞a2
6.函数y=loga（x+2）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m＞0，n＞0，则+的最小值为（ ）
A．3+2 B．3+2 C．7 D．11
7.已知f（x）是定义在R上的偶函数，在[0，+∞）上是增函数，若a=f（sin），b=f（cos），c=f（tan），则（ ）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a
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8.若函数y=f（x）对x∈R满足f（x+2）=f（x），且x∈[-1，1]时，f（x）=1﹣x2，
g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间x∈[-5，11]内零点的个数为（ ） A．8 B．10 C．12 D．14
9设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若a1=，an=f（n）（n∈N*），则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是（ ）
A．[，2） B．[，2] C．[，1） D．[，1]
10.如图所示，点P从点A处出发，按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周，O为ABC的中心，设点P走过的路程为x，△OAP的面积为f（x）（当A、O、P三点共线时，记面积为0），则函数f（x）的图象大致为（ ）
A ．B．
C．D．
11.设函数f（x）=（x﹣a）|x﹣a|+b，a，b∈R，则下列叙述中，正确的序号是（ ）
①对任意实数a，b，函数y=f（x）在R上是单调函数；
②对任意实数a，b，函数y=f（x）在R上都不是单调函数；
③对任意实数a，b，函数y=f（x）的图象都是中心对称图象；
④存在实数a，b，使得函数y=f（x）的图象不是中心对称图象．
A．①③ B．②③ C．①④ D．③④
12.已知函数，如在区间（1，+∞）上存在n（n≥2）个不同的数x1，x2，x3，…，xn，使得比值==…=成立，则n的取值集合是（ ）
A．{2，3，4，5} B．{2，3} C．{2，3，5} D．{2，3，4}
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第II卷（非选择题）
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13.命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是 ．
14.定义在R上的奇函数f（x）以2为周期，则f（1）= ．
15.设有两个命题，p：关于x的不等式ax＞1（a＞0，且a≠1）的解集是{x|x＜0}；q：函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是 ．
16.在下列命题中
①函数f（x）=在定义域内为单调递减函数；
②已知定义在R上周期为4的函数f（x）满足f（2﹣x）=f（2+x），则f（x）一定为偶函数；
③若f（x）为奇函数，则f（x）dx=2f（x）dx（a＞0）；
④已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），则a+b+c=0是f（x）有极值的充分不必要条件；
⑤已知函数f（x）=x﹣sinx，若a+b＞0，则f（a）+f（b）＞0．
其中正确命题的序号为 （写出所有正确命题的序号）．
三、解答题（本题共7道小题,第1题12分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题10分,第7题10分,共70分）
17.已知集合A={x|x2﹣4x﹣5≤0}，函数y=ln（x2﹣4）的定义域为B．
（Ⅰ）求A∩B；
（Ⅱ）若C={x|x≤a﹣1}，且A∪（∁RB）⊆C，求实数a的取值范围．
18.已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}．
（1）求实数a，b的值；
（2）解关于x的不等式：＞0（c为常数）．
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19.已知函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）=．
（1）确定函数f（x）的解析式；
（2）证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数；
（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．
20.已知关于x的不等式x2﹣（a2+3a+2）x+3a（a2+2）＜0（a∈R）．
（Ⅰ）解该不等式；
（Ⅱ）定义区间（m，n）的长度为d=n﹣m，若a∈R，求该不等式解集表示的区间长度的最大值．
21.设关于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的两根分别为α、β（α＜β），函数
（1）证明f（x）在区间（α，β）上是增函数；
（2）当a为何值时，f（x）在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小．
选做第22或23题，若两题均选做，只计第22题的分。
22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），直线C2的方程为y=，以O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，
（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；
（2）若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求+．
23.已知函数f（x）=|x|+|x+1|．
（1）解关于x的不等式f（x）＞3；
（2）若∀x∈R，使得m2+3m+2f（x）≥0成立，试求实数m的取值范围．
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重庆市铜梁一中高2018级2017年9月高三入学考试
数学（理）答案
1-----5.CDBCB,6---10,ABDCA,11-12,AB
7.B【考点】奇偶性与单调性的综合．
【解答】解：根据题意，
sin=sin（2π﹣）=﹣sin，则a=f（sin）=f（﹣sin），
cos=cos（π﹣）=﹣cos，b=f（﹣cos），
又由函数f（x）是定义在R上的偶函数，
则a=f（sin）=f（﹣sin）=f（sin），
b=f（﹣cos）=f（cos），又由＜＜，
则有0＜cos＜sin＜1＜tan，又由函数在[0，+∞）上是增函数，
则有c＞a＞b；故选：B．
8.D【考点】函数零点的判定定理．
【解答】解：函数h（x）=f（x）﹣g（x）的零点，即方程函数f（x）﹣g（x）=0的根，
也就是两个函数y=f（x）与y=g（x）图象交点的横坐标，由f（x+2）=f（x），
可得f（x）是周期为2的周期函数，又g（x）=，
作出两函数的图象如图：
∴函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间内零点的个数为14．
故选：D．
9.C【考点】抽象函数及其应用．
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【解答】解：∵对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），
∴令x=n，y=1，得f（n）•f（1）=f（n+1），即==f（1）=，
∴数列{an}是以为首项，以为等比的等比数列，∴an=f（n）=（）n，
∴Sn==1﹣（）n∈[，1）．故选C．
10,A【考点】3O：函数的图象．
【解答】解：由三角形的面积公式知，当0≤x≤a时，f（x）=•x••a=ax，
故在[0，a]上的图象为线段，故排除B；当a＜x≤a时，f（x）=•（a﹣x）••a=a（a﹣x），故在（a， a]上的图象为线段，故排除C，D；故选A．
11.A【考点】3O：函数的图象．【分析】可先考虑函数g（x）=x|x|的单调性和图象的对称性，然后考虑将函数g（x）的图象左右平移和上下平移，得到函数f（x）=（x﹣a）|x﹣a|+b的图象，观察它的上升还是下降和对称性．
【解答】解：设函数g（x）=x|x|即g（x）=，作出g（x）的图象，得出g（x）在R上是单调增函数，且图象关于原点对称，而f（x）=（x﹣a）|x﹣a|+b的图象可由函数y=g（x）的图象先向左（a＜0）或向右（a＞0）平移|a|个单位，再向上（b＞0）或向下（b＜0）平移|b|个单位得到．所以对任意的实数a，b，都有f（x）在R上是单调增函数，且图象关于点（a，b）对称．故选：A
12.B【考点】分段函数的应用．
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【分析】==…=的几何意义为点（xn，f（xn））与原点的连线有相同的斜率，利用数形结合即可得到结论．
【解答】解：∵的几何意义为点（xn，f（xn））与原点的连线的斜率，
∴==…=的几何意义为点（xn，f（xn））与原点的连线有相同的斜率，函数的图象，在区间（1，+∞）上，与y=kx的交点个数有1个，2个或者3个，故n=2或n=3，即n的取值集合是{2，3}．故选：B．
13.∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0. 14.0, 15.或a≥1
【解答】解：p：关于x的不等式ax＞1（a＞0，且a≠1）的解集是{x|x＜0}，则0＜a＜1；
q：函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，a=0时不成立，a≠0时，则，解得．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则命题p与q必然一真一假．
∴，或，解得则实数a的取值范围是．
故答案为：或a≥1．【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16.②④⑤
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【解答】解：对于①，函数f（x）=在定义域内的区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上是减函数， ∴①错误． 对于②，由题意得f（2﹣（x+2））=f（2+（x+2）），即f（﹣x）=f（4+x）=f（x）， ∴f（x）是偶函数；∴②正确． 对于③，根据定积分的几何意义是函数图象与x轴所围成的封闭图形的面积的代数和，且被积函数f（x）是奇函数， 得f（x）dx=0，∴③错误． 对于④，∵f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），∴f′（x）=3ax2+2bx+c；
当a+b+c=0时，（2b）2﹣4×3a×（﹣a﹣b）=4b2+12a2+12ab=4+3a2＞0，∴f′（x）有二不等零点，f（x）有极值； 当f（x）有极值时，f′（x）=3ax2+2bx+c有二不等零点，即4b2﹣12ac＞0，不能得出a+b+c=0； ∴是充分不必要条件，④正确．
对于⑤，∵f（x）=x﹣sinx，∴f′（x）=1﹣cosx≥0，∴f（x）是增函数，∴当a+b＞0时，a＞﹣b，∴f（a）＞f（﹣b）； 又∵f（﹣x）=﹣x﹣sin（﹣x）=﹣（x﹣sinx）=﹣f（x），∴f（x）是奇函数，∴f（﹣b）=﹣f（b）； ∴f（a）＞﹣f（b），即f（a）+f（b）＞0；∴⑤正确． 综上，正确的命题是②④⑤； 故答案为：②④⑤．
17.【考点】18：集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．
【解答】解：（Ⅰ）由x2﹣4x﹣5≤0，得：﹣1≤x≤5．∴集合A={x|﹣1≤x≤5}．
由x2﹣4＞0，得：x＞2或x＜﹣2．∴集合B={x|x＞2或x＜﹣2}．那么：A∩B={x|2＜x≤5}．
（Ⅱ）∵集合B={x|x＞2或x＜﹣2}．∴∁RB={x|﹣2≤x≤2}．∴A∪（∁RB）={x﹣|2＜x≤5}．
∵C={x|x≤a﹣1}，A∪（∁RB）⊆C，∴a﹣1≥5，得：a≥6故得a的取值范围为[6,+∞）.
18.【解答】解：（1）由题意知1，b为关于x的方程ax2﹣3x+2=0的两根，
则，∴a=1，b=2．
（2）不等式等价于（x﹣c）（x﹣2）＞0，所以：当c＞2时解集为{x|x＞c或x＜2}；
当c=2时解集为{x|x≠2，x∈R}；当c＜2时解集为{x|x＞2或x＜c}．
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19.【考点】奇偶性与单调性的综合．
【解答】（1）解：函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，
则f（0）=0，即有b=0，且f（）=，则，解得，a=1，
则函数f（x）的解析式：f（x）=（﹣1＜x＜1）；
（2）证明：设﹣1＜m＜n＜1，则f（m）﹣f（n）=
=，由于﹣1＜m＜n＜1，则m﹣n＜0，mn＜1，即1﹣mn＞0，
（1+m2）（1+n2）＞0，则有f（m）﹣f（n）＜0，则f（x）在（﹣1，1）上是增函数；
（3）解：由于奇函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数，
则不等式f（t﹣1）+f（t）＜0即为f（t﹣1）＜﹣f（t）=f（﹣t），
即有，解得，则有0＜t＜，即解集为（0，）．
20.
【考点】一元二次不等式的解法．
【解答】解：（Ⅰ）原不等式可化为(x-a2-2)（x﹣3a）＜0，
当a2+2＜3a，即1＜a＜2时，原不等式的解为a2+2＜x＜3a；
当a2+2=3a，即a=1或a=2时，原不等式的解集为∅；
当a2+2＞3a，即a＜1或a＞2时，原不等式的解为3a＜x＜a2+2．
综上所述，当1＜a＜2时，原不等式的解为a2+2＜x＜3a，
当a=1或a=2时，原不等式的解集为∅，
当a＜1或a＞2时，原不等式的解为3a＜x＜a2+2．
（Ⅱ）当a=1或a=2时，该不等式解集表示的区间长度不可能最大．…
当a≠1且a≠2时，，a∈R．…
设t=a2+2﹣3a，a∈R，则当a=0时，t=2，当时，，当a=4时，t=6，…
∴当a=4时，dmax=6．…
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21.【考点】二次函数的性质．
【解答】解：（1）证明：设Φ（x）=2x2﹣ax﹣2，则当α＜x＜β时，Φ（x）＜0．
f′（x）==﹣＞0，∴函数f（x）在（α，β）上是增函数．
（2）由关于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的两根分别为α、β（α＜β），
可得α=，β=，f（α）==，f（β）=，
即有f（α）•f（β）==﹣4＜0，
函数f（x）在[α，β]上最大值f（β）＞0，最小值f（α）＜0，
∴当且仅当f（β）=﹣f（α）=2时，
f（β）﹣f（α）=|f（β）|+|f（α）|取最小值4，
此时a=0，f（β）=2．当a=0时，f（x）在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小．
22.
【考点】简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．
【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），直角坐标方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，即x2+y2﹣4x﹣4y+7=0，极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+7=0
直线C2的方程为y=，极坐标方程为tanθ=；
（2）直线C2与曲线C1联立，可得ρ2﹣（2+2）ρ+7=0，
设A，B两点对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1+ρ2=2+2，ρ1ρ2=7，
∴+==．
23.【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．
【解答】解：（1）由|x|+|x+1|＞3，
得：或或，
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解得：x＞1或x＜﹣2，故不等式的解集是{x|x＞1或x＜﹣2}；
（2）若∀x∈R，使得m2+3m+2f（x）≥0成立，
而f（x）=，故f（x）的最小值是1，
故只需m2+3m+2≥0即可，
解得：m≥﹣1或m≤﹣2．
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