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集合与逻辑02
解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
1．已知命题p：“”；命题q：“”．若命题“”是真命题，求实数a的取值范围．
【答案】p：∵，∴，即；
q：∵，∴得或．
若“”是真命题，则p真q真，∴或．
2．已知集合，,定义为集合中元素之和，求所有的和。
【答案】.
3．已知命题p：方程a2x2＋ax－2＝0在－1，1上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．
【答案】由题意知a≠0，若命题p正确，
由于a2x2＋ax－2＝(ax＋2)(ax－1)＝0.
∴x＝或x＝－．
若方程在－1，1上有解，
满足－1≤≤1或－1≤－≤1，
解之得a≥1或a≤－1.
若q正确，即只有一个实数x满足x2＋2ax＋2a≤0.
则有Δ＝0，即a＝0或2.
若p或q是假命题．
则p和q都是假命题，有
所以a的取值范围是(－1，0)∪(0，1)．
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4．已知 且；
· ：集合且.若∨为真命题，∧为假命题，求实数的取值范围.
【答案】对p：所以．
若命题p为真，则有 ；
对q：∵且
∴若命题q为真，则方程无解或只有非正根．
∴或, ∴
∵p, q中有且只有一个为真命题
∴ (1) p 真，q假：则有；
(2) p 假，q 真：则有；
∴或．
21．记函数f（x）＝lg（x2一x一2）的定义域为集合A，函数g（x）＝的定义域为集合B．
(1）求AB；
(2）若C＝｛x｜x2＋4x＋4一p2＜0，p＞0｝，且C，求实数p的取值范围．
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【答案】
(1）
(2）
22．已知集合A＝{x|x＝m2－n2，m∈Z，n∈Z}．
求证：(1)3∈A； (2)偶数4k－2(k∈Z)不属于A.
【答案】 (1),
(2)设，则存在,使成立，
即.
当m，n同奇或同偶时，m－n，m＋n均为偶数，
∴(m－n)(m＋n)为4的倍数，与4k－2不是4的倍数矛盾．
当m，n一奇，一偶时，m－n，m＋n均为奇数，
∴(m－n)(m＋n)为奇数，与4k－2是偶数矛盾．∴4k－2∉A.
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