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第二章 学业质量标准检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．直线l1∥l2，在l1上取3个点，在l2上取2个点，由这5个点能确定平面的个数为( D )
A．5 B．4 C．9 D．1
[解析] 由经过两条平行直线有且只有一个平面可知分别在两平行直线上的5个点只能确定一个平面．
2．教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线( B )
A．平行 B．垂直 C．相交 D．异面
[解析] 当直尺垂直于地面时，A不对；当直尺平行于地面时，C不对；当直尺位于地面上时，D不对．
3．已知m、n是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则下列命题正确的是( D )
A．若α、β垂直于同一平面，则α与β平行
B．若m、n平行于同一平面，则m与n平行
C．若α、β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D．若m、n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
[解析] A项，α、β可能相交，故错误；
B项，直线m、n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；
C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；
D项，假设m、n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．
4．(2016～2017·枣庄高一检测)△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是( B )
A．相交 B．平行 C．异面 D．不确定
[解析] l∥m
5．已知α、β是两个平面，直线l⊄α，l⊄β，若以①l⊥α；②l∥β；③α⊥β中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有( A )
A．①③⇒②；①②⇒③
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B．①③⇒②；②③⇒①
C．①②⇒③；②③⇒①
D．①③⇒②；①②⇒③；②③⇒①
[解析] 因为α⊥β，所以在β内找到一条直线m，使m⊥α，
又因为l⊥α，所以l∥m.又因为l⊄β，所以l∥β，即①③⇒②；
因为l∥β，所以过l可作一平面γ∩β＝n，所以l∥n，
又因为l⊥α，所以n⊥α，
又因为n⊂β，所以α⊥β，即①②⇒③.
6．设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有( B )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
[解析] 如图，和α成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC＝∠ACB＝30°且BC∥l时，直线AC，AB都满足条件，故选B．
7．(2016～2017·浙江文)已知互相垂直的平面α、β交于直线l.若直线m、n满足m∥α，n⊥β，则( C )
A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
[解析] 选项A，只有当m∥β或m⊂β时，m∥l；选项B，只有当m⊥β时，m∥n；选项C，由于l⊂β，∴n⊥l；选项D，只有当m∥β或m⊂β时，m⊥n，故选C．
8．(2016·南安一中高一检测)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC与MN所成的角为( C )
A．30° B．45° C．60° D．90°
[解析] 如图，连接A1C1、BC1、A1B.
∵M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，
∴MN∥BC1.
又A1C1∥AC，
∴∠A1C1B为异面直线AC与MN所成的角．
∵△A1BC1为正三角形，
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∴∠A1C1B＝60°.故选C．
9．等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为( C )
A．30° B．60° C．90° D．120°
[解析] 如图，由A′B＝BC＝1，∠A′BC＝90°知A′C＝.
∵M为A′C的中点，∴MC＝AM＝，且CM⊥BM，AM⊥BM，
∴∠CMA为二面角C－BM－A的平面角．
∵AC＝1，MC＝MA＝，∴MC2＋MA2＝AC2，
∴∠CMA＝90°，故选C．
10．点P在正方体侧面BCC1B1及其边界上运动，并且保持AP⊥BD1，则点P的轨迹为( A )
A．线段B1C
B．BB1的中点与CC1的中点连成的线段
C．线段BC1
D．BC的中点与B1C1的中点连成的线段
[解析] ∵AP⊥BD1恒成立，
∴要保证AP所在的平面始终垂直于BD1.
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∵AC⊥BD1，AB1⊥BD1，AC∩AB1＝A，
∴BD1⊥面AB1C，∴P点在线段B1C上运动．
11．如图，α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，A、B到l的距离分别是a和b，AB与α、β所成的角分别是θ和φ，AB在α、β内的射影长分别是m和n，若a＞b，则( D )
A．θ＞φ，m＞n B．θ＞φ，m＜n
C．θ＜φ，m＜n D．θ＜φ，m＞n
[解析] 由勾股定理得a2＋n2＝b2＋m2＝AB2.
又a＞b，∴m＞n.
由已知得sinθ＝，sinφ＝，而a＞b，
∴sinθ＜sinφ，
又θ，φ∈(0，)，∴θ＜φ.
12．如图，在三棱柱ABC－A′B′C′中，点E、F、H、K分别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点，G为△ABC的重心，从K、H、G、B′中取一点作为P，使得该三棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则点P为( C )
A．K B．H C．G D．B′
[解析] 应用验证法：选G点为P时，EF∥A′B′且EF∥AB，此时恰有A′B′和AB平行于平面PEF，故选C．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是__直角三角形__.
[解析] 如图，过点A作AE⊥BD，E为垂足．
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∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴AE⊥平面BCD，∴AE⊥BC.
又∵DA⊥平面ABC，∴DA⊥BC.
又∵AE∩DA＝A，∴BC⊥平面ABD，
∴BC⊥AB.
∴△ABC为直角三角形．
14．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN等于__90°__.
[解析] 因为C1B1⊥平面ABB1A1，MN⊂平面ABB1A1，所以C1B1⊥MN.
又因为MN⊥MB1，MB1，C1B1⊂平面C1MB1，MB1∩C1B1＝B1，所以MN⊥平面C1MB1，
所以MN⊥C1M，所以∠C1MN＝90°.
15．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足__DM⊥PC(或BM⊥PC) __时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可).
[解析] 连接AC，则BD⊥AC，由PA⊥底面ABCD，可知BD⊥PA，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.故当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，平面MBD⊥平面PCD.
16．(2017·全国卷Ⅰ文，16)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S－ABC的体积为9，则球O的表面积为__36π__.
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[解析] 如图，连接OA，OB.
由SA＝AC，SB＝BC，SC为球O的直径，知OA⊥SC，OB⊥SC.
由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，OA⊥SC，知OA⊥平面SCB.
设球O的半径为r，则OA＝OB＝r，SC＝2r，
∴三棱锥S－ABC的体积V＝×(SC·OB)·OA＝，
即＝9，∴r＝3，∴S球表＝4πr2＝36π.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(2017·山东文，18)由四棱柱ABCD－A1B1C1D1截去三棱锥C1－B1CD1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD.
(1)证明：A1O∥平面B1CD1；
(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.
[解析] (1)证明：取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，
由于ABCD－A1B1C1D1是四棱柱，
所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，
因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1O∥O1C，
又O1C⊂平面B1CD1，A1O⊄平面B1CD1，
所以A1O∥平面B1CD1.
(2)证明：因为AC⊥BD，E，M分别为AD和OD的中点，
所以EM⊥BD.
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又A1E⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以A1E⊥BD，
因为B1D1∥BD，
所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1.
又A1E，EM⊂平面A1EM，A1E∩EM＝E，
所以B1D1⊥平面A1EM.
又B1D1⊂平面B1CD1，
所以平面A1EM⊥平面B1CD1.
18．(本小题满分12分)(2016～2017·宁波高二检测)如图，已知四棱锥P－ABCD，底面四边形ABCD为菱形，AB＝2，BD＝2，M，N分别是线段PA，PC的中点.
(1)求证：MN∥平面ABCD；
(2)求异面直线MN与BC所成角的大小．
[解析] (1)连接AC，交BD于点O.
因为M，N分别是PA，PC的中点，所以MN∥AC.
因为MN⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
所以MN∥平面ABCD.
(2)由(1)知MN∥AC，∴∠ACB为异面直线MN与BC所成的角．
∵四边形ABCD为菱形，边长AB＝2，对角线长BD＝2，
∴△BOC为直角三角形，且sin∠ACB＝＝，
∴∠ACB＝60°.
即异面直线MN与BC所成的角为60°.
19．(本小题满分12分)(2017·北京文，18)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.
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(1)求证：PA⊥BD；
(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；
(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积．
[解析] (1)证明：因为PA⊥AB，PA⊥BC，所以PA⊥平面ABC.
又因为BD⊂平面ABC，
所以PA⊥BD.
(2)证明：因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.
由(1)知，PA⊥BD，
所以BD⊥平面PAC，
所以平面BDE⊥平面PAC.
(3)解：因为PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE，
所以PA∥DE.
因为D为AC的中点，
所以DE＝PA＝1，BD＝DC＝.
由(1)知，PA⊥平面ABC，
所以DE⊥平面ABC，
所以三棱锥E－BCD的体积V＝BD·DC·DE＝.
20．(本小题满分12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.
(1)请按字母F、G、H标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由)；
(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并说明你的结论；
(3)证明：直线DF⊥平面BEG.
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[解析] (1)点F、G、H的位置如图所示．
(2)平面BEC∥平面ACH.证明如下：
因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，
又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，
于是四边形BCEH为平行四边形，
所以BE∥CH，
又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，
所以BE∥平面ACH，
同理，BG∥平面ACH，
又BE∩BG＝B，
所以平面BEG∥平面ACH.
(3)连接FH交EG于点O，连接BD.
因为ABCD－EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH，
因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG，
又EG⊥FH，EG∩FH＝O，
所以EG⊥平面BFHD，
又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG，
同理DF⊥BG，
又EG∩BG＝G，
所以DF⊥平面BEG.
21．(本小题满分12分)(2017·天津文，17)如图，在四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.
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(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；
(2)求证：PD⊥平面PBC；
(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
[解析] (1)解：如图，由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．
因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD.
在Rt△PDA中，由已知，得AP＝＝，
故cos∠DAP＝＝.
所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为.
(2)证明：由(1)知AD⊥PD.又因为BC∥AD，所以PD⊥BC.
又PD⊥PB，PB∩BC＝B，
所以PD⊥平面PBC.
(3)解：过点D作DF∥AB，交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．
因为PD⊥平面PBC，
所以PF为DF在平面PBC上的射影，
所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．
由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1.
由已知，得CF＝BC－BF＝2.
又AD⊥DC，所以BC⊥DC.
在Rt△DCF中，可得DF＝＝2，
在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝＝.
所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.
22．(本小题满分12分)(2016～2017·济宁高一检测)四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形，E，F分别为AC和PB上的点，它的直观图，正视图，侧视图．如图所示.
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(1)求EF与平面ABCD所成角的大小；
(2)求二面角B－PA－C的大小．
[解析] 根据三视图可知：PA垂直于平面ABCD，点E，F分别为AC和PB的中点，ABCD是边长为4的正方形，且PA＝4.
(1)如图，取AB中点G，连接FG，GE，则FG∥PA，GE∥BC，所以FG⊥平面ABCD，∠FEG为EF与平面ABCD所成的角，在Rt△FGE中，FG＝2，GE＝2，所以∠FEG＝45°.
(2)因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BA，PA⊥CA，
所以∠BAC为二面角B－PA－C的平面角．
又因为∠BAC＝45°，
所以二面角B－AP－C的平面角的大小为45°.
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