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空间几何体
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．正方体中，、、分别是、、的中点．那么，正方体的过、、的截面图形是( )
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】A
2．在空间直角坐标系中, 点P(2,3,4)与Q (2, 3,- 4)两点的位置关系是（ ）
A．关于x轴对称 B．关于xOy平面对称
C．关于坐标原点对称 D．以上都不对
【答案】B
3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的倍，母线长为，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为( )
A． B． C． D．
【答案】A
4．如图，是由4个相同小正方体组合而成的几何体，它的左视图是( )
A． B． C． D．
【答案】D
5．如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，且，现用基向量表示向量，设，则x、y、z的值分别是( )
A． x＝，y＝，z＝ B． x＝，y＝，z＝
C． x＝，y＝，z＝ D． x＝，y＝，z＝
【答案】D
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6．点是等腰三角形所在平面外一点，中，底边的距离为( )
A． B． C． D．
【答案】A
7．一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中( )
A．AB∥CD B．AB与CD相交
C．AB⊥CD D．AB与CD所成的角为60°
【答案】D
8．下列说法正确的是( )
A．圆台是直角梯形绕其一边旋转而成；
B．圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成；
C．圆柱不是旋转体；
D．圆台可以看作是平行底面的平面截一个圆锥而得到
【答案】D
9．设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是( )
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】A
10．如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是( )
【答案】C
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11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
A． B．2
C． D．
【答案】A
12．已知平面α外的直线b垂直于α内的二条直线，有以下结论：b一定不垂直于α；b可能垂直于平面α；b一定不平行于平面α，其中正确的结论有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．在空间直角坐标系中,若点点,则 .
【答案】
14．一个几何体的三视图及部分数据如图所示，左视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积等于 ．
【答案】
15．四棱锥的三视图如右图所示,四棱锥的五个顶点都在一个球面上，、分别是棱、的中点，直线被球面所截得的线段长为，则该球表面积为 .
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【答案】
16．一个几何体的三视图如下图所示，正视图是一个边长为2的正三角形，侧视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的体积为 ．
【答案】4
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．如图，已知平行四边形中，，，，，垂足为，沿直线将翻折成，使得平面平面．连接，是上的点．
(I）当时，求证平面；
(Ⅱ）当时，求二面角的余弦值．
【答案】（1）∵，平面平面，∴．
如图建立空间直角坐标系．
则，，，
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，，．
，
，．
∵，，
∴，．
又，∴平面．
设面的法向量为，则．
取，，则，
又平面的法向量为，∴．
∴二面角的余弦值．
18．如图所示，已知M、N分别是AC、AD的中点，BCCD．
(I）求证：MN∥平面BCD；
(II）求证：平面B CD平面ABC；
(III）若AB＝1，BC＝，求直线AC与平面BCD所成的角．
【答案】 (1）因为分别是的中点，所以．
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又平面且平面，所以平面．
(2)因为平面, 平面，所以．
又，所以平面．
又平面，所以平面平面．
(3)因为平面，所以为直线与平面所成的角．
在直角中，，所以．所以．
故直线与平面所成的角为．
19．如图，已知正三棱柱各棱长都为，为线段上的动点.（Ⅰ）试确定的值，使得；
(Ⅱ）若，求二面角的大小；
【答案】【法一】（Ⅰ）当时，作在上的射影. 连结.则平面，∴，∴是的中点，又，∴也是的中点，即. 反之当时，取的中点，连接、.∵为正三角形，∴. 由于为的中点时，∵平面，∴平面，∴.（Ⅱ）当时，作在上的射影. 则底面.作在上的射影，连结，则.∴为二面角的平面角.又∵，∴，∴.∴，又∵，∴.∴，∴的大小为.
【法二】以为原点，为轴，过点与垂直的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设，则、、.（Ⅰ）由
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得，即，∴，即为的中点，也即时，.
(Ⅱ）当时，点的坐标是. 取.则，.∴是平面的一个法向量.又平面的一个法向量为.，∴二面角的大小是.
20．一个多面体的直观图和三视图如图所示：
(I）求证：PA⊥BD；
(II）连接AC、BD交于点O，在线段PD上是否存在一点Q，使直线OQ与平面ABCD所成的角为30o？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【答案】(I）由三视图可知P-ABCD为四棱锥，底面ABCD为正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，
连接AC、BD交于点O，连接PO ．
因为BD⊥AC，BD⊥PO，所以BD⊥平面PAC，
即BD⊥PA．
(II）由三视图可知，BC＝2，PA＝2，假设存在这样的点Q，
因为AC⊥OQ，AC⊥OD，
所以∠DOQ为直线OQ与平面ABCD所成的角
在△POD中，PD＝2，OD＝，则∠PDO＝60o，
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在△DQO中，∠PDO＝60o，且∠QOD＝30o．所以DP⊥OQ．
所以OD＝，QD＝． 所以．
21．如图，在四梭锥P -ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,AD =2，AB＝1.点M线段PD的中点．
(I）若PA＝2，证明：平面ABM ⊥平面PCD；
(II）设BM与平面PCD所成的角为θ，当棱锥的高变化时，求sinθ的最大值．
【答案】 (Ⅰ)∵平面，.
∵点M为线段PD的中点，PA= AD =2，.
又∵平面，.
平面.
又平面，
∴平面⊥平面.
(Ⅱ)设点B到平面PCD的距离为.
∵AB∥CD, ∴AB∥平面PCD.
∴点B到平面PCD的距离与点A到平面PCD的距离相等.
过点A在平面PAD内作AN⊥PD于N,
平面⊥平面，平面.
所以AN就是点A到平面PCD的距离.
设棱锥的高为，则AN=.
在△中，.
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.
因为，当且仅当，即时，等号成立.
故.
22．如图，四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD=DC=4，AD=2，E为PC的中点.
(I）求证：AD⊥PC；
(II）求三棱锥P-ADE的体积；
(III）在线段AC上是否存在一点M，使得PA//平面EDM，若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由.
【答案】（I）因为PD⊥平面ABCD.
所以PD⊥AD.
又因为ABCD是矩形，
所以AD⊥CD.
因为
所以AD⊥平面PCD.
又因为平面PCD，
所以AD⊥PC.
(II）因为AD⊥平面PCD，VP-ADE=VA-PDE，
所以AD是三棱锥A—PDE的高.
因为E为PC的中点，且PD=DC=4，
所以
又AD=2，
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所以
(III）取AC中点M，连结EM、DM，
因为E为PC的中点，M是AC的中点，
所以EM//PA，
又因为EM平面EDM，PA平面EDM，
所以PA//平面EDM.
所以
即在AC边上存在一点M，使得PA//平面EDM，AM的长为.
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