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第五单元 函数及其图象
第13课时 平面直角坐标系
(79分)
一、选择题(每题5分，共35分)
1．点A(1，－2)关于x轴对称的点的坐标是 ( D )
A．(1，－2) B．(－1，2)
C．(－1，－2) D．(1，2)
2．[2016·荆门]在平面直角坐标系中，若点A(a，－b)在第一象限内，则点B(a，b)所在的象限是 ( D )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．[2017·泸州]已知点A(a，1)与点B(－4，b)关于原点对称，则a＋b的值为( C )
A．5 B．－5
C．3 D．－3
【解析】 关于原点对称的两个点的纵、横坐标均互为相反数，∴a＝4，b＝－1，∴a＋b＝4－1＝3.
4．[2018·中考预测]点P的横坐标是－3，且到x轴的距离为5，则点P的坐标是
( B )
A．(5，－3)或(－5，－3)
B．(－3，5)或(－3，－5)
C．(－3，5)
D．(－3，－5)
【解析】 ∵点P到x轴的距离为5，∴P点的纵坐标是5或－5，∵点P的横坐标是－3，∴P点的坐标是(－3，5)或(－3，－5)．
5．[2017·青岛]如图13－1，若将△ABC绕点O逆时针旋转90°，则顶点B的对应点B1的坐标为 ( B )
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A．(－4，2) B．(－2，4)
C．(4，－2) D．(2，－4)
图13－1 第5题答图
【解析】 如答图，顶点B的对应点B1的坐标为(－2，4)．
6．[2017·潍坊]小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图13－2，棋盘中心方子的位置用(－1，0)表示，右下角方子的位置用(0，－1)表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形，则她放的位置是 ( B )
A．(－2，1) B．(－1，1)
C．(1，－2) D．(－1，－2)
图13－2 第6题答图
【解析】 如答图，棋盘中心方子的位置用(－1，0)表示，则该点所在的横线是x轴，右下角方子的位置用(0，－1)表示，则该点所在的纵线是y轴，则当放的位置是(－1，1)时构成轴对称图形．
7．[2016·枣庄]已知点P关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是 ( C )
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【解析】 ∵点P关于原点的对称点的坐标为，该点在第四象限，
∴解得a＜－1，
则a的取值范围在数轴上表示为选项C.
二、填空题(每题5分，共25分)
8．[2017·宜宾]在平面直角坐标系中，点M(3，－1)关于原点的对称点的坐标是__(－3，1)__．
9．在平面直角坐标系中，点A的坐标是(2，－3)，作点A关于x轴的对称点，得到点A′，再作点A′关于y轴的对称点，得到点A″，则点A″的坐标是__(－2，3)__．
【解析】 ∵点A(2，－3)关于x轴的对称点A′的坐标为(2，3)，∴点A′关于y轴的对称点为A″(－2，3)．
10．[2016·广安]将点A(1，－3)沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移5个单位长度后得到的点A′的坐标为__(－2，2)__．
11．如图13－3，这是台州市地图的一部分，分别以正东、正北方向为x轴，y轴的正方向建立直角坐标系，规定一个单位长度表示1 km.甲、乙两人对着地图描述路桥区A处的位置如下：
甲：路桥区A处的坐标是(2，0)；
乙：路桥区A处在椒江区B处南偏西30°方向，相距16 km.
则椒江区B处的坐标是__(10，8)__．
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图13－3 第11题答图
【解析】 如答图，连结AB，过点B作BC⊥x轴于点C，由题意，得AB＝16，∠ABC＝30°，∴AC＝8，BC＝8.∴OC＝OA＋AC＝10，则B处坐标是(10，8)．
12．[2017·咸宁]如图13－4，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，当n＝2 017时，顶点A的坐标为__(2，2)__．
图13－4 第12题答图
【解析】 2 017×60°÷360°＝336……60°，即与正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转1次时点A的坐标是一样的．当顺时针旋转60°时，点A与原F点重合．如答图，连结OF，过点F作FH⊥x轴，垂足为H.∵EF＝4，∠FOE＝60°(正六边形的性质)，∴△OEF是等边三角形，OF＝EF＝4，
∴点F的坐标是(2，2)，即旋转2 017次后点A的坐标是(2，2)．
三、解答题(共19分)
13．(8分)在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0，3)，点B在x轴上，将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点O，B的对应点分别是点E，F.
(1)如图13－5，若点B的坐标是(－4，0)，请在图中画出△AEF，并写出点E，F的坐标；
(2)当点F落在x轴的上方时，试写出一个符合条件的点B的坐标．
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图13－5 第13题答图
解：(1)如答图，△AEF就是所求作的三角形．点E的坐标是(3，3)，点F的坐标是(3，－1)；
(2)答案不唯一，如B(－2，0)等．
14．(11分)[2016·聊城]如图13－6，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－3，5)，B(－2，1)，C(－1，3)．
(1)若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为(4，0)，写出顶点A1，B1的坐标；
(2)若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A2B2C2各顶点的坐标；
(3)将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3，写出△A3B3C3各顶点的坐标．
图13－6
解：(1)∵点C(－1，3)平移后的对应点C1的坐标为(4，0)，
∴△ABC向右平移5个单位，向下平移3个单位得到△A1B1C1，
∴点A1的坐标为(2，2)，点B1的坐标为(3，－2)；
(2)∵△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，
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∴A2(3，－5)，B2(2，－1)，C2(1，－3)；
(3)A3(5，3)，B3(1，2)，C3(3，1)．
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(13分)
图13－7
15．(5分)在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点，且规定，正方形的内部不包含边界上的点．观察如图13－7所示的中心在原点，一组对边平行于x轴的正方形：边长为1的正方形内部有1个整点，边长为2的正方形内部有1个整点，边长为3的正方形内部有9个整点，…则边长为8的正方形内部的整点的个数为
( B )
A．64个 B．49个 C．36个 D．25个
【解析】 规律见下表：
边长
1
2
3
4
5
6
…
整点数
1
1
32
32
52
52
…
∴边长为8与边长为7的正方形内部的整点数相同，有49个，故选B.
16．(8分)[2017·温州]在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整数的三角形为整点三角形．如图13－8，已知整点A(2，3)，B(4，4)．请在所给网格区域(含边界)上按要求画整点三角形．
(1)在图①中画一个△PAB，使点P的横、纵坐标之和等于点A的横坐标；
(2)在图②中画一个△PAB，使点P，B横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4倍．
图13－8
解：(1)如答图①或②；(2)如答图③或④.
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第16题答图
(8分)
17．(8分)[2017·商水二模]在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1，D1E1E2B2，A2B2C2D2，D2E3E4B3…按如图13－9所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2 017B2 017C2 017D2 017的边长是 ( C )
图13－9
A. B.
C. D.
【解析】 ∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，∴D1E1＝B2E2，D2E3＝B3E4，∠D1C1E1＝∠C2B2E2＝∠C3B3E4＝30°，∴D1E1＝C1D1sin30°＝，则 B2C2＝＝＝，同理可得B3C3＝＝，故正方形AnBnCnDn的边长是，则正方形
A2 017B2 017C2 017D2 017的边长为.
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