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第15课时 一次函数的应用
(70分)
一、选择题(每题6分，共18分)
图15－1
1．如图15－1，把一个小球垂直向上抛出，则下列描述该小球的运动速度v(m/s)与运动时间t(s)关系的函数图象中，正确的是 ( C )
【解析】 一个小球垂直向上抛出，小球的运动速度v越来越小，到达最高点时为0，小球下落时速度逐渐增加．故选C.
2．[2017·德州]公式L＝L0＋KP表示当重力为P时的物体作用在弹簧上时弹簧的长度．L0代表弹簧的初始长度，用厘米(cm)表示，K表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧拉伸的长度，用厘米(cm)表示．下列给出的四个公式中，表明这是一个短而硬的弹簧的是 ( A )
A．L＝10＋0.5P B．L＝10＋5P
C．L＝80＋0.5P D．L＝80＋5P
【解析】 公式L＝L0＋KP中，L0代表弹簧的初始长度，故四个选项中选项A与B的L0＝10 cm，为较短的弹簧；K表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧拉伸的长度，选项A中K＝0.5 cm，选项B中K＝5 cm，显然选项A中的弹簧更硬，综上可知，应选A.
3．[2017·鄂州]小东家与学校之间是一条笔直的公路，早饭后，小东步行前往学校，途中发现忘带画板，停下给妈妈打电话，妈妈接到电话后，带上画板马上赶往学校，同时小东沿原路返回，两人相遇后，小东立即赶往学校，妈妈沿原路返回16 min到家，再过5 min小东到达学校，小东始终以100 m/min的速度步行，小东和妈妈的距离y(单位：m)与小东打完电话后的步行时间t(单位：min)之间的函数关系如图15－2所示，下列四种说法：
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图15－2
①打电话时，小东和妈妈的距离为1 400 m；
②小东和妈妈相遇后，妈妈回家的速度为50 m/min；
③小东打完电话后，经过27 min到达学校；
④小东家离学校的距离为2 900 m.
其中正确的个数是 ( D )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】 ①当t＝0时，y＝1 400，∴打电话时，小东和妈妈的距离为1 400 m，结论①正确；②2 400÷(22－6)－100＝50(m/min)，∴小东和妈妈相遇后，妈妈回家的速度为50 m/min，结论②正确；③∵t的最大值为27，∴小东打完电话后，经过27 min到达学校，结论③正确；④2 400＋(27－22)×100＝2 900(m)，∴小东家离学校的距离为2 900 m，结论④正确．综上所述，正确的结论有①②③④，4个．
二、填空题(每题6分，共18分)
图15－3
4．放学后，小明骑车回家，他经过的路程s(km)与所用时间t(min)的函数关系如图15－3所示，则小明的骑车速度是__0.2__km/min.
【解析】 v＝＝＝0.2 km/min.
图15－4
5．小明从家跑步到学校，接着马上原路步行回家．如图15－4是小明离家的路程y(m)与时间t(min)的函数图象，则小明回家的速度是每分钟步行__80__m.
【解析】 通过读图可知，小明家距学校800 m，小明从学校步行回家的时间是15－5＝10(min)，
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所以小明回家的速度是每分钟步行800÷10＝80(m)．
6．[2016·重庆]甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B地，乙驾车从B地到A地，他们分别以不同的速度匀速行驶，已知甲先出发6 min，乙才出发，在整个过程中，甲、乙两人的距离y(km)与甲出发的时间x(min)之间的关系如图15－5所示．当乙到达终点A时，甲还需__78__min到达终点B.
图15－5
【解析】 根据甲先出发6 min后，乙才出发，结合图象可知甲的速度是 km/min，甲乙两人用10 min共同走完15 km的路程，可求得乙的速度是 km/min，因此乙还需16÷－(16－6)＝2 min到达A地，此时甲走了16＋2＝18 min，走完全程需要16÷＝96 min，所以还需96－18＝78 min.
三、解答题(共34分)
7．(10分)[2017·苏州]某长途汽车客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李，当行李的质量超过规定时，需付的行李费y(元)是行李质量x(kg)的一次函数．已知行李质量为20 kg时需付行李费2元，行李质量为50 kg时需付行李费8元．
(1)当行李的质量x超过规定时，求y与x之间的函数表达式；
(2)求旅客最多可免费携带行李的质量．
解：(1)根据题意，设y与x的函数表达式为y＝kx＋b.
当x＝20时，y＝2，当x＝50时，y＝8，
联立得解得
∴求函数表达式为y＝x－2.
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(2)当y＝0时，x－2＝0，得x＝10；
答：旅客最多可免费携带行李10 kg.
8．(12分)[2016·绍兴]根据卫生防疫部门要求，游泳池必须定期换水、清洗．某游泳池周五早上8：00打开排水孔开始排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需要暂停排水，游泳池的水在11：30全部排完．游泳池内的水量Q(m3)和开始排水后的时间t(h)之间的函数图象如图15－6所示，根据图象解答下列问题：
(1)暂停排水需要多少时间？排水孔的排水速度是多少？
(2)当2≤t≤3.5时，求Q关于t的函数表达式．
图15－6
解：(1)暂停排水时间为0.5 h.
排水孔的排水速度为900÷(3.5－0.5)＝300 m3/h；
(2)设当2≤t≤3.5时，Q关于t的函数表达为Q＝kt＋b，
把(2，450)，(3.5，0)分别代入，得
解得∴函数表达式为Q＝－300t＋1 050.
9．(12分)[2017·潍坊]某蔬菜加工公司先后两批次收购蒜薹共100 t．第一批蒜薹价格为4 000元/t；因蒜薹大量上市，第二批价格跌至1 000元/t，这两批蒜薹共用去16万元．
(1)求两批次购进蒜薹各多少吨？
(2)公司收购后对蒜薹进行加工，分为粗加工和精加工两种，粗加工每吨利润400元，精加工每吨利润1 000元．要求精加工数量不多于粗加工数量的三倍，为获得最大利润，精加工数量应为多少吨？最大利润是多少？
解：(1)设第一批购进蒜薹x t，第二批购进蒜薹y t，由题意得
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解得
答：第一批购进蒜薹20 t，第二批购进蒜薹80 t.
(2)设蒜薹精加工m t，总利润为W元，则粗加工(100－m)t，由题意得m≤3(100－m)，解得m≤75.
∴W＝1 000m＋400(100－m)＝600m＋40 000.
∵600＞0，∴W随m的增大而增大．
∴当m＝75，即精加工75 t时，W取得最大值85 000元．
(20分)
10．(20分)[2017·衡阳]为响应绿色出行号召，越来越多市民选择租用共享单车出行，已知某共享单车公司为市民提供了手机支付和会员卡支付两种支付方式，如图15－7描述了两种方式应支付金额y(元)与骑行时间x(h)之间的函数关系，根据图象回答下列问题：
(1)求手机支付金额y(元)与骑行时间x(h)的函数关系式；
(2)李老师经常骑行共享单车，请根据不同的骑行时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算．
图15－7
解：(1)当0≤x＜0.5时，y＝0，
当x≥0.5时，设手机支付金额y(元)与骑行时间x(h)的函数关系式是y＝kx＋b，则
解得
即当x≥0.5时，手机支付金额y(元)与骑行时间x(h)的函数关系式是y＝x－0.5，
由以上可得，手机支付金额y(元)与骑行时间x(h)的函数关系式是y＝
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(2)设会员卡支付对应的函数关系式为y＝ax，
则0.75＝a×1，得a＝0.75，
即会员卡支付对应的函数关系式为y＝0.75x.
令0.75x＝x－0.5，得x＝2，
由图象可知，当x＞2时，会员卡支付便宜．
答：当0＜x＜2时，李老师选择手机支付比较合算，
当x＝2时，李老师选择两种支付一样，
当x＞2时，李老师选择会员卡支付比较合算．
(10分)
11．(10分)[2017·随州]在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地位于A，B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地，在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y(km)与甲车行驶时间t(h)之间的函数关系如图15－8所示．下列结论：①甲车出发2 h时，两车相遇；②乙车出发1.5 h时，两车相距170 km；③乙车出发2 h时，两车相遇；④甲车到达C地时，两车相距40 km.其中正确的是__②③④__(填写所有正确结论的序号)．
图15－8
解：①观察函数图象可知，当t＝2时，两函数图象相交，∵C地位于A，B两地之间，∴交点代表了两车离C地的距离相等，并不是两车相遇，结论①错误；②甲车的速度为240÷4＝60(km/h)，乙车的速度为200÷(3.5－1)＝80(km/h)，∵(240＋200－60－170)÷(60＋80)＝1.5(h)，∴乙车出发1.5 h时，两车相距170 km，结论②正确；③∵(240＋200－60)÷(60＋80)＝2(h)，∴乙车出发2 h时，两车相遇，结论③正确；④∵80×(4－3.5)＝40(km)，∴甲车到达C地时，两车相距40 km，结论④正确．综上所述，正确的结论是
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②③④.
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