第二部分 图形与几何
第七单元 三角形
第21课时 三角形的基础知识
(60分)
一、选择题(每题6分，共36分)
1．[2017·淮安]若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是( B )
A．14 B．10
C．3 D．2
【解析】 设第三边长为a，根据“三角形三边之间的关系”得8－5＜a＜8＋5，即3＜a＜13，所以10可能是第三边长．
2．[2017·酒泉]把一把直尺与一块三角板如图21－1放置，若∠1＝45°，则∠2为 ( C )
图21－1
A．115° B．120°
C．135° D．145°
3．[2016·南充]如图21－2，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为 ( A )
图21－2
A．1 B．2
C. D．1＋
4．[2017·宜宾]如图21－3，BC∥DE，若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠E等于( B )
图21－3
A．24° B．59°
C．60° D．69°
【解析】 由三角形的外角性质知∠CBE＝∠A＋∠C＝59°，∵BC∥DE，
∴∠E＝∠CBE＝59°.
5．[2017·郴州]小明把一副含45°，30°的直角三角板如图21－4摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等于 ( B )
A．180° B．210°
C．360° D．270°
图21－4 第5题答图
【解析】 如答图，∠α＝∠1＋∠D，∠β＝∠4＋∠F，∴∠α＋∠β＝∠1＋∠D＋∠4＋∠F＝∠2＋∠D＋∠3＋∠F＝∠2＋∠3＋∠C＋30°＝210°.
6．如图21－5，在折纸活动中，小明制作了一张三角形纸片ABC，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，点A与点A′重合，若∠A＝75°，则∠1＋∠2＝ ( A )
图21－5
A．150° B．210°
C．105° D．75°
【解析】 ∵△A′DE是由△ADE翻折而成，∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∠A＝∠A′＝75°，∴∠AED＋∠ADE＝∠A′ED＋∠A′DE＝180°－75°＝105°，∴∠1＋∠2＝360°－2×105°＝150°.故选A.
二、填空题(每题6分，共24分)
7．[2017·福建]如图21－6，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连结DE.若DE＝3，则线段BC的长等于__6__．
【解析】 ∵△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线．∵DE＝3，∴BC＝2DE＝6.
图21－6
8．[2017·成都]在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A的度数为__40°__．
【解析】 设∠A，∠B，∠C的度数分别是2x，3x，4x，则有2x＋3x＋4x＝180°，解得x＝20°，所以∠A＝2x＝40°.
9．[2016·广安]如图21－7，直线l1∥l2，若∠1＝130°，∠2＝60°，则∠3＝__70°__．
图21－7 图21－8
10．[2017·泰州]将一副三角板如图21－8叠放，则图中∠α的度数为__15°__.
【解析】 由三角形的外角的性质，得∠α＝60°－45°＝15°.
(26分)
11．(8分)[2017·德州]观察图21－9中的图形，它是把一个三角形分别连结这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图①)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去(如图②，图③…)，则图⑥中挖去三角形的个数为 ( C )
A．121 B．362 C．364 D．729
图21－9
【解析】 图①挖去中间的1个小三角形，图②挖去中间的(1＋3)个小三角形，图③挖去中间的(1＋3＋32)个小三角形，…则图⑥挖去中间的(1＋3＋32＋33＋34＋35)个小三角形，即图⑥挖去中间的小三角形的个数为364.
12．(8分)[2016·随州]如图21－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，M，N分别是AB，AC的中点，延长BC至点D，使CD＝BD，连结DM，DN，MN.若AB＝6，则DN＝ __3__.
图21－10 第12题答图
【解析】 如答图，连结CM.∵M，N分别是AB，AC的中点，
∴NM＝CB，MN∥BC，又∵CD＝BD，∴CD＝CB＝MN，
∴四边形DCMN是平行四边形，∴DN＝CM.
∵∠ACB＝90°，M是AB的中点，∴CM＝AB＝3，∴DN＝3.
13．(10分)[2016·北京]如图21－11，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连结BM，MN，BN.
图21－11
(1)求证：BM＝MN；
(2)若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长．
解：(1)证明：在△CAD中，∵M，N分别是AC，CD的中点，
∴MN∥AD，MN＝AD.
在Rt△ABC中，∵M是AC中点，∴BM＝AC.
∵AC＝AD，∴BM＝MN；
(2)∵∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC＝30°.
由(1)可知，BM＝AC＝AM＝MC，
∴∠BMC＝∠BAM＋∠ABM＝2∠BAM＝60°.
∵MN∥AD，∴∠NMC＝∠DAC＝30°，
∴∠BMN＝∠BMC＋∠NMC＝90°，
∴BN2＝BM 2＋MN2.
由(1)可知MN＝BM＝AC＝1，∴BN＝.
(14分)
14．(14分)[2016·绍兴]如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．
(1)若固定三根木条AB，BC，AD不动，AB＝AD＝2 cm，BC＝5 cm，如图21－12，量得第四根木条CD＝5 cm，判断此时∠B与∠D是否相等，并说明理由；
(2)若固定两根木条AB，BC不动，AB＝2 cm，BC＝5 cm，量得木条CD＝5 cm，∠B＝90°，写出木条AD的长度可能取到的一个值(直接写出一个即可)；
(3)若固定一根木条AB不动，AB＝2 cm，量得木条CD＝5 cm.如果木条AD，
BC的长度不变，当点D移到BA的延长线上时，点C也在BA的延长线上；当点C移到AB的延长线上时，点A，C，D能构成周长为30 cm的三角形，求出木条AD，BC的长度．
图21－12 第14题答图
解：(1)相等．理由：如答图，连结AC.
∵AB＝AD＝2，BC＝DC＝5，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠B＝∠D；
(2)答案不唯一，只要满足－5≤AD≤＋5即可，如AD＝5 cm；
(3)设AD＝x(cm)，BC＝y(cm)，根据题意，得
当点C在点D的右侧时，
解得
当点C在点D的左侧时，
解得
此时AC＝17，CD＝5，AD＝8，
∵5＋8
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