2018届中考数学《第24课时：直角三角形和勾股定理》同步练习.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第24课时　直角三角形和勾股定理 ‎(66分)‎ 一、选择题(每题5分，共25分)‎ ‎1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是 ‎(　B　)‎ A.，， B．1，， C．6，7，8 D．2，3，4‎ 图24－1‎ ‎ 2.[2016·台州]如图24－1，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是 (　B　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】 由题意，可得OB＝2，BC＝1，∴OM＝OC＝＝，则点M对应的数是.故选B.‎ ‎3．如图24－2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是 (　A　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 图24－2　 　第3题答图 ‎【解析】 如答图，在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，根据勾股定理，得AB＝＝15，过点C作CD⊥AB，交AB于点D，S△ABC＝AC·BC＝ AB·CD，∴CD＝＝＝，则点C到AB的距离是.故选A.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎4．如图24－3，将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板最长边的长为 (　D　)‎ A．3 cm B．6 cm C．3 cm D．6 cm ‎ ‎ 图24－3　　 第4题答图 ‎【解析】 如答图，过点C作垂线，交纸带对边沿于点D，∴CD＝3.在 Rt△ADC中，∵∠CAD＝30°，∴AC＝2CD＝2×3＝6.又∵三角板是有45°角的三角板，∴AB＝AC＝6，∴BC2＝AB2＋AC2＝62＋62＝72，∴BC＝6.故选D.‎ 图24－4‎ ‎5．如图24－4，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则线段DE的长为 (　B　)‎ A．3 B. C．5 D. ‎【解析】 设DE＝x，则AE＝6－x.∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，‎ ‎∴∠EDB＝∠DBC，由题意，得∠EBD＝∠DBC，∴∠EDB＝∠EBD，∴EB＝DE＝x，由勾股定理，得BE2＝AB2＋AE2，即x2＝32＋(6－x)2，解得x＝，∴DE＝.故选B.‎ 二、填空题(每题5分，共25分)‎ 图24－5‎ ‎6．[2017·潮南区模拟]如图24－5，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，若BC＝10，AD＝12，则AC＝__13__.‎ ‎【解析】 ∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，BD＝DC，在Rt△ADC中，AC＝＝＝13.‎ ‎7．已知直角三角形两边的长分别是3和4，则第三边的长为__5或__.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎8．将一副三角尺按图24－6叠放在一起，若AB＝14 cm，则阴影部分的面积是____cm2.‎ ‎【解析】 ∵∠B＝30°，∴AC＝AB＝7 (cm)，易证AC＝CF，∴S△ACF＝AC·CF＝AC2＝×72＝(cm2)．‎ ‎ ‎ 图24－6　　 　　图24－7‎ ‎9．如图24－7，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于__8__.‎ ‎【解析】 ∵△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，DE＝5，∴DE＝ AC，∴AC＝10.在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝6，AC＝10，则根据勾股定理，得CD＝＝＝8.‎ ‎10．如图24－8，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为____．‎ ‎ ‎ 图24－8 　　 第10题答图 ‎【解析】 如答图，将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，此时AB最短．‎ ‎∵△BCM∽△ACN，‎ ‎∴＝，即＝＝2，‎ 即MC＝2NC，∴CN＝MN＝，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 在Rt△ACN中，AC＝＝.‎ 三、解答题(共16分)‎ ‎11．(8分)如图24－9，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，CD＝5 cm，求AB的长．‎ ‎　图24－9‎ ‎【解析】 要求的AB在Rt△ABC中，∠A＝30°，故只需求BC的长；在 Rt△BCD中，DC＝5 cm，∠DBC＝∠ABC＝30°，故可求出BD，BC的长，从而根据AB＝2BC计算出结果．‎ 解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，‎ ‎∴AB＝2BC，∠ABC＝60°.‎ ‎∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝30°.‎ ‎∵在Rt△CBD中，CD＝5 cm，∴BD＝10 cm，‎ ‎∴BC＝5 cm，∴AB＝2BC＝10(cm)．‎ ‎12．(8分)如图24－10，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3.‎ 图24－10‎ ‎(1)求DE的长；‎ ‎(2)求△ADB的面积．‎ 解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AC⊥CD.‎ ‎∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴DE＝CD，‎ ‎∵CD＝3，∴DE＝3；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，‎ ‎∴AB＝＝＝10，‎ ‎∴S△ADB＝AB·DE＝×10×3＝15.‎ ‎(24分)‎ ‎13．(6分)如果将长为6 cm，宽为5 cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是 (　A　)‎ A．8 cm B．5 cm C．5.5 cm D．1 cm ‎【解析】 易知最长折痕为矩形对角线的长，根据勾股定理得对角线长为＝≈7.8＜8，故折痕长不可能为8 cm.故选A.‎ ‎14．(8分)[2016·益阳]如图24－11，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．‎ 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．‎ 图24－11‎ 解：设BD＝x，∴CD＝14－x，‎ 由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，‎ AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，‎ ‎∴152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9，‎ ‎∴AD＝12.∴S△ABC＝BC·AD＝×14×12＝84.‎ ‎15．(10分)[2017·宁波]在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 图24－12‎ 如图24－12，将矩形ABCD的四边BA，CB，DC，AD分别延长至E，F，G，H，使得AE＝CG，BF＝DH，连结EF，FG，GH，HE.‎ ‎(1)求证：四边形EFGH为平行四边形；‎ ‎(2)若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB＝45°，tan∠AEH＝2，求AE的长．‎ 解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，‎ ‎∵BF＝DH，∴AH＝CF，‎ 在Rt△AEH中，EH＝，‎ 在Rt△CFG中，FG＝，‎ ‎∵AE＝CG，∴EH＝FG，同理，得EF＝HG，‎ ‎∴四边形EFGH为平行四边形；‎ ‎(2)在正方形ABCD中，AB＝AD＝1，‎ 设AE＝x，则BE＝x＋1，在Rt△BEF中，∠BEF＝45°，‎ ‎∴BE＝BF，∵BF＝DH，∴DH＝BE＝x＋1，‎ ‎∴AH＝AD＋DH＝x＋2，‎ 在Rt△AEH中，tan∠AEH＝2，‎ ‎∴AH＝2AE，∴2＋x＝2x，解得x＝2，∴AE＝2.‎ ‎(10分)‎ ‎16．(10分)[2017·宜昌]阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为 其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．‎ 应用：当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．‎ 解：当n＝1，a＝(m2－1)①，b＝m②，c＝(m2＋1)③，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵直角三角形有一边长为5，‎ ‎∴Ⅰ.当a＝5时，(m2－1)＝5，解得m＝±(舍去)；‎ Ⅱ.当b＝5时，即m＝5，代入①③，得a＝12，c＝13，‎ Ⅲ.当c＝5时，(m2＋1)＝5，解得m＝±3.‎ ‎∵m＞0，∴m＝3，代入①②，得a＝4，b＝3.‎ 综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费