2018届中考数学《第28课时：矩形、菱形、正方形》同步练习.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第28课时　矩形、菱形、正方形 ‎(62分)‎ 一、选择题(每题4分，共24分)‎ ‎1．[2017·益阳]下列性质中菱形不一定具有的性质是 (　C　)‎ A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．既是轴对称图形又是中心对称图形 ‎2．[2016·台州]小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了 (　B　)‎ A．1次 B．2次 C．3次 D．4次 图28－1‎ ‎3．如图28－1，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是 (　D　)‎ A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．OA＝OB D．OA＝AD ‎4．[2017·南充]已知菱形的周长为4，两条对角线的和为6，则菱形的面积为 ‎(　D　)‎ A．2 B. C．3 D．4‎ 第4题答图 ‎【解析】 如答图，四边形ABCD是菱形，AC＋BD＝6，‎ ‎∴AB＝ ，AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD，∴AO＋BO＝3，∴AO2＋BO2＝AB2，(AO＋BO)2＝9，即AO2＋BO2＝5，AO2＋2AO·BO＋BO2＝9，∴2AO·BO＝4，∴菱形的面积＝ AC·BD＝2AO·BO＝4.‎ 图28－2‎ ‎5．[2017·临沂]如图28－2，在△ABC中，点D是边BC 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是 ‎(　D　)‎ A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形 B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形 C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形 D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形 ‎【解析】 根据DE∥AC，DF∥AB，可证明四边形AEDF是平行四边形，再根据矩形、菱形的判定方法依次分析即可做出判断．若AD⊥BC，无法判定四边形AEDF是矩形，∴A错误；若AD垂直平分BC，可以判定四边形AEDF是菱形，∴B错误；若BD＝CD，无法判定四边形AEDF是菱形，∴C错误；若AD平分∠BAC，则∠EAD＝∠FAD＝∠ADF，∴AF＝DF，又∵四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是菱形，故D正确．‎ 图28－3‎ ‎6．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD成为正方形(如图28－3)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是 (　B　)‎ A．①② B．②③‎ C．①③ D．②④‎ ‎【解析】 此题考查正方形的判定，即在▱ABCD的基础上，需要再同时具备矩形和菱形的特征．①是菱形的特征；②是矩形的特征；③是矩形的特征，④是菱形的特征．而B中都是矩形的特征．故选B.‎ 二、填空题(每题4分，共20分)‎ ‎7．[2017·菏泽]菱形ABCD中，∠A＝60°，其周长为24 cm，则菱形的面积为__18___cm2.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第7题答图 ‎【解析】 如答图，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，又∵周长为24 cm，即BD＝AB＝6 cm，在Rt△AOD中，OD＝3 cm，∴AO＝ ＝＝3，∴AC＝2AO＝6，菱形的面积＝AC·BD＝18(cm2)．‎ ‎8．[2016·成都]如图28－4，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为__3__．‎ ‎【解析】 ∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB，‎ ‎∵AE垂直平分OB，∴AB＝AO，‎ ‎∴OA＝AB＝OB＝3，∴BD＝2OB＝6，‎ ‎∴AD＝＝＝3.‎ ‎ ‎ 图28－4 　　 　图28－5‎ ‎9．[2017·黄冈]已知：如图28－5，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED＝__45__°.‎ ‎【解析】 由题意，得AB＝AE，∠BAD＝90°，∠DAE＝∠AED＝60°.‎ ‎∴∠BAE＝150°，∠AEB＝15°.∴∠BED＝∠AED－∠AEB＝60°－15°＝45°.‎ ‎10．[2017·兰州]在▱ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下列给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD，其中正确的序号是__①③④__.‎ ‎【解析】 ①有一个角是直角的平行四边形是矩形；有一组邻边相等的矩形是正方形，即①正确；②BD为平行四边形的对角线，AB为平行四边形的其中一条边，所以AB＝BD时，平行四边形不可能是正方形，即②错误；③‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 对角线相等且垂直的平行四边形是正方形．由题意OB＝OC，得AC＝BD，由OB⊥OC得AC⊥BD，即四边形ABCD为正方形，即③正确；④邻边相等的平行四边形是菱形，对角线相等的菱形是正方形．依题意在▱ABCD中，由AB＝AD，得▱ABCD为菱形，又∵AC＝BD，∴四边形ABCD为正方形．即④正确．综上，正确的是①③④.‎ ‎11．如图28－6，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为__6__．‎ ‎ ‎ 图28－6　　 第11题答图 ‎【解析】 如答图，连结BD，DE.‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴点B与点D关于直线AC对称，‎ ‎∴DE的长即为BQ＋QE的最小值，‎ 在Rt△DAE中，∵DE＝＝＝5，‎ ‎∴△BEQ周长的最小值为DE＋BE＝5＋1＝6.‎ 三、解答题(共18分)‎ 图28－7‎ ‎12．(8分)[2016·广安]如图28－7，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F.求证：DF＝BE.‎ 证明：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴CD＝BC，∠ADC＝∠ABC，∴∠CDF＝∠CBE.‎ ‎∵CF⊥AD，CE⊥AB，‎ ‎∴∠CFD＝∠CEB＝90°，‎ 在△CFD和△CEB中， ‎∴△CFD≌△CEB(AAS)，∴DF＝BE.‎ 图28－8‎ ‎13．(10分)[2017·荆州]如图28－8，在矩形ABCD中，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 连结对角线AC，BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE.‎ ‎(1)求证：△ACD≌△EDC；‎ ‎(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．‎ 解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD＝BC，∠ADC＝∠ABC＝90°，‎ 由平移的性质得DE＝AC，CE＝BC，∠DCE＝∠ABC＝90°，∴AD＝EC，‎ 在△ACD和△EDC中，‎ ‎ ∴△ACD≌△EDC(SAS)；‎ ‎(2)△BDE是等腰三角形．理由如下：‎ ‎∵AC＝BD，DE＝AC，∴BD＝DE，‎ ‎∴△BDE是等腰三角形．‎ ‎(24分)‎ 图28－9‎ ‎14．(12分)如图28－9，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE，FG相交于点H.‎ ‎(1)判断线段DE，FG的位置关系，并说明理由；‎ ‎(2)连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．‎ 解：(1)DE⊥FG.理由：‎ 由题意，得∠A＝∠EDB＝∠GFE，∠ABC＝∠DBE＝90°，‎ ‎∵∠BDE＋∠BED＝90°，∴∠GFE＋∠BED＝90°，‎ ‎∴∠FHE＝90°，即DE⊥FG；‎ ‎(2)证明：∵△ABC沿射线AB平移至△FEG，‎ ‎∴CB∥GE，CB＝GE.‎ ‎∴四边形CBEG是平行四边形．‎ ‎∵∠ABC＝∠FEG＝90°，∴四边形CBEG是矩形．‎ ‎∵BC＝BE，∴四边形CBEG是正方形．‎ 图28－10‎ ‎15．(12分)[2017·青岛]已知：如图28－10，在菱形 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连结CE，CF，OE，OF.‎ ‎(1)求证：△BCE≌△DCF；‎ ‎(2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．‎ 解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴∠B＝∠D，AB＝BC＝DC＝AD，‎ ‎∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，‎ ‎∴AE＝BE＝DF＝AF＝OE＝OF，‎ 在△BCE和△DCF中， ‎∴△BCE≌△DCF(SAS)；‎ ‎(2)当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下：‎ 由(1)得AE＝OE＝OF＝AF，∴四边形AEOF是菱形，‎ ‎∵AB⊥BC，OE∥BC，∴OE⊥AB，‎ ‎∴∠AEO＝90°，∴四边形AEOF是正方形．‎ ‎(14分)‎ ‎16．(14分)[2016·兰州]阅读下面材料：‎ 在数学课上老师请同学思考如下问题：如图28－11①，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H连结起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？‎ 图28－11‎ 小敏在思考问题时，有如下所示的思路：连结AC.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 结合小敏的思路作答：‎ ‎(1)若只改变图①中四边形ABCD的形状(如图②)，则四边形EFGH还是平行四边形吗？请说明理由；‎ 参考小敏思考问题的方法，解决以下问题：‎ ‎(2)如图②，在(1)的条件下，若连结AC，BD.‎ ‎①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；‎ ‎②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．‎ 解：(1)四边形EFGH还是平行四边形．‎ 理由：∵E，F分别是AB，BC的中点，‎ ‎∴EF∥AC，EF＝AC，‎ ‎∵G，H分别是CD，AD的中点，‎ ‎∴GH∥AC，GH＝AC，∴EF∥GH，EF＝GH，‎ ‎∴四边形EFGH是平行四边形；‎ ‎(2)①当AC＝BD时，四边形EFGH是菱形．‎ 证明：由(1)可知四边形EFGH是平行四边形，‎ 当AC＝BD时，FG＝BD，EF＝AC，‎ ‎∴FG＝EF，∴四边形EFGH是菱形；‎ ‎②当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费