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第十单元 相似图形
第32课时 相似图形
(70分)
一、选择题(每题5分，共30分)
1．[2017·重庆A卷]若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为( A )
A．3∶2 B．3∶5
C．9∶4 D．4∶9
【解析】 因为△ABC∽△DEF，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高之比等于相似比”，故选A.
2．[2018·中考预测]如图32－1，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是( D )
图32－1
A．∠ABD＝∠ACB
B．∠ADB＝∠ABC
C．AB2＝AD·AC
D.＝
【解析】 在△ADB和△ABC中，∠A是它们的公共角，那么当＝时，才能使△ADB∽△ABC，不是＝.故选D.
图32－2
3．[2017·枣庄]如图32－2，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 ( C )
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【解析】 A．阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；B.阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；C.两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似；D.两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似．故选C.
4．[2017·哈尔滨]如图32－3，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连结AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是 ( C )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
图32－3 图32－4
5．[2017·恩施]如图32－4，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD∶BD＝5∶3，CF＝6，则DE的长为 ( C )
A．6 B．8
C．10 D．12
【解析】 ∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B.∵∠ADE＝∠EFC，∴∠B＝∠EFC，∴BD∥EF.∵DE∥BF，∴四边形BDEF为平行四边形，∴DE＝BF.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝＝，∴BC＝DE，∴CF＝BC－BF＝DE
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＝6，∴DE＝10.
图32－5
6．[2017·绥化]如图32－5，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连结BE并延长交AD于点F，已知S△AEF＝4，则下列结论：①＝；
②S△BCE＝36；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD，其中一定正确的是 ( D )
A．①②③④ B.①④
C．②③④ D.①②③
【解析】 在▱ABCD中，AO＝AC，∵点E是OA的中点，∴AE＝CE.∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴＝＝.∵AD＝BC，∴AF＝AD，∴＝，故①正确；∵S△AEF＝4，＝＝，∴S△BCE＝36，故②正确；∵＝＝，∴＝，∴S△ABE＝12，故③正确；∵BF不平行于CD，
∴△AEF与△ADC只有一个角相等，∴△AEF与△ACD不一定相似，故④错误．综上，正确的有①②③.
二、填空题(每题5分，共20分)
图32－6
7．如图32－6，直线l1，l2，…，l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3，l6相交于点B，E，C，F，若BC＝2，则EF的长是__5__.
8．[2017·自贡]如图32－7，在△ABC中，MN∥BC，分别交AB，AC于点M，N，若AM＝1，MB＝2，BC＝3，则MN的长为__1__．
【解析】 ∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴＝.∵AM＝1，MB＝2，BC＝3，∴＝，解得MN＝1.
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图32－7 图32－8
9．[2017·潍坊]如图32－8，在△ABC中，AB≠AC，D，E分别为边AB，AC上的点，AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：__∠A＝∠BDF(答案不唯一，合理即可)__，可以使△FDB与△ADE相似．(只需写出一个)
【解析】 ∵AC＝3AD，AB＝3AE，∴＝＝，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴∠AED＝∠B.故要使△FDB与△ADE相似，只需再添加一组对应角相等，或夹角的两边成比例即可．
图32－9
10．[2016·舟山]如图32－9，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB＝12，EF＝9，则DF的长是__7__．
【解析】 ∵△ABC与△DEC的面积相等，∴△CDF与四边形AFEB的面积相等，∵AB∥DE，∴△CEF∽△CBA，∵EF＝9，AB＝12，∴EF∶AB＝9∶12＝3∶4，∴S△CEF∶S△CBA＝9∶16，设△CEF的面积为9k，则四边形AFEB的面积为7k.∵△CDF与四边形AFEB的面积相等，∴S△CDF＝7k，∵△CDF与△CEF是同高不同底的三角形，∴面积比等于底之比，∴DF∶EF＝7k∶9k，∴DF＝7.
三、解答题(共20分)
图32－10
11．(10分)如图32－10，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE.
(1)写出图中两对相似三角形(不得添加辅助线)；
(2)请分别说明两对三角形相似的理由．
【解析】 由两个角对应相等得两三角形相似，关键是得到∠BAC＝∠DAE.
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解：(1)△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE；
(2)∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE.
又∵∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE，∴＝.
又∵∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE.
图32－11
12．(10分)[2017·宿迁]如图32－11，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．
(1)求证：△BDE∽△CEF；
(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.
证明：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∵∠BDE＝180°－∠B－∠DEB，
∠CEF＝180°－∠DEF－∠DEB，
∵∠DEF＝∠B，∴∠BDE＝∠CEF，
∴△BDE∽△CEF；
(2)∵△BDE∽△CEF，∴＝，
∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，∴＝，
∵∠DEF＝∠B＝∠C，∴△DEF∽△ECF，
∴∠DFE＝∠CFE，∴FE平分∠DFC.
(15分)
13．(15分)[2017·株洲]如图32－12，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连结CF.求证：
(1)△DAE≌△DCF；
(2)△ABG∽△CFG.
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图32－12 第13题答图
证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，△EDF是等腰直角三角形，
∴∠ADC＝∠EDF＝90°，AD＝CD，DE＝DF，
∴∠ADE＋∠ADF＝∠ADF＋∠CDF，
∴∠ADE＝∠CDF，在△DAE和△DCF中，
∴△DAE≌△DCF(SAS)；
(2)如答图，延长BA，交ED于点M，
∵△ADE≌△CDF，∴∠EAD＝∠FCD，
即∠EAM＋∠MAD＝∠BCD＋∠BCF，
∵∠MAD＝∠BCD＝90°，
∴∠EAM＝∠BCF，
∵∠EAM＝∠BAG，∴∠BAG＝∠BCF，
∵∠AGB＝∠CGF，∴△ABG∽△CFG.
(15分)
图32－13
14．(15分)[2018·中考预测]如图32－13，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB，FC.
(1)求证：∠FBC＝∠FCB；
(2)已知FA·FD＝12，若AB是△ABC外接圆的直径，FA＝2，求CD的长．
解：(1)证明：∵四边形AFBC内接于圆，
∴∠FBC＋∠FAC＝180°，
∵∠CAD＋∠FAC＝180°，∴∠FBC＝∠CAD，
∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，
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∴∠EAD＝∠CAD，
∵∠EAD＝∠FAB，∴∠FAB＝∠CAD，
又∵∠FAB＝∠FCB，∴∠FBC＝∠FCB；
(2)由(1)，得∠FBC＝∠FCB，
又∵∠FCB＝∠FAB，∴∠FAB＝∠FBC，
∵∠BFA＝∠BFD，∴△AFB∽△BFD，
∴＝，∴FB2＝FA·FD＝12，∴FB＝2，
∵FA＝2，∴FD＝6，AD＝4，
∵AB为圆的直径，∴∠BFA＝∠BCA＝90°，
∴tan∠FBA＝＝＝，∴∠FBA＝30°，
又∵∠FDB＝∠FBA＝30°，
∴CD＝AD·cos30°＝4×＝2.
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