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第十一单元 解直角三角形
第34课时 锐角三角函数
(66分)
一、选择题(每题4分，共24分)
1．[2016·怀化]在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝6 cm，则BC的长度为 ( C )
A．6 cm B．7 cm
C．8 cm D．9 cm
【解析】 ∵sinA＝＝，∴设BC＝4x，AB＝5x，又∵AC2＋BC2＝AB2，
∴62＋(4x)2＝(5x)2，解得x＝2或x＝－2(舍去)，则BC＝4x＝8 cm.
2．[2017·兰州]如图34－1，一个斜坡长130 m，坡顶离水平地面的距离为50 m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于 ( C )
图34－1
A. B. C. D.
【解析】 在直角三角形中，根据勾股定理可知水平的直角边长度为120 m，正切值为对边比邻边，故斜坡与水平地面夹角的正切值等于＝.故选C.
3．[2017·宜昌]△ABC在网格中的位置如图34－2所示(每个小正方形边长为1)，AD⊥BC于D，下列选项中，错误的是 ( C )
图34－2
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A．sinα＝cosα B.tanC＝2
C．sinβ＝cosβ D.tanα＝1
【解析】 ∵△ADB是等腰直角三角形，BD＝AD＝2，AB＝2，AD＝2，CD＝1，AC＝ ，∴sinα＝cosα＝，故A正确；tanC＝ ＝2，故B正确；tanα＝1，故D正确；∵sinβ＝ ＝，cosβ＝，∴sinβ≠cosβ，故C错误．
图34－3
4．[2016·衢州]如图34－3，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E.若∠A＝30°，则sinE的值为 ( A )
A. B.
C. D.
5．如图34－4，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连结AC，若tanB＝，则tan∠CAD的值为 ( D )
A. B.
C. D.
图34－4 第5题答图
【解析】 如答图，过点D作DE∥AB交AC于点E.∵∠BAD＝90°，DE∥AB，∴∠ADE＝90°，∵tanB＝，∴设AD＝5k，AB＝3k，∵DE∥AB，∴＝，DE＝AB＝k，∴tan∠CAD＝＝＝.
图34－5
6．[2016·金华]一座楼梯的示意图如图34－5所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA＝4 m，楼梯宽度1 m，则地毯的面积至少需要( D )
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A. m2 B. m2
C. m2 D．(4＋4tanθ)m2
【解析】 在Rt△ABC中，BC＝AC·tanθ＝4tanθ(m)，∴AC＋BC＝(4＋4tanθ)m，∴地毯的面积至少需要1×(4＋4tanθ)＝(4＋4tanθ)m2.
二、填空题(每题4分，共24分)
7．[2016·白银]如图34－6，点A(3，t)在第一象限，射线OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值是____．
图34－6
【解析】 由题意知，tanα＝＝，∴t＝.
8．已知∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，若＋＝0，则∠C的度数是__90°__．
【解析】 ∵＋＝0，∴sinA＝，cosB＝，∴∠A＝60°，∠B＝30°，∴∠C的度数是90°.
9．[2017·广州]如图34－7，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝，则AB＝__17__．
图34－7
【解析】 ∵Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝15，∴ ＝，
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解得AC＝8，根据勾股定理，得AB＝ ＝ ＝17.
10．[2017·临沂]如图34－8，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若AB＝4，BD＝10，sin∠BDC＝，则▱ABCD的面积是__24__．
图34－8 第10题答图
【解析】 根据 sin∠BDC＝可以求出△BCD中BD 边上的高线长，从而求出▱ABCD的面积．如答图，作CE⊥BD于E，在Rt△CDE中，∵sin ∠BDC＝＝＝，AB＝4，∴CE＝，S▱ABCD＝2×BD·CE ＝24.
11．[2016·枣庄]如图34－9，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连结AC，BD，若AC＝2，则tanD＝__2__．
图34－9 第11题答图
【解析】 如答图，连结BC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AB＝2OB＝6，AC＝2，∴BC＝＝＝4，又∵∠D＝∠A，∴tanD＝tanA＝＝＝2.
12．[2017·无锡]在如图34－10的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于__3__．
图34－10 第12题答图
【解析】 如答图，利用网格添加辅助线，使EF∥CD，BG⊥EF于点H，则
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tan∠BOD＝tan∠BIH＝3.
三、解答题(共18分)
13．(8分)如图34－11，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sinA＝，求BC的长和tanB的值．
图34－11
解：∵sinA＝＝，AB＝10，
∴BC＝4.
又∵AC＝＝2，
∴tanB＝＝.
14．(10分)计算：
(1)[2017·安徽]|－2|×cos60°－.
(2)[2017·临沂]|1－|＋2cos45°－＋.
解：(1)原式＝2 ×－3＝1－3＝－2；
(2)原式＝－1＋2×－2＋2＝1.
(22分)
15．(6分)[2017·舟山]如图34－12，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C＝1，tan∠BA2C＝，tan∠BA3C＝，计算tan∠BA4C＝____，…按此规律，写出tan∠BAnC＝____(用含n的代数式表示)．
图34－12
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【解析】 如答图，作CH⊥AnB交AnB于点H，正方形的边长为1，由勾股定理，得AnB＝，∵S△AnBC＝AnB·CH＝，∴CH＝，
∵tan∠HBC＝＝，∴BH＝，
∴tan∠BAnC＝＝
＝＝.当n等于4时，tan∠BA4C＝＝.
第15题答图
16．(8分)如图34－13，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝，求sinC的值．
解：∵AD⊥BC，
图34－13
∴tan∠BAD＝，∵tan∠BAD＝，AD＝12，∴BD＝9，
∴CD＝BC－BD＝14－9＝5，
∴在Rt△ADC中，AC＝＝＝13，
∴sinC＝＝.
17．(8分)[2016·连云港]如图34－14，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝.
(1)求BC的长；
(2)利用此图形求tan15°的值(精确到0.1，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2)．
图34－14
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解：(1)如答图，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D.
在Rt△ADC中，AC＝4，
∵∠ACB＝150°，∴∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝2，CD＝AC·cos30°＝4×＝2，
在Rt△ABD中，tanB＝＝＝，
∴BD＝16，∴BC＝BD－CD＝16－2；
第17题答图
(2)如答图，在BC边上取一点M，使得CM＝AC，连结AM.
∵∠ACB＝150°，∴∠AMC＝∠MAC＝15°，
∴tan15°＝tan∠AMD＝＝＝≈0.3.
(12分)
18．(12分)[2017·福建]小明在某次作业中得到如下结果：
sin27°＋sin283°≈0.122＋0.992＝0.994 5，
sin222°＋sin268°≈0.372＋0.932＝1.001 8，
sin229°＋sin261°≈0.482＋0.872＝0.987 3，
sin237°＋sin253°≈0.602＋0.802＝1.000 0，
sin245°＋sin245°＝＋＝1.
据此，小明猜想：
对于任意锐角α，均有sin2α＋sin2(90°－α)＝1.
(1)当α＝30°时，验证sin2α＋sin2(90°－α)＝1是否成立；
(2)小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
解：(1)当α＝30°时，sin2α＋sin2(90°－α)
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＝sin230°＋sin260°＝＋＝ ＋ ＝1；
第18题答图
(2)小明的猜想成立．证明：如答图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A＝α，则∠B＝90°－α，
∴sin2α＋sin2(90°－α)＝＋＝
＝＝1.
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