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单元滚动检测卷(五)
【测试范围：第八单元 时间：100分钟 分值：100分】
一、选择题(每题5分，共30分)
1．[2016·贵州]下列语句正确的是 ( C )
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等
C．矩形的对角线相等
D．平行四边形是轴对称图形
2．如图1，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝2，DE＝2，则四边形OCED的面积为 ( A )
A．2 B．4 C．4 D．8
图1 第2题答图
【解析】 如答图，连结OE，与DC交于点F，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，且AC＝BD，即OA＝OB＝OC＝OD，
∵OD∥CE，OC∥DE，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵OD＝OC，∴四边形OCED为菱形，∴DF＝CF，OF＝EF，DC⊥OE，
∵DE∥OA，且DE＝OA，∴四边形ADEO为平行四边形，
∵AD＝2，∴OE＝2，即OF＝EF＝，在Rt△DEF中，根据勾股定理，得DF＝＝1，即DC＝2，则S菱形OCED＝OE·DC＝×2×2＝2.
图2
3．如图2，小红在作线段AB的垂直平分线时是这样操作的：分别以A，B为圆心，大于线段AB长度的一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求．连结AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知四边形ADBC
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一定是 ( B )
A．矩形 B．菱形
C．正方形 D．等腰梯形
4．如图3，矩形纸片ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF的长为 ( B )
A. cm B. cm
C. cm D．6 cm
【解析】 设AF＝x cm，则DF＝(8－x)cm，∵DF＝D′F，∴在Rt△AD′F中，AF2＝AD′2＋D′F2，即x2＝62＋(8－x)2，解得x＝ cm.
图3 图4
5．如图4，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE＝15°，则下列结论：①△ODC是等边三角形；②BC＝2AB；③∠AOE＝135°；④S△AOE＝S△COE，其中正确结论有 ( C )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】 根据矩形性质求出OD＝OC，根据角求出∠DOC＝60°，即可得出△DOC是等边三角形，进而得出AC＝2AB，即可判断②；求出∠BOE＝75°，∠AOB＝60°，相加即可求出∠AOE，根据等底等高的三角形面积相等得出S△AOE＝S△COE.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，OA＝OC，OD＝OB，AC＝BD，
∴OA＝OD＝OC＝OB，
∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝45°，
∵∠CAE＝15°，∴∠DAC＝30°，
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∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAC＝30°，
∴∠DOC＝60°，∵OD＝OC，
∴△ODC是等边三角形，∴①正确；
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，
∴∠DAC＝∠ACB＝30°，∴AC＝2AB，
∵AC＞BC，∴2AB＞BC，∴②错误；
∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB＝30°，
∵AE平分∠DAB，∠DAB＝90°，
∴∠DAE＝∠BAE＝45°，
∵∠ABE＝90°，∴∠AEB＝∠BAE＝45°，
∴AB＝BE，
∵△ODC是等边三角形，∴OC＝CD，
∵OC＝OB，CD＝AB，∴OB＝AB＝BE，
∴∠BOE＝∠BEO＝(180°－∠OBE)＝75°，
∵∠AOB＝∠DOC＝60°，
∴∠AOE＝60°＋75°＝135°，∴③正确；
∵OA＝OC，
∴S△AOE＝S△COE，
∴④正确．故选C.
6．如图5，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为 ( A )
A．2 B．3
C．4 D．5
图5 第6题答图
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【解析】 如答图，将△DAF绕点A顺时针旋转90°到△BAF′位置，由题意，得△DAF≌△BAF′，∴DF＝BF′，∠DAF＝∠BAF′，∴∠F′AE＝45°，
在△FAE和△F′AE中，
∴△FAE≌△F′AE(SAS)，∴EF＝EF′，∵△ECF的周长为4，
∴EF＋EC＋FC＝FC＋CE＋EF′＝FC＋BC＋BF′＝DF＋FC＋BC＝DC＋BC＝4，
∴2BC＝4，∴BC＝2.
二、填空题(每题5分，共30分)
图6
7．如图6，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，再添加一个条件__AB∥CD或AD＝BC或∠A＋∠D＝180°或∠B＋∠C＝180°(答案不唯一，合理即可)__(写出一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形(图形中不再添加辅助线)．
【解析】 添加的条件可以是另一组对边AD与BC相等，也可以是AB与CD这一组对边平行．
8．在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形．你添加的条件是__∠A＝90°或∠B＝90°或∠C＝90°或∠D＝90°或AC＝BD(答案不唯一，合理即可)__(写出一个即可)．
9．如图7，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4 cm，则点P到BC的距离是__4__cm.
图7 图8
10．[2016·临沂]如图8，将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG.若AB＝4，BC＝8，则△ABF的面积为__6__．
【解析】 ∵将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG，由折叠的性质可知AF＝CF.设AF＝CF＝x，则BF＝8－x，在Rt△ABF中，
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由勾股定理，得AB2＋BF2＝AF2，42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，即CF＝5，BF＝8－5＝3，∴S△ABF＝×3×4＝6.
图9
11．如图9，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，∠ACD＝30°，BD＝6.则求AC的长为__6__(结果保留根号)．
【解析】 ∵O为菱形对角线的交点，
∴AC＝2OC，OD＝BD＝3，∠COD＝90°.
在Rt△COD中，＝tan∠OCD＝tan30°，
∴OC＝＝＝3，∴AC＝2OC＝6.
12．如图10，将两张长为4，宽为1的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形．旋转过程中，当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，那么菱形周长的最大值是____．
图10 第12题答图
【解析】 如答图，此时菱形的周长最大，
设菱形的边长AC＝x，则AB＝4－x，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2，
即x2＝(4－x)2＋12，解得x＝，
∴菱形的最大周长为×4＝.
三、解答题(共40分)
13．(8分)如图11，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，且CE＝BC，AE＝AB，AE，DC相交于点O，连结DE.
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(1)求证：四边形ACED是矩形；
图11
(2)若∠AOD＝120°，AC＝4，求对角线CD的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，CE＝BC，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC，AD＝CE，AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵AB＝DC，AE＝AB，∴AE＝DC，
∴四边形ACED是矩形；
(2)∵四边形ACED是矩形，
∴OA＝AE，OC＝CD，AE＝CD，∴OA＝OC，
∵∠AOC＝180°－∠AOD＝180°－120°＝60°，
∴△AOC是等边三角形，∴OC＝AC＝4，
∴CD＝8.
图12
14．(10分)如图12，在△ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE，连结BF，CE.
(1)求证：四边形BFCE是平行四边形；
(2)当边AB，AC满足什么条件时，四边形BECF是菱形？并说明理由．
解：(1)证明：∵在△ABC中，D是BC边的中点，
∴BD＝CD，∵CF∥BE，
∴∠CFD＝∠BED，
在△CFD和△BED中，
∴△CFD≌△BED(AAS)，∴CF＝BE，
∴四边形BFCE是平行四边形；
(2)当AB＝AC时，四边形BECF是菱形，理由：
∵AB＝AC，D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，∴EF⊥BC，∴四边形BECF是菱形．
图13
15．(10分)如图13，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，经过点O
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的直线交AB于点E，交CD于点F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)连结DE，BF，则EF与BD满足什么条件时，四边形DEBF是矩形？并说明理由．
解：(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OD＝OB，DC∥AB，
∴∠DFO＝∠BEO.
在△DOF和△BOE中，
∴△DOF≌△BOE(AAS)，∴OE＝OF；
(2)当EF＝BD时，四边形DEBF是矩形．理由：
∵△DOF≌△BOE，∴DF＝BE，
∵DF∥BE，∴四边形DEBF为平行四边形，
∵EF＝BD，∴四边形DEBF是矩形．
16．(12分)如图14，在正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于点Q.
(1)如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；
(2)如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．
图14
解：(1)PB＝PQ.
证明：如答图①，过点P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F.∵P为正方形对角线AC上的点，
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∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，
∴PF＝PE，∴四边形PECF为正方形．
∵∠BPE＋∠QPE＝90°，∠QPE＋∠QPF＝90°，
∴∠BPE＝∠QPF，又∵∠PFQ＝∠PEB＝90°，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE(ASA)，∴PB＝PQ；
① ②
第16题答图
(2)PB＝PQ.
证明：如答图②，过点P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F，
∵P为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∵∠ECF＝∠DCB＝90°，
∴PC平分∠ECF，∴PF＝PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPF＋∠QPF＝90°，∠BPF＋∠BPE＝90°，
∴∠BPE＝∠QPF，∴Rt△PQF≌Rt△PBE(ASA)，
∴PB＝PQ.
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