由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
专项训练（七） 二次函数
一、选择题
1.下列函数是二次函数的是（ ）
A．y=4x-2 B.y= C.y=3x2-5x+7 D.y=-
2.二次函数y=-3x2-6x+5的图象的最高点的坐标是（ ）
A．（-1，8） B．（1，8） C．（-1，2） D．．（1，-4）
3.如果二次函数y=（m-2）x2-4x+1有最小值，且最小值是-3，则m的值为（ ）
A．3 B．1 C．3或-1 D．
4.把抛物线y=x2+bx+c向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的函数表达式是y=x2-x+3，则有（ ）．
A．b=3，c=5 B．b=-3，c=5
C．b=3，c=-5 D．b=-3，c=-5
5.若抛物线y=x2﹣2x+c与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴是x=1
C．当x=1时，y的最大值为﹣4
D．抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）
6.已知函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，那么关于x的方程一元二次方程ax2+bx+c+2=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实根
B．无实数根
C．有两个符号不同的实数根
D．有两个符号相同的实数根
第6题图 第7题图
7.图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=﹣（x﹣80）2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（ ）
A．16米 B．米C．16米 D．米
8.抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9.已知点A（4，y1），B（，y2），C（-2，y3）都在二次函数y=（x-2）2-1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 .
10.已知二次函数y=-x2+bx+c，如果关于的一元二次方程-x2+bx+c的两个实数根是0和5，则这个二次函数的表达式为 ．
11.在距离地面10米高的某处把一物体以初速度v0（米/秒）竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s（米）与抛出时间t（秒）满足：s= v0t－gt2 （其中是常数，通常取10米/秒2），若=20米/秒，则该物体在运动过程中最高点距离地面＿＿＿＿米．
12.抛物线y=2（x-2）2-6的顶点为C，已知一次函数y=-kx+3的图象经过点C，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为 ．
13.已知二次函数y=-x2+2bx+c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围
是
14.如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若取点A为原点时抛物线的函数表达式是y=-（x-6）2+4，若选点B为原点时的抛物线的函数表达式是 .
三、解答题
15.在一块矩形镜面玻璃的四周镶上边框，制成一面镜子，镜子的长与宽的比是2︰1．已知镜面玻璃的价格是每平方米120米，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元．设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽是x米．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽．
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
16.如图，E、F分别是边长为4的正方形ABCD的边BC、CD上的点，CE=1，CF=，直线FE交AB的延长线于G．过线段FG上的一个动点H作HM⊥AG，HN⊥AD，垂足分别为M、N．设HM=x，矩形AMHN的面积为y．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）求x为何值时，矩形AMHN的面积最大，最大面积是多少？
17.某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：
销售单价（元）
x
销售量y（件）
销售玩具获得利润w（元）
（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．
（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
18.如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．
（1）求抛物线的函数表达式和对称轴；
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1.C 2.A
3.A 解析：根据题意，得=3，解得m=3.
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
4.A 解析：因为y=x2-x+3=（x2-3x）+3＝（x-）2+，所以y=x2+bx+c＝（x-＋3）2+＋2＝（x＋）2+＝x2+3x+5，所以b=3，c=5.
5.C 解析：因为抛物线过点（0，﹣3），所以抛物线的函数表达式为y=x2﹣2x﹣3．所以A正确．因为抛物线的对称轴x=﹣=﹣=1，B正确；因为抛物线的开口向上，所以二次函数有最小值，C不正确；解方程x2﹣2x﹣3=0，得x1=﹣1，x2=3，所以抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），C正确．
6.D解析：观察图像可知，抛物线开口向上且顶点的纵坐标为-3，所以过点（0，-2）的直线与抛物线一定交于两点，且两个交点都在x轴的右侧，所以原方程有两个符号相同的实数根，故选D．
思路点拨：本题中需要理解下列两个“转变”： ①方程与方程组的转变.因为方程ax2+bx+c+2=0的解，可看作方程组中的x的解，所以根据该方程组的解的情况，可以得到原方程的解的情况；②“形”和“数”的转变，因为该方程组的解的情况，可以看做抛物线y=ax2+bx+c与直线y=-2的相交情况，所以问题转化为判断这两个图像是否相交以及交点的位置问题.
7.解：由AC⊥x轴，OA=10米，得点C的横坐标为﹣10，当x=﹣10时，y=﹣（x﹣80）2+16=﹣，所以C（﹣10，﹣），即桥面离水面的高度AC为m．
8.C 解析：由抛物线与x轴有两个交点，得b2﹣4ac＞0，①错误；因为顶点为D（﹣1，2），所以抛物线的对称轴为直线x=﹣1，抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y＜0，则a+b+c＜0，②正确；因为抛物线的顶点为D（﹣1，2），
所以a﹣b+c=2，结合抛物线的对称轴得b=2a，所以a﹣2a+c=2，即c﹣a=2，③正确；因为当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=1时，ax2+bx+c=2，
所以方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，④正确．
9.y3>y1>y2.
10.y=-x2+x 解析：因为方程-x2+bx+c的两个实数根是0和5，所以函数式为y=-x·（x-5）=-x2+x.
11.30 解析：由题意得s=20t－5t2 =－5（t2－4t）=－5（t－2）2＋20．所以该函数的最大值为20，故该物体在运动过程中最高点距离地面，10＋20 =30（米）．
易错点拨：本题容易出现的错误是：不理解物体抛出的最大高度与物体在最高点距离地面的高度的区别，因而不理解已知条件“距离地面10米”对答案的影响，误认为最后的答案为20.
12. 1 解析：由抛物线y=2（x-2）2-6的顶点为（2，-6），求得一次函数为y=-4.5x+3，其图像分别与轴、轴交于（，0）和
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
，所以这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为。
13.b≤1 解析：因为抛物线y=-x2+2bx+c的对称轴为直线x=b，而a＜0，所以当x＞b时，y随x的增大而减小.因为当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，所以b≤1．
14.y=-（x+6）2+4 解析：设点B为原点时的抛物线的函数表达式是y=-（x-h）2+4，将（-12，0）代入，
得0=-（-12-h）2+4，解得h=-6，所以抛物线为y=-（x+6）2+4.
15.解：（1）∵镜子的宽是x米，∴镜子的长是2x米，镜面玻璃的面积为2x2平方米，边框总长度为6x米．∴y与x之间的函数关系式为：y=120×2x2+30×6x+45=240x2+180x45.
（2）当y=195时，解方程240x2+180x45=195，解得x1=，x2=-（矩形边长不能为负值，舍去）.∴2x=1.
答：这面镜子的长是1米，宽是米．
16.解：（1）∵正方形ABCD的边长为4，CE=1，CF=，∴CF//AG，BE=3，
∴=，得BG=4.∵HM⊥AG，CB⊥AG，∴HM//BE.∴=，得MG=x．
∴y与x之间的函数关系式为y=x（4+4-x）=-x2+8x．
（2）∵y=-x2+8x=-（x-3）2+12．∴当x=3时，矩形AMHN的面积最大，最大面积是12．
17.解：（1）如下表所示：
销售单价（元）
x
销售量y（件）
1000﹣10x
销售玩具获得利润w（元）
﹣10x2+1300x﹣30000
（2）解方程﹣10x2+1300x﹣30000=10000，解得：x1=50，x2=80.
答：销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润，
（3）根据题意，得解得 44≤x≤46
∵w=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10（x﹣65）2+12250，且a=﹣10＜0，对称轴x=65，
∴当44≤x≤46时，y随x增大而增大，当x=46时，W最大值=8640（元）
答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元．
18.解：（1）∵抛物线经过点A（0，4），∴设抛物线的函数表达式为y=ax2+bx+4.
把点B（1，0），C（5，0）代入得，解得.
∴抛物线的函数表达式为y=x2﹣x+4.
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
∵y=x2﹣x+4=（x﹣3）2﹣，∴抛物线的对称轴是x=3.
（2）存在，点P的坐标为（3，）．理由如下：
∵点A（0，4），抛物线的对称轴是x=3，
∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4）.
连接BA′交对称轴于点P，连接AP，如图1，此时△PAB的周长最小．
图1 图2
设直线BA′的函数表达式为y=kx+b，把点A′（6，4），B（1，0）代入，
得，解得.
∴直线BA′的函数表达式为y=x﹣.
∵点P的横坐标为3，∴y=×3﹣=，
∴P（3，）．
（3）存在，点N的坐标为（，﹣3）.理由如下：
设N点的横坐标为t时△NAC的面积最大，此时点N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5）.
过点N作NG∥y轴交AC于D，如图2所示.
设直线AC的函数表达式为y=mx+4，把点C（5，0）代入，
得0=5m+4，解得m=﹣.
∴直线BA′的函数表达式为y=-x+4.
∴点D（t，﹣t+4）.
∴DN=﹣t+4﹣（t2﹣t+4）=﹣t2+4t.
∴S△ACN=S△AND+S△CND=DN·5=（﹣t2+4t）·5=﹣2t2+10t=﹣2（t﹣）2+.
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
∴当t=时，△CAN面积的最大值为.
由t=得，y=t2﹣t+4=﹣3，
∴N（，﹣3）.
方法点拨：本题的难点在于确定何时△PAB的周长最小，与何时△CAN面积最大.前者中，由于AB的长度一定，所以△PAB的周长最小可转化为PA+PB最小，根据抛物线的对称性与线段垂直平分线的性质，可找出点A关于直线x=3的对称点，根据“两点之间，线段最短”，求PA+PB的最小值转化为求线段A‘B的长度；后者中，因为△CAN的任意一条边都不与坐标轴平行，不方便探究其面积的最小值，为此作辅助线ND，则△CAN被分割为△AND与△CND，由于两三角形有一条公共边DN，DN边上的高的和等于线段OC的长，于是求△CAN面积最大的问题转化为求DN的最大值.
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
微信/支付宝扫码支付