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专项训练（三） 相似图形
一、选择题
1.如图，线段AB∶BC = 1∶2，那么AC∶BC等于（ ）
A.1∶3 B.2∶3 C.3∶1 D.3∶2
第1题图 第2题 第3题
2.如图，在△FBC中，A是BF上的一点，过A点作AE∥BC交CF于点E，过C点作CD∥BF交AE的延长线于点D，若AE=2ED，CD=3cm，则AF的长为（ ）
A.5cm B.6cm C.7cm D.8cm
3.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为（ ）
A. B.2 C. D.
4.如图所示，已知点C、D都是线段AB的黄金分割点，如果CD=4，则AB长度是（ ）
A.2-2 B.6-2 C.8+4 D.2+
第4题 第5题 第6题 第7题
5.如图，在△ABC中，点D在边AB上，BD=2AD，DE∥BC交AC于点E，若线段DE=5，则线段BC的长为（ ）
A．7.5 B．10 C．15 D．20
6.如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD：DE=3：5，AE=8，BD=4，则CD的长等于（ ）
A． B． C． D．
7.如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（ ）
A．AB=24m B．MN∥AB
C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：2
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8. 如图，点A，B，C，D的坐标分别是A（1，7），B（1，1），C（4，1），D（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ）
A.（6，0） B.（6，3） C.（6，5） D.（4，2）
二、填空题
9.如图，在边长为3的菱形ABCD中，点E在边CD上，点F为BE延长线与AD延长线的交点．若DE=1，则DF的长为 ．
第9题 第10题 第11题
10.将一副三角板按图叠放，则△AOB与△D OC的面积之比等于 ．
11.顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图，△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形，已知AB=10，则DE的长度为 .
第12题 第13题 第14题
12.如图，在边长为9的正三角形ABC中，D、E分别是BC、AC上的一点，BD=3，已知∠ADE=60°，则AE的长为 ．
13.如图所示，在小孔成像问题中，若O到物体AB的距离是18cm，O到物体的像CD的距离是6cm，，则CD的长是AB长的 .
14. 如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于 .
三、解答题
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15.如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE于点D，BE⊥CE于点E.
（1）求证：ACD△≌△CBE；
（2）已知AD=4，DE=1，求EF的长.
16. 如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ=CE时，求EP + BP的长.
17.如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离CD=20米，求旗杆的高度．
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18.如图，正方形ABCD的边长为l，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q．
（1）求线段PQ的长；
（2）问：点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．
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参考答案与解析
1.D
2.B 解析：在平行四边形ABCD，AB∥CD，所以=．因AE=2ED，CD=3，所以=，解得AF=6.
3.D 解析：∵AH=2，HB=1，∴AB=3.∵l1∥l2∥l3，
∴====.
4.C 解析：观察图形，得CD=AD-AC=AD-（AB-BC）=2AD-AB=2×-AB=（-2）AB=4，则AB==8+4.
5.C 解析：由BD=2AD，得=，由DE∥BC，得△ADE∽△ABC，所以=，即=，解得DE=15．
6.A 解析：由∠C=∠E，∠ADC=∠BDE，得△ADC∽△BDE，=.又AD：DE=3：5，AE=8，BD=4，得AD=3，DE=5所以CD=×5=.
7.D 解析：因为M、N分别是AC，BC的中点，所以MN∥AB，MN=AB，得AB=2MN=2×12=24m，A，B正确；由MN∥AB，得△CMN∽△CAB，C正确；因为M是AC的中点，所以CM=MA，即CM：MA=1：1，D错误.
8.B 解析：当点E为（6，0）时，CD与AB是对应边且△CDE∽△ABC；当点E为（6，3）时，△CDE为等腰直角三角形，不与△ABC相似；当点E为（6，5）时，CD与BC为对应边，且△EDC∽△ABC；当点E为（4，2）时，CD与AB为对应边，且△DCE∽△ABC，故B．
9. 解析：因为DE=1，DC=3，所以CE=3﹣1=2.因为四边形ABCD是菱形，所以AD∥BC，则△DEF∽△CEB，得=，即=，解得DF=.
10.1：3 解析：解：由AB∥CD，得△AOB∽△COD.又因为AB：CD=BC：CD=tan30°=1：，所以△AOB与△DOC的面积之比等于1：3．
易错点拨：在利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方解题时，最容易因为麻痹大意出现丢掉平方的错误，因此一定要高度警惕.
11.5（3-） 解析：根据题意，△CDE∽△CAB，则DE：AB=CD： AC，即DE=CD=AB
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12.7 解析：因为△ABC是等边三角形，所以CD=BC﹣BD=9﹣3=6，由此可证△ABD∽△DCE，则=，即=，解得CE=2，故AE=AC﹣CE=9﹣2=7．
13.
14. 解析：根据题意，得△ABC、△BCD、△CDE、△DEF都是等腰三角形，且△ABC∽△BCD∽△CDE∽△DEF，则===，由此即可求出CD，进而求得DE，再求得EF.
15.解：（1）证明：∵AD⊥CE，∴∠2+∠3=90°.又∵∠1+∠2=90°，∴∠1=∠3.
又∵BE⊥CE、AD⊥CE，∴∠E=∠ADC=90°.在△ACD和△CBE中， ，∴△ACD≌△CBE.
（2）解：∵△ACD≌△CBE，∴CE=AD=4.∴CE=CE-DE=4-1=3.∵∠E=∠ADF，∠BFE=∠AFD，∴△BEF∽△ADF.∴=.
设EF=x，则DF=1-x∴=，解得x=，即EF=.
16.解：如图，延长BQ交射线EF于M，如答图所示.∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF∥BC，∴∠M=∠CBM.∵BQ是∠CBP的平分线，∴∠PBM=∠CBM.
∴∠M=∠PBM，∴BP=PM.∴EP+BP=EP+PM=EM.∵CQ= CE，∴EQ=2CQ，
由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ.∴=2.∴EM=2BC=2×6=12，即EP+BP=12.
17.解：∵AB⊥BG，CD∥BG，∴∠ACD=∠FED=900.又∵∠ADC=∠FDE，∴△DEF∽△DCA，则=.∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5m，DC=20m，∴=，解得AC=10.
∴AB=AC+BC=10+1.5=11.5（m），
答：旗杆的高度为11.5m．
方法点拨：利用相似三角形测量物体的高度（或长度、深度）时，关键是能利用图中的相似三角形，进而利用“相似三角形对应边的比等于相似比”求解，当题目中没有所需要的相似三角形时，需要作辅助线构造相似三角形.构造相似三角形常用的方法有三种，即：①构造“A型”相似三角形；②构造“X型”相似三角形；③构造“子母型”
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相似三角形等.
18.解：（1）根据题意得：PD=PE，∠DPE=90°，∴∠APD+∠QPE=90°.
∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=90°.∴∠ADP+∠APD=90°.∴∠ADP=∠QPE.
∵EQ⊥AB，∴∠A=∠Q=90°.
在△ADP和△QPE中，，∴△ADP≌△QPE（AAS）.
∴PQ=AD=1.
（2）∵△PFD∽△BFP，∴=.∵∠ADP=∠EPB，∠CBP=∠A，∴△DAP∽△PBF.
∴=.∴=，得PA=PB.∴PA=AB=.∴当PA=时，△PFD∽△BFP．
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