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专题五 圆的综合
1.已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，＝，点D在边BC上，AE∥BC，AE＝BD.
(1)求证：AD＝CE；
(2)如果点G在线段DC上(不与点D重合)，且AG＝AD，求证：四边形AGCE是平行四边形．
证明：(1)在⊙O中，∵＝，
∴AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.
∵AE∥BC，
∴∠EAC＝∠ACB，
∴∠B＝∠EAC.在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE(S.A.S.)，
∴AD＝CE；
(2)连结AO并延长，交边BC于点H.
∵＝，OA为半径，
∴AH⊥BC，∴BH＝CH.
∵AD＝AG，∴DH＝HG，
∴BH－DH＝CH－GH，即BD＝CG.
∵BD＝AE，∴CG＝AE.
∵CG∥AE.
∴四边形AGCE是平行四边形．
2．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝4，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是BC的中点，连结OD，OB，DE相交于点F.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
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(2)求EF∶FD的值．
解：(1)连结CD.
∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝4，
∴AB＝ ＝＝8，
∴∠ABC＝30°，∠BAC＝60°，
∴∠ODA＝60°.
又∵AC为直径，
∴∠CDA＝90°，即△CDB为直角三角形，
而E点为斜边BC的中点，
∴DE＝BE＝EC，
∴∠BDE＝∠DBE＝30°，
∴∠ODE＝180°－∠BDE－∠ADO＝90°，
∴DE是O的切线；
(2)连结OE.
∵△OAD为等边三角形，
∴AD＝OA＝2，
∴BD＝AB－AD＝8－2＝6.
在Rt△OEC中，OE＝＝4，
又∵OE为△CBA的中位线，
∴OE∥AB，
∴EF∶FD＝OE∶BD＝4∶6＝2∶3.
3．如图，AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP于点G，E在DC的延长线上，EP＝EG.
(1)求证：直线EP为⊙O的切线；
(2)点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG2＝BF·BO，试证明：BG＝PG；
(3)在满足(2)的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB＝，求弦CD的长．
解：(1)连结OP.∵EP＝EG，
∴∠EPG＝∠EGP.
又∵∠EGP＝∠BGF，
∴∠EPG＝∠BGF.∵OP＝OB，
∴∠OPB＝∠OBP.∵CD⊥AB，
∴∠BFG＝∠BGF＋∠OBP＝90°，
∴∠EPG＋∠OPB＝90°，即OP⊥EP，
∴直线EP为⊙O的切线；
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(2) 连结OG.∵BG2＝BF·BO，
∴＝，∴△BFG∽△BGO，
∴∠BGO＝∠BFG＝90°，∴BG＝PG；
(3) 连结AC，BC.
∵sin∠GBO＝，∴＝.
∵OB＝r＝3，
∴OG＝，由(2)得∠GBO＋∠BGF＝∠OGF＋∠BGF＝90°，
∴∠GBO＝∠OGF，
∴sin∠OGF＝＝，
∴OF＝1，
∴BF＝BO－OF＝3－1＝2，
FA＝OF＋OA＝1＋3＝4.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ACF＋∠BCF＝90°.
∵∠ACF＋∠A＝90°，
∴∠BCF＝∠A，
∴△BCF∽△CAF，
∴＝，
∴CF2＝BF·FA，
∴CF＝＝＝2，
∴CD＝2CF＝4.
4．如图，AB为半圆的直径，O为圆心，AB＝6，延长BA到F，使FA＝AB.若P为线段AF上一个动点(P点与A点不重合)，过P点作半圆的切线，切点为C，作CD⊥AB，垂足为D.过B点作BE⊥PC，交PC的延长线于点E，连结AC，DE.
(1)判断线段AC，DE所在直线是否平行，并证明你的结论；
(2)设AC为x，AC＋BE为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
解：(1)线段AC，DE所在的直线平行．
证明：∵CD⊥AB，BE⊥PE，∠CPD＝∠BPE，
∴Rt△PCD∽Rt△PBE，
∴＝.
∵PC与⊙O相切于C点，PAB为⊙O的割线，
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∴PC2＝PA×PB，∴＝，
∴＝.∵∠CPA＝∠EPD，
∴△CPA∽△EPD，∴∠PCA＝∠PED，
∴AC∥DE；
(2)连结BC.∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB＝90°，∴AC2＋BC2＝AB2.
∵AC＝x，AB＝6，
∴BC2＝62－x2＝36－x2.
∵PC与半圆相切于点C，∴∠BAC＝∠BCE.
∵∠ACB＝∠BEC＝90°，
∴Rt△ABC∽Rt△CBE，
∴＝，
∴BE＝＝.
∵y＝AC＋BE，∴y＝x＋，
y＝－x2＋x＋6.
∵P点与A点不重合，∴AC>0.
当点P与点F重合时，AC的值最大，此时PC＝＝6.
又∵∠P＝∠P，
∠PBC＝∠PCA，
∴△PCA∽△PBC，
∴＝，∴BC＝＝AC.
又∵AC2＋BC2＝AB2，
∴AC2＋(AC)2＝36，
∴AC＝2，
∴y＝－x2＋x＋6(0＜x≤2)．
5．如图，在△AOB中，∠AOB为直角，OA＝6，OB＝8, 半径为2的动圆圆心Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位/s的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位/s的速度匀速运动，
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设运动时间为t s(0＜t≤5)，以P为圆心、PA长为半径的⊙P与AB，OA的另一个交点分别为C，D，连结CD，QC.
(1)当t为何值时，点Q与点D重合？
(2)当⊙Q经过点A时，求⊙P被OB截得的弦长；
(3)若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围．
解：(1)∵OA＝6，OB＝8，
∴由勾股定理得AB＝10.
由题意知OQ＝AP＝t，
∴AC＝2t.∵AC是⊙P的直径，
∴∠CDA＝90°，∴CD∥OB，
∴△ACD∽△ABO，∴＝，
∴AD＝1.2t.
当Q与D重合时，AD＋OQ＝OA，
∴1.2 t＋t＝6，解得t＝.
图①
∴t为 s时，点Q与点D重合；
(2)当⊙Q经过A点时，如图①，
OQ＝OA－QA＝4，
∴t＝＝4 s，
∴PA＝4，∴BP＝AB－PA＝6.
过点P作PE⊥OB于点E，⊙P与OB相交于点F，G，连结PF，
∴PE∥OA，∴△PEB∽△AOB，
∴＝，∴PE＝3.6，
∴由勾股定理得EF＝，
由垂径定理知FG＝2EF＝；
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图②
(3)当QC与⊙P相切时，如图②，
此时∠QCA＝90°.
∵OQ＝AP＝t，
∴AQ＝6－t，AC＝2t.
∵∠A＝∠A, ∠QCA＝∠ABO，
∴△AQC∽△ABO，∴＝，
∴＝，∴t＝，
∴当0＜t≤时，⊙P与QC只有一个交点，当QC⊥OA时， 此时Q与D重合， 由(1)可知t＝，
∴当＜t≤5时，⊙P与QC只有一个交点．
综上所述，当⊙P与线段QC只有一个公共点，t的取值范围为：0＜t≤或＜t≤5.
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