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第03章 导数
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）
1.已知函数，则（ ）,
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】因为，所以，故选A.
2.【2017浙江模拟】已知直线是曲线的切线，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】C.
3.已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
∵，∴．令,得,解得，-1．故选B．
4.【2017四川资阳一诊】已知是定义在区间上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
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【解析】
试题分析：设函数，则，所以函数在为减函数，所以，即，所以，故选B．
5.已知在上非负可导，且满足，对于任意正数，若，则必有（ ）
A． B．
C． D．,
【答案】D
【解析】
6.若曲线与曲线存在公共切线，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
设公共切线与曲线切于点，与曲线切于点，则，将代入，可得，又由得，∴，且，记，，求导得，可得在上递增，在上递减，∴，∴.
7.曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为（ ）
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A． B． C．和 D．
【答案】C.
【解析】
，令，或，∴或，经检验，点，均不在直线上，故选C．
8.已知函数，连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是，则函数在处取得最值的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
9.已知直线是曲线：与曲线：的一条公切线，若直线与曲线的切点为，则点的横坐标满足（ ）,
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
记直线与曲线的切点为因为,则直线的方程为,又直线的方程为,从而且,消去得,即,设,则,令解得,则函数在
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上递增，又，无零点，得在上单调递减，可得，所以，故选D.
10.【2017山西孝义二模】已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
【答案】C
11.设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）,
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】
设，则的导数为，
∵当x＞0时总有成立，
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即当x＞0时，恒小于0，
∴当x＞0时，函数为减函数，
∵为奇函数，∴，∴，
当时，，当时，，
而，即在上，与同号，
所以当时，，当时，，
又由为奇函数，在上，时，，当时，．
综上，的解集为．故选A．
12.若点P是函数图象上任意一点，且在点P处切线的倾斜角为，则的最小值是( ) ,
A． B． C． D．
【答案】B
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）
13.若曲线在点处的切线与直线平行，则__________．
【答案】
【解析】
∵，，∴，∴，故答案为.
14.若函数有零点，则k的取值范围为_______.
【答案】
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【解析】因为通过画图可知当时一定有一个交点，若直线与有交点，对函数求导代入这个函数可以求得再将代入直线，可求，所以当时也有交点.
15.【2017山西大学附中二模】已知是函数两个相邻的两个极值点，且在处的导数，则___________．
【答案】
16.已知函数的导数为，且函数的图像关于直线对称，.下列命题正确的有 （将所有正确命题的序号都填上）.
①
②
③函数的单调增区间是，单调减区间是；
④函数的极大值是，极小值是；
⑤函数的零点有3个．
【答案】①③④⑤
【解析】由已知，即
所以，即.
又，即得，①正确，②不正确.
由上上知，，
令即解得或，
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由得函数的单调增区间是；
由知单调减区间是，③正确；
进一步可知，函数的极大值，极小值是，④正确；
通过画函数图象的草图，可知⑤正确.
综上知，答案为①③④⑤.
二、 解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.【2017浙江五校】已知函数．
（1）若，求函数在处的切线方程；（2）若函数有两个极值点，且，证明： .
【答案】（1）；（2）见解析．
试题解析：（1）当时， ， ， ，所以在处的切线方程为，化简得。………………6分
（2）函数定义域为， 则是方程的两个根，所以，又，所以。，所以。令
，
则，又所以，则在内为增函数，所以，所以………15分
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18.【2017浙江模拟】设函数，.证明：（1）；（2）.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
试题分析：（1）构造函数，对求导，利用导数证明即可得证；（2）求导，判断出函数的单调性，求出函数的极值与最值后即可得证.
试题解析：（1）记，则，
，∴在区间上单调递增，又∵，∴，从而；（2），记，由，，知存在，使得，∵在上是增函数，∴在区间19.已知函数在时取得极值.
（1）求a的值；
（2）若有唯一零点，求的值.
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【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）依题意，得，所以.
经检验，满足题意.
（2）由（1）知，则.
所以.
令，因为，所以.
方程有两个异号的实根，设为，因为x>0，所以应舍去.
所以即
所以.
令，则.
所以在上单调递减.
注意到，所以.所以.
20.【2017 “超级全能生”浙江3月联考】设函数，其中，函数有两个极值点，且．
（1）求实数的取值范围；
（2）设函数，当时，求证： ．
【答案】（1）;（2）见解析.
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【解析】，
试题分析：（1）由题意得导函数有两个不同的零点，由韦达定理得实数与关系，消去得关于函数关系式，由取值范围，结合导数研究函数单调性，进而求出实数的取值范围；（2）先化简所证不等式，再利用放缩证明，利用韦达定理再次转化不等式为，最后根据的取值范围可证.
试题解析：（1），
由题可知： 为的两个根，且，得或.
而
则，即，即，
综上， .
（2）证明：由， ，知，
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，
由（1）可知，所以，
所以.
21.【2017安徽淮北二模】已知函数.
（I）讨论函数的单调性,并证明当时， ;
（Ⅱ）证明：当时，函数有最小值，设最小值为，求函数的值域.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）先求函数导数，确定导函数在定义区间上恒非负，故得函数单调区间；根试题解析：（1）由得
故在上单调递增，
当时，由上知，
即，即，得证.
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（2）对求导，得， ．
记， ．
由（Ⅰ）知，函数区间内单调递增，
又， ，所以存在唯一正实数，使得．
于是，当时， ， ，函数在区间内单调递减；
当时， ， ，函数在区间内单调递增．
所以在内有最小值，
由题设即．
又因为．所以．
22.【2017四川泸州四诊】设函数（为自然对数的底数），， .
（1）若是的极值点，且直线分别与函数和的图象交于
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，求两点间的最短距离；
（2）若时，函数的图象恒在的图象上方，求实数的取值范围.
【答案】（1）1（2）
【解析】
（Ⅰ）因为，所以，因为是的极值点，所以， .
又当时，若， ，所以在上为增函数，所以，所以是的极小值点，所以符合题意，所以.令，即，因为，当时， ， ，所以，所以在上递增，所以，∴时， 的最小值为，所以.
当时，因为在单调递增，所以总存在，使在区间上，导致在区间上单调递减，而，所以当时， ，这与对恒成立矛盾，所以不符合题意，故符合条件的的取值范围是.
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