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第06章 不等式与证明
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）
1.已知等差数列满足： ，求（ ）
A. 19 B. 20 C. 21 D. 22
【答案】C
2.【改编题】等差数列的前11项和，则（ ）
A. 18 B. 24 C. 30 D. 32
【答案】B
【解析】，所以，根据等差数列性质： ，故选择B.
3.【2018届湖南省益阳市、湘潭市高三9月调研】已知等比数列中， ，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，则.所以.
.
故选D.
4.【2018届河北省衡水中学高三上学期二调】设正项等比数列的前项和为，且，若， ，则（ ）
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A. 63或120 B. 256 C. 120 D. 63
【答案】C
【解析】由题意得，解得或.又 所以数列为递减数列，故.设等比数列的公比为，则，因为数列为正项数列，故，从而，所以.选C.
5.【改编题】已知数列满足，则该数列的前12项和为（ ）
A. 211 B. 212 C. 126 D. 147
【答案】D
，
令可得： .
本题选择D选项.
6.【2017届江西省上饶市高三第二次模拟】已知数列的前 项和记为 ，满足，且，要使得取到最大值，则（ ）
A. B. C. 或 D.
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【答案】C
【解析】由于，故数列为等差数列，依题意有，所以，开口向下且对称轴为，故或时取得最大值.
7.【2017届河南省新乡市三模拟】记集合，，，…，其中为公差大于0的等差数列，若，则199属于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
8.【2017届陕西省黄陵中学高三（重点班）考前模拟一】在圆内，过点有条弦的长度成等差数列，最短的弦长为数列的首项，最长的弦长为，若公差，那么的取值集合为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题设已知圆的圆心坐标与半径分别为，最长弦与最短弦分别为，所以，解之得，即，应选答案A.
9.【福建省三明市2017年普通高中毕业班5月质量】已知数列的前项和为，且，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
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【解析】∵数列{an}满足a1=1,an+1⋅an=2n(n∈N∗)，
∴a2⋅a1=2,解得a2=2.
当n⩾2时,，
∴数列{an}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2.
则.
本题选择A选项.
10.【2017届湖南省衡阳市高三下学期第二次联考】一组数据共有7个数，记得其中有10、2、5、2、4、2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均值、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为（ ）
A. B. 3 C. 9 D. 17
【答案】C
11.【2016全国卷3（理）】定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有
（A）18个 （B）16个 （C）14个 （D）12个
【答案】C
【解析】由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：
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12.【2017全国卷1理】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是
A. 440 B. 330 C. 220 D. 110
【答案】A
则该数列的前项和为
，
要使，有，此时，所以是第组等比数列
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的部分和，设，
所以，则，此时，
所以对应满足条件的最小整数，故选A.
二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）
13.【2016全国乙理15】设等比数列满足，，则的最大值为 .
【答案】64
解法一：由，得，得，且.故当或时，取得最大值，
即.
解法二：.故当或时，取得最大值.
14. 【2016上海理11】无穷数列由个不同的数组成，为的前项和，若对任意，，则的最大值为 .
【答案】4
【解析】由题意或，或，依此类推，又与具备等价性，因此不妨考虑设，
若，则；若，则．按照这种逻辑，可以出现序列，或者序列
因此最大化处理可以出现，所以最大值为．
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15. 【2017届“超级全能生”浙江省高三3月联考】等比数列的前项和为，已知， 成等差数列，则数列的公比__________．
【答案】2
【解析】由题意得.
16. 在正项等比数列 中，已知，若集合，则A中元素个数为 ．
【答案】4029
二、 解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.【2016天津理18】 （本小题满分10分）已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的， 是和的等比中项.
（1）设，求证：数列是等差数列；
（2）设，，.求证：.
【答案】见解析.
【解析】（1）证明：由题意得，有，
因此，所以是等差数列.
（2）证明：
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.
所以.
18.【2017届河北省衡水中学高三下第二次摸底】已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设以为公比的等比数列满足），求数列的前项和.
【答案】（1）（2）
试题解析：
解：(1) 由题知数列是以为首项， 为公差的等差数列， .
(2)设等比数列的首项为，则，依题有 ，即，解得，故， .
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19.【2017届安徽省巢湖市柘皋中学最后一次模拟】已知函数（），数列的前项和为，点在图象上，且的最小值为.
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足，记数列的前项和为，求证： .
【答案】（1）.（2）见解析.
故的最小值为.
又，所以，即.
所以当时， ；
当时， 也适合上式，
所以数列的通项公式为.
（2）证明：由（1）知 ，
所以 ，
所以.
20.【2017届河南省息县第一高级中学高三第七次适应性考试】各项均为正数的等比数列满足， .
（Ⅰ）求数列的通项公式；
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（Ⅱ）若，求数列的前项和.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）
【解析】试题分析：（1）通过， 及数列的各项均为正数，可得 ，计算即可；
试题解析：（Ⅰ）设等比数列的公比为，由得
由，得或，
数列为正项数列， ，
代入①，得， .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时， ，
此时 ，
当时， .
当时，
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.
综上可知，数列的前项和
21.【2016四川理19】已知数列的首项为，为数列的前项和，，其中， .
（1）若，，成等差数列，求的通项公式；
（2）设双曲线的离心率为，且，求证：.
【答案】（1） ；（2）．
由，，成等差数列，可得，即，
则.又，所以.所以.
（2）由（1）可知，.所以双曲线的离心率 .
由，解得.因为，所以.
于是，故.
22.【2017届湖南省衡阳市高三下第二次联考】已知数列中， ， （， ）.
（1）写出、的值（只写出结果），并求出数列的通项公式；
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（2）设，若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）根据累加法求通项即可（2）由题可知求和用列项相消法
，求出的最大值解不等式即可
(2)
，则数列是单调递减数列
或
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