（浙江版）2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 第08章 立体几何测试题.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第八章 立体几何 测试题 班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。）‎ ‎1．【2018届河南省漯河市高级中学高三上学期第二次模拟】已知是两条不同直线，是平面，则下列命题是真命题的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】B ‎2．【2018届北京市朝阳区高三上学期期中】已知表示两条不同的直线， 表示平面，下列说法正确的是 A. 若， ，则 B. 若， ，则 C. 若， ，则 D. 若， ，则 ‎【答案】D ‎【解析】对于A， ， ，则可能相交，可能异面，也可能平行，命题错误；‎ 对于B， ， ，则， 或与斜交，命题错误；‎ 对于C， ， ，则，或，命题错误；‎ 对于D，若， ，则，显然正确》‎ 故选：D.‎ ‎3．【2018届河南省洛阳市高三上学期尖子生第一次联考】已知球 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎4．【2018届北京西城161高三上期中】在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是， ， ， ，给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）．‎ ‎ ‎ A. ①和② B. ③和① C. ④和③ D. ④和②‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 在空间直角坐标系中，根据所给的条件标出已知的四个点，结合三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②.选D.‎ ‎5．【2017届广东省广州高三下学期第一次模拟】如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎6．【2018届广西桂林市第十八中学高三上学期第三次月考】多面体的三视图如图所示，则该多面体的外接球的表面积为（ ）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图所示，由三棱锥的三视图得：该三棱锥的底面是腰长为6的等腰直角三角形，设该三棱锥的外接球的半径为球心为则 ‎ 故则该三棱锥的外接球的表面积为 ‎ 选D.‎ ‎7．【2018届云南省昆明一中高三第二次月考】正三棱锥中，若三条侧棱两两垂直，且，则正三棱锥的高为（ ）‎ A. B. ‎2 C. D. 3‎ ‎【答案】C 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解析】‎ ‎8．【2018届云南省昆明市高新技术开发区月考】已知直三棱柱的6个顶点都在表面积为的球的球面上，若， ，则该三棱柱的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎9．【2017届东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学高三下第四次模拟】已知正四棱锥中， 分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 建立如图所示空间直角坐标系，可知．则，则．故本题答案选．‎ ‎10．【2017年福建省数学基地校】已知是球的直径上一点, ,平面, 为垂足, 截球所得截面的面积为,则球的体积为（ ）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(A) 　 (B) 　　(C) 　 　(D) ‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图，‎ ‎11．【2018届四川省乐山外国语学校高三上练习三】三棱锥中， 互相垂直， ， 是线段上一动点，若直线与平面所成角的正切的最大值是，则三棱锥的外接球的表面积是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 三棱锥扩充为长方体，则长方体的对角线长为，‎ ‎∴三棱锥的外接球的半径为，‎ ‎∴三棱锥的外接球的表面积为．‎ 选B.‎ ‎12．【2018届浙江省源清中学高三9月月考】如图，矩形，矩形，正方形两两垂直，且，若线段上存在点使得，则边长度的最小值为（ ）‎ A. 4 B. C. D. ‎ ‎【答案】D 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解析】‎ ‎.‎ 显然且.‎ 所以.‎ 因为，所以.‎ 所以当， 取得最小值12.‎ 所以的最小值为.‎ 故选D.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。）‎ ‎13．【2018届云南省昆明市高新技术开发区月考】已知棱长为4的正方体，球与该正方体的各个面相切，则以平面截此球所得的截面为底面，以为顶点的圆锥体积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】平面与平面平行且把正方体的体对角线三等分，因此球心到平面 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 的距离为，由于球的半径为2，所以截面圆的半径，圆锥体积为.‎ ‎14．【2018届安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校高三上第一次联考】已知三棱锥， 为边三角形， 为直角三角形， ，平面平面.若，则三棱锥外接球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎15．【2017届广东省揭阳市届高三上学期期末】鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、 前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经榫卯起来，如图3，若正四棱柱体的高为，底面正方形的边长为，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为__________．（容器壁的厚度忽略不计） ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为1、2、6的长方体的外接球。设其半径为R, ，所以该球形容器的表面积的最小值为.‎ ‎16.【2018届福建省数学基地校】为正方体对角线上的一点，且 ()．下面结论：‎ ‎①；‎ ‎②若⊥平面，则；‎ ‎③若△PAC为钝角三角形，则；‎ ‎④若，则△为锐角三角形．‎ 其中正确的结论为________．(写出所有正确结论的序号)‎ ‎【答案】①②④‎ 以点为坐标原点， 所在射线分别为轴， 轴， 轴的正半轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则又，所以若为钝角三角形，只能是是钝角，所以解得，所以③错误；‎ 由③可知若，则为锐角三角形，④正确，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以正确的结论序号为①②④.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17．（本小题10分）【2017届云南省红河州高三统一检测】如图1,在直角梯形ABCD中, , 点E为AC中点．将三角形ADC沿AC折起, 使平面ADC平面ABC,得到几何体D-ABC,如图2所示．‎ ‎（I）在CD上找一点,使AD//平面；‎ ‎(II)求点到平面的距离．‎ ‎【答案】（1）的中点（2）‎ ‎ ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 在中, 分别为的中点 为的中位线 ‎ 平面, 平面 平面 ‎ ‎（II）平面 平面且，面交面，‎ 平面 ‎ 而， 平面， 即 ‎ ，三棱锥的高, ‎ ‎ 即 ‎.‎ ‎18．（本小题10分）【2018届贵州省黔东南州高三上学期第一次联考】如图，四棱锥中，底面是直角梯形， ， 是正三角形， 是的中点．‎ ‎（1）求证： ；‎ ‎（2）判定是否平行于平面，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）取AD中点M,连接CM、PM,推导出，从而 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 平面，由此能证明． （2）取PA的中点F，连接BF、FE，推导出四边形BCEF为平行四边形，从而CE∥BF，由此能证明CE∥平面PAB．‎ 试题解析：（1）‎ 又，故平面，‎ 又平面，故.‎ ‎（2）平行于平面，‎ 理由如下：取的中点为，连接．‎ 可知，‎ 又，‎ 所以四边形为平行四边形，故.‎ 又平面平面，‎ 所以平面.‎ ‎19．（本小题12分）如图，平面，，，为中点．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的正弦值；‎ ‎（3）求点到平面的距离．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2） ；（3）‎ ‎∵、分别为、中点，∴且，又且．‎ ‎∴且，∴四边形为平行四边形，则，‎ ‎∵平面，，∴平面．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 又∵平面，∴平面平面，‎ ‎∵为中点，且，∴，∴平面，∴平面．‎ ‎⑵取的中点和的中点，‎ 分别以、、所在直线为、、轴建立如图空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ ‎，， 设面的法向量，‎ 则，取，‎ 取面的法向量，‎ 由，‎ 故二面角的大小为．‎ ‎⑶由⑵，面的法向量，，‎ 则点到平面的距离， ．‎ ‎20．（本小题12分）【2018届云南省昆明市高新技术开发区月考】如图所示，四棱锥中， 平面， ， ， ， 为线段上一点， ， 为线段上一点， .‎ ‎（1）证明： 平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值 ‎【答案】(1)详见解析;(2) .‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）证明：由已知得，如图，取上靠近的四等分点，连接，‎ 由知， ． ‎ 又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是．‎ 因为平面， 平面，所以平面．‎ ‎（Ⅱ）解：如图，取的中点，连接．‎ 由得，从而，且．‎ 以为坐标原点， 的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 由题意知， ， ， ， ， ，‎ ‎， ， ．‎ 设为平面的一个法向量，‎ 则即 可取．于是，‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为． ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎21．（本小题13分）【2018届北京市朝阳区高三上学期期中】如图，在四棱锥中，底面是菱形， 平面， 是棱上的一个动点．‎ ‎（Ⅰ）若为的中点，求证： 平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅲ）若三棱锥的体积是四棱锥体积的，求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ） .‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）证明：如图，设交于,连接．‎ 因为底面是菱形，‎ 所以是的中点．‎ 又因为为的中点，‎ 所以．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 因为平面, 平面，‎ 所以平面． ‎ ‎（Ⅱ）证明：因为底面是菱形，‎ 所以．‎ 又因为平面， 平面，‎ 所以．‎ 因为，‎ 所以平面．‎ 因为平面，‎ 所以平面平面．‎ ‎（Ⅲ）设四棱锥的体积为．‎ 因为平面，所以．‎ 又因为底面是菱形，‎ 所以，‎ 所以．‎ 根据题意， ，‎ 所以．‎ 又因为，‎ 所以．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎22．（本小题13分）【2018届广东省东莞外国语学校高三第一次月考】如图,矩形中, , 分别为边上的点,且,将沿折起至位置(如图所示),连结,其中.‎ ‎(Ⅰ) 求证: ； ‎ ‎(Ⅱ) 在线段上是否存在点使得?若存在,求出点的位置；若不存在,请说明理由.‎ ‎(Ⅲ) 求点到的距离.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎（Ⅲ） 由PF⊥平面ABED，知PF为三棱锥P-ABE的高，利用等积法能求出点A到平面PBE的距离．‎ 试题解析：‎ ‎(Ⅰ)连结,由翻折不变性可知, , ,‎ ‎ 在中, ,‎ 所以 ‎ ‎ 在图中,易得,‎ 在中, ,所以 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 又, 平面, 平面,所以平面.‎ ‎(Ⅱ) 当为的三等分点(靠近)时, 平面. ‎ 证明如下:‎ ‎ 因为, ,所以 ‎ ‎ 又平面, 平面,所以平面. ‎ ‎ （注：学生不写平面,扣1分）‎ ‎ (Ⅲ) 由(Ⅰ)知平面,所以为三棱锥的高. ‎ ‎ 设点到平面的距离为,由等体积法得,‎ 即,又,,‎ ‎ 所以,即点到平面的距离为.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费